GFDM系統(tǒng)中基于實(shí)部反饋和Levenberg-Marquard算法的自適應(yīng)預(yù)失真方案*

苗 碩，牛安東，劉佳寧，李英善

(1.南開(kāi)大學(xué) 電子信息與光學(xué)工程學(xué)院，天津 300350；2.天津市光電傳感器與傳感網(wǎng)絡(luò)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300350)

0 引 言

2009年提出的廣義頻分復(fù)用技術(shù)(Generalized Frequency Division Multiplexing，GFDM)[1]是一種新型的非正交多載波技術(shù)，其將時(shí)間和頻率資源分為獨(dú)立的塊，每個(gè)子載波包含一定的子符號(hào)，可以通過(guò)調(diào)整子符號(hào)數(shù)、子載波數(shù)、原型濾波器等參數(shù)兼容其他多載波技術(shù)，符合第五代通信系統(tǒng)對(duì)于靈活性的需求[2]。同時(shí)，由于GFDM配備了軟脈沖整形和循環(huán)前綴(Cyclic Prefix,CP)，其不僅繼承了傳統(tǒng)正交頻分復(fù)用技術(shù)(Orthogonal Frequency Division Multiplexing,OFDM)技術(shù)抗多徑干擾、易于硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)，而且相比OFDM技術(shù)有更低的帶外輻射和更高的頻譜效率[3]。然而研究表明，由于其多載波特性，GFDM系統(tǒng)對(duì)高功率放大器(High Power Amplifier，HPA)引起的非線性失真同樣敏感。為了減少非線性失真帶來(lái)的影響，需要在HPA之前加入數(shù)字預(yù)失真器(Digital Predistortion,DPD)。Eun等人[4]提出了基于Volterra級(jí)數(shù)的預(yù)失真處理方法，但是其只能應(yīng)用在非線性程度較小的情況下，且復(fù)雜度較高，運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)。為了降低傳統(tǒng)Volterra級(jí)數(shù)復(fù)雜度，Kim等人[5]提出了記憶多項(xiàng)式(Memory Polynomial，MP)模型,只保留了Volterra級(jí)數(shù)的對(duì)角項(xiàng)，同時(shí)能夠很好地模擬放大器的非線性行為，并且大大減少模型的系數(shù)。Landin等人[6]指出，在大功率應(yīng)用中(例如宏單元基站)HPA的內(nèi)部噪聲是可以忽略不計(jì)的，但是在低功耗應(yīng)用中放大器的內(nèi)部噪聲會(huì)對(duì)DPD的性能產(chǎn)生影響。胡杰等人[7]提出了一種基于直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)的預(yù)失真器訓(xùn)練方法，但是傳統(tǒng)的直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)在反饋支路上需要兩個(gè)高速模數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital Converter,ADC),研究表明這些高速ADC通常十分耗電，增加了設(shè)計(jì)成本和復(fù)雜度；另一方面，由于輸入信號(hào)受到功放非線性的影響，經(jīng)功放輸出后，其反饋信號(hào)的帶寬通常為輸入信號(hào)的3～5倍，這就要求數(shù)字預(yù)失真系統(tǒng)中反饋回路上的ADC具有極高的采樣率，然而現(xiàn)有的硬件條件難以滿足高采樣率的需求[8]。張?jiān)碌热薣9]提出一種基于牛頓法的DPD系數(shù)提取方法，可以有效地降低迭代次數(shù)，但是在實(shí)際情況中計(jì)算Hessian矩陣是十分困難的，并且只有在Hessian矩陣可逆時(shí)才可繼續(xù)迭代。

為了解決上述問(wèn)題，本文提出了一種基于實(shí)部反饋和列文伯格-馬奎爾特算法的自適應(yīng)預(yù)失真方案(Real Valued Feedback Levenberg-Marquard Predistortion,R-LM-PD)來(lái)補(bǔ)償HPA引起的非線性失真。該技術(shù)采用MP模型模擬HPA的逆函數(shù)，只利用輸出反饋信號(hào)和期望信號(hào)的實(shí)部分量計(jì)算預(yù)失真器系數(shù)。同時(shí)，為了解決牛頓算法計(jì)算復(fù)雜的問(wèn)題，本文將收斂速度快、計(jì)算量小的列文伯格-馬奎爾特(Levenberg-Marquard，LM)算法應(yīng)用于求解預(yù)失真器系數(shù)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 帶預(yù)失真的GFDM的系統(tǒng)模型

