圓柱繞流尾跡轉(zhuǎn)捩電磁力控制研究*

黃亞冬 王智河 周本謀

1)(江蘇大學(xué),國家水泵及系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心,鎮(zhèn)江 212013)

2)(南京大學(xué),物理學(xué)院,南京 210093)

3)(南京理工大學(xué),瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210094)

圓柱繞流是典型的振蕩器流動(dòng),擾動(dòng)在空間固定位置隨時(shí)間增長,誘導(dǎo)尾跡轉(zhuǎn)捩,從而增大柱體振動(dòng)與流場噪聲.本文通過在圓柱迎流面、背流面以及全圓柱表面放置電磁激活板產(chǎn)生流向電磁力,調(diào)控二維基態(tài)流,降低尾跡中擾動(dòng)增長率,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)捩模態(tài)改變.Floquet 穩(wěn)定性分析發(fā)現(xiàn),迎流面控制中轉(zhuǎn)捩模態(tài)A和B的增長率變化較小,而背流面和全圓柱控制中兩種模態(tài)的增長率均隨電磁力控制參數(shù)的增大而減小.分析橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)的無黏增長率發(fā)現(xiàn),迎流面控制中尾跡高無黏增長率與無控制時(shí)相似,而背流面和全圓柱控制中均隨電磁力作用參數(shù)的增大而減小.三維直接數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)圓柱尾跡三維形態(tài)在背流面控制和全圓柱控制中由模態(tài)B 轉(zhuǎn)變?yōu)槟B(tài)A,與Floquet 穩(wěn)定性分析結(jié)果吻合.此外,當(dāng)圓柱尾跡形態(tài)發(fā)生變化后,背流面控制和全圓柱控制下圓柱所受的阻力分別降低了15.2%和14.4%.

1 引言

圓柱繞流因其工程常用且模型簡單,一直是流體力學(xué)中被廣泛研究的經(jīng)典流動(dòng)模型,其尾跡特性由雷諾數(shù)Re(R e=U∞d/ν,其中U∞為自由流速度,d為圓柱直徑,ν為運(yùn)動(dòng)黏性系數(shù))決定[1].當(dāng)雷諾數(shù)較小時(shí),尾跡中不出現(xiàn)周期性卡門渦街.尾跡發(fā)生二維失穩(wěn)的臨界雷諾數(shù)為45.403[2],當(dāng)雷諾數(shù)大于188.5后,圓柱尾跡中的三維擾動(dòng)出現(xiàn)指數(shù)增長,誘發(fā)轉(zhuǎn)捩形成三維結(jié)構(gòu).其空間特征主要表現(xiàn)轉(zhuǎn)捩模態(tài)A和模態(tài)B[3].當(dāng)雷諾數(shù)介于188.5—259時(shí),尾跡主要表現(xiàn)為轉(zhuǎn)捩模態(tài)A;當(dāng)雷諾數(shù)大于259時(shí),尾跡主要表現(xiàn)為轉(zhuǎn)捩模態(tài)B.此外,研究人員在出現(xiàn)轉(zhuǎn)捩模態(tài)A和B的雷諾數(shù)區(qū)間發(fā)現(xiàn)了亞諧波轉(zhuǎn)捩模態(tài)C[4].隨著雷諾數(shù)的繼續(xù)增大,尾跡中會(huì)出現(xiàn)轉(zhuǎn)捩模態(tài)B+[5].當(dāng)雷諾數(shù)超過1000后,圓柱尾跡在強(qiáng)剪切作用下出現(xiàn)復(fù)雜多尺度渦結(jié)構(gòu).

