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    次解析集的正規(guī)嵌入

    2022-12-09 04:38:24許靜波
    關鍵詞:等價度量常數(shù)

    許靜波,周 彤

    (吉林師范大學 數(shù)學與計算機學院,吉林 四平 136000)

    分類是奇點理論中一個著名的問題,其中正則函數(shù)芽的bi-Lipschitz分類近年來被廣泛研究.E.Bierstone等[1]利用半解析集、次解析集的基本性質,給出了對纖維切割引理的簡單證明,也對次解析集的補集定理進行了闡述;L.Birbrair等[2-4]給出了次解析平面函數(shù)芽bi-Lipschitz接觸等價性的一個完全不變量,并證明了不變量的存在意味著這個等價性沒有模.bi-Lipschitz分類介于拓撲分類和解析分類之間,并且在Lipschitz分類下,誘導度量中的等價性與長度度量中的等價性是相同的.郭青松[5]將次解析集與bi-Lipschitz映射的理論相結合,研究了二維次解析集在bi-Lipschitz等價關系下的分類,為本文研究準備了豐富的基礎知識;L.Birbrair和T.Mostowski[6]研究了半代數(shù)集的正規(guī)嵌入,對本文思路有著引導的作用.本文基于A.Parusinski等[7-12]對pancake度量的研究,借助其將次解析集的度量性質與bi-Lipschitz分類問題聯(lián)系起來.

    1 預備知識

    設X是n的次解析連通子集.由于每個連通次解析集都是弧連通的,所以在X上定義以下兩個度量,第一個是n的誘導度量,用dind表示;第二個是長度度量,定義如下:設x1,x2∈X,且Γ是連接x1和x2的所有分段光滑曲線γ的集合;即γ:[0,1]→X使得γ(0)=x1,γ(1)=x2.令其中l(wèi)(γ)表示γ的長度.

    定義1.1如果度量dind和dl是等價的,則集合X稱為在n中的正規(guī)嵌入.也就是說存在一個常數(shù)C>0,使得對于每個x1,x2∈X,有dl(x1,x2)≤Cdind(x1,x2).

    性質1.1在每個分層弧連通子集Y?n中定義正規(guī)嵌入,如果X正規(guī)嵌入Y,Y正規(guī)嵌入Z,則X正規(guī)嵌入Z.

    定義1.2設x0∈X,如果存在一個以x0為心,半徑為r的球Bx0,r,使集Bx0,r∩X是正規(guī)嵌入,則稱集合X在x0處是局部正規(guī)嵌入的.

    定義1.3設X是次解析集,Y?X.如果存在一個常數(shù)C>0使得對所有x∈X和y∈Y,有dl(x,y)≤Cdind(x,y),則稱Y是相對正規(guī)嵌入在X中.

    命題1.1設X是一個緊集,局部正規(guī)嵌入在每個點x∈X上,則X是正規(guī)嵌入.

    命題1.2設X?n是一個閉次解析集,存在子集{Xi}的有限集,使得

    (1)所有的Xi都是X的次解析閉子集;

    (3)對每個i≠j,dim(Xi∩Xj)

    (4)Xi正規(guī)嵌入在n中.

    則集合Xi稱為pancake的,滿足條件(1)—(4)的分解稱為pancake分解.

    該命題在文獻[9]和[10]中有類似證明.

    定義1.4設X?n是一個閉連通次解析集,是X的pancake分解.考慮x1、x2∈X,{y1,y2,…,yk}是一系列滿足以下條件的點:

    (1)y1=x1和yk=x2;

    (2)每對yi,yi+1都在一個pancakeXj中;

    (3)如果yi,yi+1∈Xj,則ys?Xj,對s≠i,s≠i+1.

    ρi(x)=dp(x,Xi)

    定義函數(shù)

    ρi:X→,

    其中dp是pancake距離.Γi?n+1表示ρi的圖,記μi(x)=(x,ρi(x)).

    定義1.6如果存在一個同胚F:X1→X2和兩個正的常數(shù)K1和K2,對每個x,y∈X1,使得

    K1d1(x,y)≤d2(F(x),F(xiàn)(y))≤K2d1(x,y),

    則兩個度量空間(X1,d1)和(X2,d2)稱為bi-Lipschitz等價的,其中同胚F為bi-Lipschitz映射.

    2 主要定理及證明

    為了完成定理的證明,首先給出幾個引理.

    引理2.1若存在K>0使得對于任意x1,x2∈X,則有

    dp(x1,x2)≥Kdl(x1,x2).