圖1為GFDM收發(fā)信機(jī)框圖。在發(fā)射機(jī)中，其先將輸入的二進(jìn)制的數(shù)據(jù)向量b進(jìn)行正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation，QAM)得到符號(hào)向量d。GFDM是一種基于塊的多載波調(diào)制技術(shù)，將符號(hào)向量d通過(guò)串并變換成數(shù)據(jù)塊D，其中每個(gè)GFDM數(shù)據(jù)塊包含N=M×K個(gè)數(shù)據(jù)符號(hào)，變換過(guò)程用矩陣表示為

(1)

式中：K代表子載波數(shù)；M代表每個(gè)子載波的符號(hào)數(shù)；dk,m代表第k個(gè)子載波的第m個(gè)符號(hào)。經(jīng)過(guò)GFDM調(diào)制后，即可得到基帶信號(hào)x，其時(shí)域表達(dá)式為

(2)

gk,m[n]=g[(n-mK)modN]·wkn。

(3)

為了使發(fā)射信號(hào)y能夠更好地在接收機(jī)中被恢復(fù)，在本文中加入DPD模塊以補(bǔ)償HPA對(duì)其的影響。

圖1 帶預(yù)失真的GFDM收發(fā)信機(jī)框圖

1.2 HPA模型

本文采用具有記憶性的HPA,具體結(jié)構(gòu)如圖2所示，由線性濾波器h1、無(wú)記憶的HPA、線性濾波器h2三部分級(jí)聯(lián)組成。

圖2 記憶性HPA結(jié)構(gòu)

對(duì)于無(wú)記憶HPA，本文采用目前技術(shù)較為成熟的固態(tài)功率放大器(Solid State Power Amplifier,SSPA)。SSPA放大器的AM/AM和AM/PM的特性函數(shù)分別表示為[10]

(4)

(5)

式中：p是平滑因子；Asat是HPA的飽和幅度；αr是AM/PM的斜率轉(zhuǎn)換系數(shù)；xave是相位開(kāi)始旋轉(zhuǎn)的位置。

1.3 直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)以及放大器噪聲引起的偏差

圖3 傳統(tǒng)直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)框圖

(6)

式中：v是放大器的測(cè)量噪聲，為零均值的高斯白噪聲。

2 基于實(shí)部反饋和LM算法的自適應(yīng)預(yù)失真方案

2.1 基于實(shí)部反饋的直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

圖4為基于實(shí)部反饋的直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)。

圖4 基于實(shí)部反饋的直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)

分析和設(shè)計(jì)HPA線性化電路的第一步是精準(zhǔn)模擬放大器的非線性，在本方案中的DPD采用模型簡(jiǎn)單并且精準(zhǔn)度高的記憶多項(xiàng)式模型對(duì)HPA進(jìn)行行為建模。MP模型是Volterra級(jí)數(shù)模型的一種簡(jiǎn)化形式，相比復(fù)雜的Volterra模型，MP模型只保留了其對(duì)角項(xiàng)部分[11]。MP的數(shù)學(xué)模型表示為

(7)

式中：x(n)和z(n)代表模型的輸入和輸出；K和Q分別代表模型的非線性階數(shù)和記憶深度；bk,q代表記憶深度為q、階數(shù)為k的多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的系數(shù)；相乘項(xiàng)x(n-q)|x(n-q)|k-1叫做基本項(xiàng)，表示為

(8)

其中，b是長(zhǎng)度為K(Q+1)的列向量，矩陣Ux的維度是N×K(Q+1)，因此公式(7)同樣可以寫(xiě)成矩陣形式：

z=Uxb。

(9)

將上式實(shí)部和虛部分開(kāi)得

zr+jzi=(Uxr+jUxi)(br+jbi)。

(10)