無論是二維尾跡還是三維尾跡,其不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)會(huì)誘發(fā)柱體振動(dòng)、增大柱體阻力與系統(tǒng)噪聲,因此研究人員不斷尋找高效實(shí)用的控制方法,控制尾跡形態(tài),實(shí)現(xiàn)減阻降噪.Xu等[6]在圓柱下游放置多孔材料,使柱體附近的湍流再層流化,并有效降低壁面壓力脈動(dòng).Gao等[7]在圓柱前后駐點(diǎn)處安裝分隔板,減弱圓柱前駐點(diǎn)附近流動(dòng)沖擊,阻礙尾跡中分離流相互作用,成功降低柱體阻力.Del Guercio等[8]采用表面吹吸方法降低二維尾跡中擾動(dòng)能量增長.Xu等[9]將圓柱表面設(shè)為行波壁面,改變邊界渦通量,從而抑制尾跡中不穩(wěn)定渦結(jié)構(gòu).Mao等[10]基于非線性最優(yōu)開環(huán)控制策略,通過吹吸誘導(dǎo)的體積力調(diào)控圓柱二維和三維尾跡,實(shí)現(xiàn)二維、三維渦結(jié)構(gòu)的完全抑制,并獲得較高的減阻率.近年來,為了提高控制效率,越來越多的研究人員將人工智能引入主動(dòng)控制[11],并結(jié)合穩(wěn)定性分析[12],實(shí)現(xiàn)圓柱尾跡不穩(wěn)定渦結(jié)構(gòu)的高效抑制.無論哪種控制,控制區(qū)域?qū)刂菩Ч休^大影響.Marquet等[13]通過敏感性分析發(fā)現(xiàn),在圓柱背流面附近施加體積力可更加有效地降低流場擾動(dòng)增長率,這一結(jié)果與Khodkar等[14]的相分析結(jié)果相似,即最優(yōu)控制體積力沿圓柱流向分布,而此分布特性恰巧與流向電磁力空間分布相似.

Albrecht等[15]在關(guān)于弱導(dǎo)電流體流動(dòng)控制的綜述文章中描述了電磁激活板的排列方式,主要有兩種:瓦片式和條狀式,其中條狀式排列的電磁激活板可激勵(lì)出流向電磁力.他們基于大量研究者研究結(jié)果將電磁力在流動(dòng)控制中的應(yīng)用分為三種:湍流邊界層減阻、層流-湍流轉(zhuǎn)捩延遲及流動(dòng)分離抑制.早期Kim等[16]的研究表明流向電磁力可將圓柱繞流分離點(diǎn)后移,降低圓柱阻力.尹紀(jì)富等[17]通過流向電磁力控制柱體表面的湍流邊界層,發(fā)現(xiàn)電磁力可延緩?fù)牧鬟吔鐚恿鲃?dòng)分離,降低柱體阻力時(shí)均值及其升力脈動(dòng)幅值.Zhang等[18?20]采用流向電磁力調(diào)控固定圓柱、單自由度以及兩自由度圓柱尾跡,發(fā)現(xiàn)流向電磁力可有效降低柱體受到的阻力并成功抑制渦致振動(dòng).此外,流向電磁力被用于潛艇圓柱光電桅桿的消渦減振[21].

作者前期采用圓柱整體加力方式,實(shí)現(xiàn)了圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)的有效調(diào)控,并初步定性分析了轉(zhuǎn)捩模態(tài)變化的誘因[22],但量化分析有待進(jìn)一步完成.同時(shí),不同加力區(qū)域?qū)D(zhuǎn)捩控制效果的影響規(guī)律也有待進(jìn)一步揭示.因此,本文將詳細(xì)討論不同加力區(qū)域下電磁力對(duì)圓柱尾跡的轉(zhuǎn)捩控制效果,對(duì)擾動(dòng)增長率變化誘因進(jìn)行量化分析,進(jìn)一步揭示電磁力改變圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)的誘因.

2 計(jì)算與分析方法

本文控制模型如圖1 所示,d為圓柱直徑,電磁極沿展向交替排布于圓柱表面,產(chǎn)生流向電磁力,此時(shí)流動(dòng)滿足以下控制方程:

其中u,p為流體速度與壓力,t是時(shí)間,fL是流向電磁力,其表達(dá)式為

其中j為電流密度,B為磁感應(yīng)強(qiáng)度.電流密度又可寫成:

