定球心求解外接球問題

張蔡莉

(福建省石獅市第一中學(xué) 362799)

微專題復(fù)習(xí)是圍繞一類問題,用一種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行一系列相關(guān)知識(shí)整合的教學(xué).在教學(xué)中，讓學(xué)生對(duì)原有的知識(shí)加以整合，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)和思維發(fā)展.外接球作為高考的難點(diǎn)和熱點(diǎn)，考查的綜合知識(shí)多，對(duì)學(xué)生能力要求較高，一直是學(xué)生的弱點(diǎn).筆者通過利用截面圓性質(zhì)，尋找球心的方法，幫助學(xué)生總結(jié)幾種常見的空間幾何體的外接球問題，提升學(xué)生的空間想象能力和轉(zhuǎn)化和化歸能力.

1 直接利用截面圓的性質(zhì)

例1A,B,C是球O上的三點(diǎn)，且△ABC的外接圓的圓心是O1，面積是4π，若AB=BC=AC=OO1，求球O的半徑.

所以AB=6.

所以等邊△ABC的外接圓半徑為

設(shè)球的半徑為R，球心到等邊△ABC的外接圓圓心的距離為d,則

所以三棱錐D-ABC高的最大值為6.

所以三棱錐D-ABC體積最大值為

2 利用長方體模型

長方體ABCD-A1B1C1D1的長為a，寬為b，高為c，過下底面ABCD的外接圓圓心作垂線，由截面圓性質(zhì)知球心在垂線上，由球心的定義知球心在長方體中心的位置，即長方體的體對(duì)角線交點(diǎn)，故長方體外接球的半徑是它體對(duì)角線的一半.那么利用長方體模型，我們可以解決哪些特殊的錐體呢？為此，我們可以讓學(xué)生在長方體模型中畫出兩大類：一類是下底面取三個(gè)頂點(diǎn)，上底面取一個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)成側(cè)棱垂直底面的三棱錐；一類是下底面取兩個(gè)頂點(diǎn)，上底面取兩個(gè)頂點(diǎn)，構(gòu)成對(duì)棱相等的三棱錐.從而利用補(bǔ)成長方體的辦法解決，達(dá)到轉(zhuǎn)化與化歸的目的.

例2 三棱錐D-ABC，DA⊥面ABC，AC⊥BC，DA=AB=2BC=2,求D-ABC的外接球的半徑.

圖1

設(shè)長方體的外接球半徑為R，則

(2R)2=4+3+1=8.

圖2

當(dāng)球心O到過點(diǎn)P的截面圓距離d=OP時(shí)，d最大，按截面圓性質(zhì)可得，截面圓的半徑r最小，從而得到截面的面積最小.

3 不能通過補(bǔ)形的幾何體

例4 三棱錐P-ABC中，正△ABC的邊長為3，AP=6，且AP⊥面ABC，求P-ABC外接球的半徑.

分析過△ABC的截面圓圓心O1作垂線，球心在垂線上，又球心O到垂直底面的側(cè)棱PA兩端點(diǎn)距離相等，故有OO1從而確定球心的位置，求出半徑.

圖3

4 與二面角有關(guān)的幾何體

例6 如圖4，已知△SAB是邊長為2的正三角形，∠ACB=45°，當(dāng)三棱錐S-ABC的體積最大時(shí)，求外接球的半徑為多少？

圖4

分析由于△SAB的面積不變，當(dāng)點(diǎn)C到面SAB的距離最大時(shí)，根據(jù)等體積法，三棱錐S-ABC的體積最大，此時(shí)可得.

面CAB⊥面SAB，且CA=CB.

過△SAB和△CAB的截面圓圓心O1和O2分別作垂線，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，取兩個(gè)面的交線AB的中點(diǎn)E，連接O1E,O2E,由外接圓圓心的定義得，O1E⊥AB,O2E⊥AB.

即∠O1EO2是二面角C-AB-S的平面角.

故四邊形OO1EO2為矩形.

由正弦定理，得

分析如圖5，過△BCD和△ABD的截面圓圓心O1和O2分別作垂線，交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為三棱錐A-BCD外接球的球心.

圖5

取兩個(gè)面的交線BD的中點(diǎn)M，連接O1M,O2M,由外接圓圓心的定義得，∠O1MO2是二面角A-BD-C的平面角.

解三角形，得

因?yàn)椤鱋MO2≌△OMO1，∠OMO1=60°，

在Rt△OMO1中得OM=1.

連接OB，因?yàn)樵赗t△OMB中，

OB2=OM2+MB2.

當(dāng)然，如果是普通的三角形，我們也可以利用正余弦定理解三角形，根據(jù)O，O1，M，O2四點(diǎn)共圓，求出OM.

又因?yàn)镺，O1，M，O2四點(diǎn)共圓，則OM為△O1MO2外接圓直徑，也可以得到OM=1，從而求解.

綜上所述，有關(guān)幾何體的外接球，我們可以利用截面圓的性質(zhì)，分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，確定球心的位置，再通過解三角形，求出外接球的半徑，達(dá)到萬變不離其宗.

總之，高中數(shù)學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，我們可以利用有針對(duì)性的微專題，讓每一節(jié)復(fù)習(xí)課更有針對(duì)性，讓學(xué)生在教中學(xué)，學(xué)中悟，及時(shí)總結(jié)提升，高考中才能有效化解難點(diǎn).