繼續(xù)展開(kāi)得到

zr+jzi=Uxrbr+jUxibr+jUxrbi-Uxibi。

(11)

將等式的實(shí)部和虛部分開(kāi)寫(xiě)成兩個(gè)式子：

(12)

將上式寫(xiě)成矩陣形式：

(13)

式(13)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

(14)

式中：

(15)

2.2 利用LM算法求解預(yù)失真器系數(shù)

本方案使用LM算法求解預(yù)失真器系數(shù)，求解預(yù)失真器系數(shù)的過(guò)程可以看作是最優(yōu)化問(wèn)題。最優(yōu)化問(wèn)題是將誤差的均方值作為代價(jià)函數(shù)，并利用最優(yōu)化算法使其最小化。在本文所提出的基于實(shí)部反饋的訓(xùn)練結(jié)構(gòu)中，代價(jià)函數(shù)定義為

(16)

文獻(xiàn)[9]提出利用牛頓法求解預(yù)失真器系數(shù)，其是基于代價(jià)函數(shù)的二階泰勒展開(kāi)，迭代公式如下：

bm+1=bm-λHm-1gm。

(17)

式中：λ為步長(zhǎng)，通常在0～1之間；g為Jacobi矩陣，是代價(jià)函數(shù)對(duì)系數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；H為Hessian矩陣，為代價(jià)函數(shù)對(duì)系數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；m為迭代次數(shù)。

但是在實(shí)際運(yùn)算中，計(jì)算Jacobi矩陣和Hessian矩陣是十分困難的，因?yàn)樾盘?hào)在經(jīng)過(guò)預(yù)失真器和放大器后會(huì)很多的高階分量，所以為了方便計(jì)算，在求解Jacobi矩陣和Hessian矩陣時(shí)，可以忽略其中的高階分量。HPA可以看作是線性的模塊，求得對(duì)應(yīng)的Jacobi矩陣為

(18)

同理，對(duì)應(yīng)的Hessian矩陣為

(19)

因此，LM算法迭代公式可以表示為

(20)

3 仿真與分析

為驗(yàn)證本文所提方案對(duì)GFDM系統(tǒng)的有效性，采用Matlab2019b平臺(tái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真。GFDM系統(tǒng)中，載波數(shù)K=256，80個(gè)有效子載波，子符號(hào)數(shù)M=16，循環(huán)前綴為64。調(diào)制方式選用16QAM，濾波器的滾降系數(shù)為0.05。圖2中的線性濾波器的g1和g2分別為[4]g1=[0.8,0.1]T，g2=[0.9,0.2,.0.1]T。HPA中p=2，G=1.283，αr=0.263，xave=0.25，Asat=1.22。記憶多項(xiàng)式模型非線性階數(shù)K=7，記憶深度Q=3。迭代步長(zhǎng)λ=0.8，LM算法迭代次數(shù)m=5。并且，為了衡量本方案的補(bǔ)償性能，分別與傳統(tǒng)LMS(Least Mean Square,LMS)算法、文獻(xiàn)[7]提出的NFxLMS(Nonlinear Filtered-x Least Mean Square)補(bǔ)償方案和文獻(xiàn)[12]提出RPEM(Recursive Prediction Error Method)補(bǔ)償方案進(jìn)行性能對(duì)比。

3.1 預(yù)失真器對(duì)信號(hào)的補(bǔ)償效果

圖5為預(yù)失真前后的輸出功率譜密度曲線，可以看出在沒(méi)有預(yù)失真時(shí)，信號(hào)的帶外頻譜擴(kuò)散十分嚴(yán)重，嚴(yán)重影響系統(tǒng)性能。在經(jīng)過(guò)所提出的R-LM-PD預(yù)失真方案后，系統(tǒng)的頻譜擴(kuò)散得到了有效的抑制，并且略好于文獻(xiàn)[7]、文獻(xiàn)[12]所提出的補(bǔ)償方案和LMS算法。