式中σe是流體電導(dǎo)率,E是電場強(qiáng)度.由于∥E∥2?∥u×B∥2(∥ ·∥2表示2 范數(shù)),所以電流密度可簡化為j=σeE.通過求解Maxwell 方程可得到電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度,Berger等[23]詳細(xì)闡述了流向電磁力的計(jì)算過程.電磁力的空間分布如圖1 所示,可以發(fā)現(xiàn)電磁力大小沿展向(z軸方向)周期性變化.當(dāng)將電磁力作展向平均后,發(fā)現(xiàn)電磁力大小沿著壁面法線方向呈指數(shù)衰減.為了便于研究,研究人員通常將流向電磁力作近似表達(dá)為指數(shù)形式[24],本文中將電磁力近似表達(dá)為Nexp(?5πr),其中N是電磁力作用參數(shù),表示電磁力與慣性力的比值,r表示到電磁激活板表面的距離.本文中,電磁力控制方式分為3 種:全圓柱控制、迎流面控制和背流面控制.在全圓柱控制中,電磁力控制區(qū)域?yàn)檎麄€(gè)圓柱表面;在迎流面控制中,電磁力只施加于圓柱前半段;在背流面控制中,電磁力作用于圓柱后半段.

圖1 控制模型Fig.1.Control model.

若將方程(1)中流場變量寫成基態(tài)流與擾動(dòng)和的形式:(u,p)=(U,P)+(u′,p′),則方程(1)變?yōu)?/p>

由于基態(tài)流滿足:

將方程(4)減去方程(5)得到:忽略方程中高階小量O(u′2),得到線性擾動(dòng)方程:

對(duì)方程(7)兩邊取散度,由于? ·u′=0,則擾動(dòng)壓力p′可用擾動(dòng)速度u′表示,此時(shí)線性擾動(dòng)方程(7)可進(jìn)一步寫成算子形式:

由于圓柱二維尾跡基態(tài)流U是周期性流動(dòng),因此算子L也是周期性的,滿足Floquet 型.考慮算子L的特征系統(tǒng),其特征值為λj,對(duì)應(yīng)的特征矢量為u?j(x),且滿足:

那么,擾動(dòng)從t0時(shí)刻經(jīng)過一個(gè)周期τ到t0+τ時(shí)刻的變化可以表達(dá)為

方程中特征值λj=σr+iω,其中σr是擾動(dòng)增長率,ω為頻率.u?j是特征矢量,可看作擾動(dòng)模態(tài).

3 網(wǎng)格劃分與驗(yàn)證

本文采用高精度譜元法[25]求解Re=300 下的流場結(jié)構(gòu),圖2 展示了基態(tài)流計(jì)算及線性穩(wěn)定分析的計(jì)算區(qū)域和網(wǎng)格劃分.來流入口距圓柱中心20 個(gè)圓柱直徑,出口距圓柱中心40 個(gè)圓柱直徑,上下邊界距圓柱中心20 個(gè)圓柱直徑.空間區(qū)域被劃分為1144 個(gè)四邊形h型網(wǎng)格,網(wǎng)格尺寸大小與流場形態(tài)有關(guān).由于圓柱近壁區(qū)域存在流動(dòng)分離,且這一區(qū)域?yàn)榧恿刂茀^(qū)域,所以近壁網(wǎng)格被加密,圓柱壁面被劃分為20個(gè)h型網(wǎng)格,如圖中局部放大圖所示.

圖2 計(jì)算區(qū)域網(wǎng)格劃分Fig.2.Mesh of the calculation domain.

在譜元法中,每個(gè)h型單元網(wǎng)格通過單元插值被進(jìn)一步劃分,本文中單元插值函數(shù)及單元節(jié)點(diǎn)變量展開的形函數(shù)均為Gauss-Lobatto-Legendre Lagrange 多項(xiàng)式系統(tǒng).流場中的邊界條件根據(jù)求解流場的性質(zhì)設(shè)置.在基態(tài)流求解時(shí),入口及上下邊界?！藓蛨A柱壁面Γb均設(shè)為Dirichlet邊界條件,即(u=1,v=0)和(u=0,v=0);出口邊界Γo設(shè)為Neumann邊界條件,即(?nu=0,?nv=0);除了出口邊界Γo外,其他所有邊界上的壓力均設(shè)為高階Neumann 邊界條件[26],而邊界Γo上的壓力設(shè)為0.在進(jìn)行Floquet 穩(wěn)定性分析時(shí),邊界條件的設(shè)置與基態(tài)流求解時(shí)相似,只是出口邊界與圓柱壁面上的擾動(dòng)均設(shè)為0.時(shí)間離散采用三步分裂法[26],在Floquet 穩(wěn)定性分析時(shí)采用時(shí)間步方法、Krylov 子空間方法以及QR 矩陣分解法求解方程(9)中特征值問題,同時(shí)將三維擾動(dòng)寫成如下形式:

詳細(xì)的特征值求解過程,讀者可參考Barkley等[27]的研究文章.

由于本文h型網(wǎng)格數(shù)量多于Barkley等[3]研究中的網(wǎng)格數(shù)量,因此在收斂性驗(yàn)證中主要討論插值階數(shù)對(duì)收斂性的影響.表1展示了不同插值階數(shù)K下的計(jì)算收斂性,計(jì)算時(shí)間步長均為0.001,采用2 階格式時(shí)間離散.是無電磁力控制時(shí),基態(tài)流中圓柱受到的平均阻力系數(shù)(包含壓差阻力和摩擦阻力),表達(dá)式為其中fpx和fvx分別是流向壓應(yīng)力和黏性應(yīng)力,為流體動(dòng)壓,ρ是流體密度,T為尾跡周期;σr表示無電磁力控制時(shí)展向擾動(dòng)波數(shù)β=7.60 時(shí)擾動(dòng)的指數(shù)增長率.可以看到,當(dāng)插值階數(shù)K≥6時(shí),相對(duì)差值的量級(jí)小于O(10?4),這表明采用8 階插值可以使得求解結(jié)果達(dá)到非常高的精度.

表1 不同插值階數(shù)下的計(jì)算收斂性Table 1.Convergence for different interpolation orders.

Re=300時(shí),無電磁力控制下基態(tài)流圓柱尾跡的Stro uhal數(shù)S t=fd/U∞=0.212,其中f為渦街脫落頻率,所以展向波數(shù)為7.60的三維擾動(dòng)在經(jīng)過一個(gè)周期的線性演化后,其擾動(dòng)幅值將變?yōu)槌跏紨_動(dòng)的e xp(0.14555/0.212)≈2 倍.實(shí)際上,圓柱尾跡變化頻率隨著雷諾數(shù)的增大而增大.圖3 展示了采用8 階插值、時(shí)間步為0.001 及2 階格式時(shí)間離散下計(jì)算得到的不同雷諾數(shù)下圓柱尾跡的Strouhal 數(shù).可以看到,尾跡中卡門渦的脫落頻率隨雷諾數(shù)變化曲線呈上凸?fàn)?表明隨著雷諾數(shù)增大,渦街脫落頻率的增長率逐漸減小.圖中不同符號(hào)代表不同參考文獻(xiàn)的研究結(jié)果,可以看到本文的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與Barkley等[3]、Williamson[28]及Hammache等[29]的研究結(jié)果吻合得較好,這表明本文數(shù)值計(jì)算算法的可行性.因此,在接下來的計(jì)算分析中,采用8 階插值,計(jì)算時(shí)間步長為0.001,且采用2 階格式時(shí)間離散.

圖3 隨雷諾數(shù)變化的圓柱尾跡Strouhal數(shù)Fig.3.The Strouhal number of the cylinder wake varying with the Reynolds number.

4 結(jié)果與討論

4.1 轉(zhuǎn)捩模態(tài)的增長率

本文采用流向電磁力改變二維基態(tài)流,從而影響尾跡中三維擾動(dòng)的增長率,改變尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài).圖4 展示了圓柱尾跡的Strouhal 數(shù)隨電磁力作用參數(shù)的變化規(guī)律.在無電磁力控制時(shí),二維尾跡中渦街脫落頻率為0.212.當(dāng)施加流向電磁力后,渦街脫落頻率隨著電磁力作用參數(shù)的增大而增大,而增大的速度在全圓柱控制下最大.在電磁力作用參數(shù)較小時(shí)(0.9

圖4 隨電磁力作用參數(shù)變化的圓柱尾跡Strouhal數(shù)Fig.4.The Strouhal number of the cylinder wake varying with the control number.