    證明設K=minKj,其中Kj是對應于pancakeXj的常數(shù).所以,對每個y={y1,y2,…,yk},有

    dind(yi,yi+1)≥Kdl(yi,yi-1),

    因此

    引理2.2若對于每個x1,x2∈X,存在y∈Yx1,x2,則有dp(x1,x2)=l(y).

    路面基層檢測合格及模板安裝完成后,進行鋼筋網安裝。先將橫筋按設計尺寸布置于底層,再將縱筋布置橫筋上方,在此過程中要注意鋼筋在板厚方向的高度,預留足夠的保護層厚度。鋼筋布置完成后進行鋼筋連接,縱向鋼筋接頭采用電弧單面焊接,搭接長度為16cm,焊接接頭處應錯開布置,接頭連線與路面行車方向成45°夾角,縱向鋼筋與橫向鋼筋交叉處采用鋼絲繩綁扎。采用φ16鋼筋彎拉制做成“Ω”形置于橫向鋼筋下作為鋼筋支架,并采用電焊連接,橫向布置間隔約為150cm,縱向布置間隔約為120cm。

    注序列y∈Yx1,x2使dp(x1,x2)=l(y)稱為對應于x1,x2的最小化序列.

    推論2.1pancake度量是定義在X×X上的次解析函數(shù).

    結合文獻[6]類比給出如下推論.

    推論2.2設X是緊次解析集,設LX是關于長度度量與X等價的所有次解析集的集合.定義LX上的半序關系X2X1,若存在關于長度度量的bi-Lipschitz和誘導度量的lipschitz映射F:X1→X2,則LX包含唯一的關于誘導度量的bi-Lipschitz等價的最大元素,稱這個元素是正規(guī)嵌入的.

    定理2.1函數(shù)dp:X×X→是次解析的并且在X中定義了一個度量.

    dp(x1,x3)≤l(z)≤l(y3)=l(y1)+l(y2)=dp(x1,x2)+dp(x2,x3).

    定理2.1即證.

    定理2.2pancake度量與長度度量是bi-Lipschitz等價的.

    dl(x1,x2)≥dp(x1,x2).

    定理2.2即證.

    引理2.3映射μi:X→Γi具有以下性質:

    (1)μi是關于X和Γi上長度度量的一個bi-Lipschitz映射;

    (3)μi(Xi)是相對正規(guī)嵌入在μi(X)中.

    (2)存在一個依賴于n的常數(shù)B,使得對任意x1,x2∈Xj有

    max{dind(x1,x2),|ρi(x1)-ρi(x2)|}≤Bdind(μi(x1),μi(x2)).

    因為Xj是一個pancake,L>0,得到

    dl(x1,x2)≤Ldind(μi(x1),μi(x2)),

    由(1),映射μi是bi-Lipschitz的.對任意x1,x2∈Xj,K>0,有

    dl(μi(x1),μi(x2))≤Kdind(μi(x1),μi(x2)).

    (3)實際上,通過(1),找到K1>0即可,使得

    dl(x,y)≤K1dind(μi(x),μi(y)).

    所以

    dp(x,y)≤3dind(x,y).

    由定理2.2有

    dl(x,y)≤3Cdind(μi(x),μi(y)),

    其中C是一個常數(shù),滿足dl≤Cdp.再令ρi(y)>dind(x,y),有

    對于依賴n的常數(shù)B>0,有

    ρi(y)≤max{dind(x,y),ρi(y)}≤Bdind(μi(x),μi(y)).

    所以

    dp(x,y)<3Bdind(μi(x),μi(y)).

    通過長度度量與pancake度量的等價性,對K1=3Cmax{1,B},同理可得到

    dl(x,y)≤Kdind(μi(x),μi(y)).

    注集合μi(x)稱為X上的i-tent,映射μi稱為i-tent過程.

    引理2.4設Y?X相對正規(guī)嵌入在X中,則μi(Y)相對正規(guī)嵌入在μi(X)中.

    證明與引理2.3中(2)的證明相同.

    接下來,給出本文的主要定理.

    定理2.3設X是n的緊連通次解析子集,對于每個ε>0,則存在一個次解析集Xε?m使得

    (1)關于長度度量,Xε是與X等價的次解析bi-Lipschitz;

    (2)Xε正規(guī)嵌入在m中;

    (3)X和Xε之間的Hausdorff距離小于ε.

    3 結語

    奇點的度量理論將集合視為度量空間,該理論中存在幾個分類問題,本文主要考慮的是bi-Lipschitz分類問題.通過pancake分解,定義pancake度量,即一個與長度度量等價的次解析度量;再由tent過程,得到次解析集與一些正規(guī)嵌入集的關系,并給出了證明.

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