圖5 功率譜密度性能對(duì)比

圖6為測(cè)量噪聲信噪比30 dB時(shí)的誤比特率(Bit Error Rate,BER)曲線，可以看出受HPA的影響后，系統(tǒng)性能急劇下降，即使在輸入功率回退(Input Back-Off,IBO)為8 dB時(shí),系統(tǒng)的性能也沒(méi)有得到很好的改善。信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)為16 dB時(shí)，BER還不到10-2。經(jīng)過(guò)LMS算法補(bǔ)償后，系統(tǒng)的BER性能得到一定的改善，SNR=16 dB時(shí)，BER性能降至3.1×10-4,但是系統(tǒng)性能依然不是很理想。使用文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[12]的算法補(bǔ)償后，SNR=16 dB時(shí)，BER性能分別降至1.5×10-5和8.1×10-6，系統(tǒng)性能得到進(jìn)一步改善。經(jīng)過(guò)本文所提出的預(yù)失真器補(bǔ)償后，在SNR=16 dB時(shí)BER性能可達(dá)到5.1×10-6，與理想情況非常接近。

圖6 測(cè)量噪聲信噪比30 dB時(shí)誤比特率性能對(duì)比

圖7為不同狀態(tài)下的16QAM星座圖。從圖7(c)可以看出，系統(tǒng)受到HPA影響后，失真非常嚴(yán)重，星座點(diǎn)擴(kuò)散十分嚴(yán)重。如圖7(d)所示,在經(jīng)過(guò)預(yù)失真器處理后，信號(hào)的幅度和相位失真得到了很好的改善，和圖7(b)相差不大，系統(tǒng)接近只受AWGN信道情況下的星座圖。

圖7 SNR=16 dB時(shí)16QAM星座圖

3.2 放大器測(cè)量噪聲對(duì)系統(tǒng)性能影響

圖8為測(cè)量噪聲信噪比和歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)之間的關(guān)系。NMSE表示期望信號(hào)和估計(jì)量之間的差異程度，是評(píng)價(jià)DPD算法性能的一個(gè)重要指標(biāo)。NMSE定義為

(21)

NMSE的值越小，代表算法估計(jì)的越精確，性能越好。

圖8 放大器測(cè)量噪聲對(duì)預(yù)失真器性能影響

從圖8中可以看出，測(cè)量噪聲較大時(shí)，LMS算法的NMSE較大。而經(jīng)過(guò)本文提出的R-LM-PD技術(shù)處理后，在測(cè)量噪聲較大時(shí)仍有很好的線性化性能。在測(cè)量噪聲信噪比為10 dB時(shí)，本文提出的R-LM-PD技術(shù)的NMSE分別比LMS算法、文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[12]的補(bǔ)償方案降低了22.73 dB、8.13 dB和13.02 dB。隨著信噪比的增加，系統(tǒng)受到測(cè)量噪聲的影響也逐漸減小，測(cè)量噪聲信噪比為50 dB時(shí)，R-LM-PD技術(shù)的NMSE分別比其他三種方案降低了5.34 dB、1.93 dB和1.87 dB，相比無(wú)預(yù)失真時(shí)改善了約17 dB。

4 結(jié) 論

為解決HPA對(duì)GFDM系統(tǒng)帶來(lái)的影響，本文提出了一種基于實(shí)部反饋和LM算法的預(yù)失真方案(R-LM-PD)，采用MP模型模擬HPA的逆函數(shù)，只利用輸出反饋信號(hào)和期望信號(hào)的實(shí)部分量計(jì)算預(yù)失真器系數(shù)。同時(shí)，本文將LM算法用于求解預(yù)失真器系數(shù)。大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的預(yù)失真方案相比傳統(tǒng)直接學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)可以減少一個(gè)反饋支路，簡(jiǎn)化預(yù)失真器訓(xùn)練結(jié)構(gòu)，并且可以有效補(bǔ)償HPA引起的非線性失真，相比其他方案具有更好的線性化和抗噪聲性能，同時(shí)有效解決了文獻(xiàn)[12]中Hessian矩陣不可逆時(shí)無(wú)法迭代的局限性，具有良好的工程前景。