探索規(guī)律題型解題錦囊

王雪潔

觀看了許群德老師的直播課，收益頗多. 探索規(guī)律題型能夠很好地體現(xiàn)“從特殊到一般，從一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想，這類題在中考試卷中經(jīng)常出現(xiàn).

在《三國(guó)演義》中，趙子龍用諸葛亮給的三條錦囊妙計(jì)護(hù)衛(wèi)劉備和孫夫人安全離開吳地. 現(xiàn)在，我們就效仿他們，用錦囊妙計(jì)來解決探索規(guī)律題型.

錦囊一：適用于循環(huán)周期型變化

找到循環(huán)節(jié)，總數(shù)除以它，重點(diǎn)看余數(shù)，猜想后驗(yàn)證.

例1 已知31 = 3，32 = 9，33 = 27，34 = 81，35 = 243，36 = 729，…那么32022的個(gè)位數(shù)字是 .

解析：先找到循環(huán)節(jié)，發(fā)現(xiàn)3，9，7，1，3，9，7，1，…每4個(gè)為1次循環(huán)，題中要求的總數(shù)是2022，2022 ÷ 4 = 505……2，由余數(shù)為2可猜想結(jié)論為9. 驗(yàn)證一下：32和36的指數(shù)除以4所得余數(shù)都是2，它們的個(gè)位數(shù)字也都是9，則猜想的結(jié)論正確. 故應(yīng)填9.

錦囊二：適用于等差數(shù)列均勻變化

口算找等差，乘以等差，然后問自己：當(dāng)n取之后，加減什么數(shù)可以得到首項(xiàng)結(jié)果，規(guī)律通式就寫出來啦！

例2 已知1，3，5，7，9，…則第n項(xiàng)是.

解析：分別計(jì)算后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差：3 - 1 = 2，5 - 3 = 2，7 - 5 = 2，9 - 7 = 2，…發(fā)現(xiàn)差相等且都為2，用項(xiàng)數(shù)n乘以2得2n. 當(dāng)n = 1時(shí)，2n = 2 × 1 = 2，第一項(xiàng)的結(jié)果為1，剛才計(jì)算出來的2減1即可，所以第n項(xiàng)是2n - 1. 故應(yīng)填2n - 1. 該式被稱為這組數(shù)據(jù)的通式，其包含了用字母表示數(shù)的數(shù)學(xué)思想.

錦囊三：適用于差的差為等差數(shù)列

八年級(jí)階段我們不容易發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，只能使用序號(hào)法，通過相同的分析思路，寫出每一項(xiàng)具體的式子（這里需要特別注意的是一定不要合并同類項(xiàng)，要保留分析思路），觀察其中規(guī)律，可直接觀察或使用等差數(shù)列求和公式得出結(jié)論. 等到九年級(jí)學(xué)習(xí)二次函數(shù)之后，我們就可以代入三點(diǎn)坐標(biāo)直接求通式了.

例3 在1條線段上增加1個(gè)點(diǎn)，共有條線段；增加2個(gè)點(diǎn)，共有

條線段；增加3個(gè)點(diǎn)，共有條線段；增加4個(gè)點(diǎn)，共有條線段；增加10個(gè)點(diǎn)，共有條線段.

解析：序號(hào)法就是對(duì)圖示進(jìn)行標(biāo)號(hào)，一般情況下在第①個(gè)圖中n = 1，在第②個(gè)圖中n = 2，依此類推（偶爾也有不從1開始的），然后對(duì)應(yīng)寫出計(jì)算式子，通過觀察變化過程中的規(guī)律寫出通式.

當(dāng)n = 1時(shí)，1 + 2 = 3；

當(dāng)n = 2時(shí)，1 + 2 + 3 = 6；

當(dāng)n = 3時(shí)，1 + 2 + 3 + 4 = 10；

當(dāng)n = 4時(shí)， 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15；……

我們發(fā)現(xiàn)，3，6，10，15，…的差分別為3，4，5，…，

這里的3，4，5雖然不相等，但是4 - 3 = 5 - 4 = 1，所以差的差為等差數(shù)列.

從結(jié)果中雖然看不出規(guī)律，但可以看前面的式子，找出規(guī)律：

第1項(xiàng)是從1加到2，第2項(xiàng)是從1加到3，第3項(xiàng)是從1加到4，第4項(xiàng)是從1加到5，

由此可以推測(cè)，第n項(xiàng)就是從1加到n + 1，

則[（首項(xiàng) + 末項(xiàng)） × 項(xiàng)數(shù)2] = [（1 + n + 1） × （n + 1）2] =? [（n+2）（n+1）2]，

經(jīng)驗(yàn)證，我們的推測(cè)正確.

當(dāng)n = 10時(shí)， [（n+2）（n+1）2] = 66.

故應(yīng)填3，6，10，15，66.

反思：有些同學(xué)認(rèn)為只要計(jì)算到1 + 2 + 3 + … + 10 + 11 = 66，就可以得出結(jié)論了，沒有必要寫出通式，費(fèi)時(shí)費(fèi)力. 其實(shí)，“磨刀不誤砍柴工”，在分析這道題的過程中，我們經(jīng)歷的是從特例到猜想一般規(guī)律，再到驗(yàn)證的過程，這是重要的數(shù)學(xué)思想. 這種思考問題的方式是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的法寶. 因此，解題不能只看結(jié)果，流于表面，要深入挖掘命題人想的是什么. 爭(zhēng)取做到：做一題，會(huì)一法，通一類.

分層作業(yè)

難度系數(shù)：★★★解題時(shí)間：5分鐘

1. -1，2，5，8，11，…，第n項(xiàng)是 .

2. 觀察砌鋼管的橫截面圖（如圖2），當(dāng)n = 10時(shí)，最下面一排鋼管有根；第n個(gè)圖的鋼管總數(shù)是根. （用含n的式子表示）

（答案見第33頁）

（作者單位：沈陽市第一四五中學(xué)）