圖5 展示了不同控制參數(shù)下轉(zhuǎn)捩模態(tài)B的增長率隨擾動(dòng)波數(shù)的變化特性,其中無曲線部分σr對(duì)應(yīng)的ω不為0,其余部分ω均為0.可以看到在無電磁力作用下,擾動(dòng)的增長率隨著擾動(dòng)波數(shù)的增大而增大,并在β=7.58 時(shí)達(dá)到最大值,然后隨著波數(shù)的增大而單調(diào)遞減.在迎流面控制中,不同電磁力作用參數(shù)下三維擾動(dòng)的增長率隨波數(shù)的變化趨勢幾乎一致,擾動(dòng)增長率峰值及對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)波數(shù)隨著作用參數(shù)的增大而增大,但變化較小.如N=0.6時(shí),峰值σr=0.1498位于β=7.78處,而N=1.0時(shí),峰值σr=0.1605 位于β=7.92 處.盡管增長率最大值隨著電磁力作用參數(shù)的增大而增大,但由于尾渦變化周期隨電磁力作用參數(shù)增大而減小,所以迎流面控制中一個(gè)周期內(nèi)擾動(dòng)增長率的峰值幾乎不隨電磁力作用參數(shù)變化.背流面控制中,不同電磁力作用參數(shù)下,擾動(dòng)增長率的變化比較明顯.可以看到,在背流面控制中,擾動(dòng)增長率隨擾動(dòng)波數(shù)的變化趨勢與迎流面控制中相同,擾動(dòng)增長率峰值隨電磁力作用參數(shù)的增大而減小,對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)波數(shù)隨之增大.在N >0.6時(shí),背流面控制中擾動(dòng)增長率小于0,表明背流面控制下這一量級(jí)的電磁力可以有效抑制小波長三維擾動(dòng)的增長,使得尾跡中不存在轉(zhuǎn)捩模態(tài)B.

圖5 不同控制參數(shù)下隨擾動(dòng)波數(shù)變化的模態(tài)B 增長率(a)迎流面控制;(b)背流面控制;(c)全圓柱控制Fig.5.The growth rates of Mode B varying with the spanwise wavenumber for different control numbers:(a)Windward control;(b)leeward control;(c)global control.

盡管全圓柱控制從加力方式上可以看成迎流面控制和背流面控制之和,但從控制效果來看,全圓柱控制對(duì)擾動(dòng)增長率的抑制效果大于前兩種控制效果之和.對(duì)比圖5(b)和(c)中同一電磁力作用下的σr值,可以發(fā)現(xiàn),同一電磁力作用參數(shù)下,全圓柱控制三維擾動(dòng)的增長率稍小于背流面控制中.不但如此,由于全圓柱控制中尾跡中渦街脫落頻率大于背流面控制中,所以擾動(dòng)在線性演化一個(gè)周期后其擾動(dòng)幅值的增長率更小于背流面控制中,這表明整體控制并不是局部控制的簡單疊加.但從控制效率看,背流面控制優(yōu)于全圓柱控制,因?yàn)閳A柱繞流敏感性分析中,背流面區(qū)域?qū)刂屏Ω舾衃13].

圖6 展示了不同控制參數(shù)下模態(tài)A的增長率隨擾動(dòng)波數(shù)的變化規(guī)律.在迎流面控制中,流向電磁力對(duì)大波長擾動(dòng)增長率的影響甚微,不同電磁力作用下的曲線幾乎重合,這與小波長擾動(dòng)變化情況類似,這表明迎流面控制對(duì)Re=300 時(shí)圓柱尾跡中三維擾動(dòng)增長的抑制效果不佳.相比于迎流面控制,背流面控制和全圓柱控制對(duì)尾跡中三維擾動(dòng)增長的抑制效果非常明顯.此外,由圖6 可以看出,最不穩(wěn)定大波長擾動(dòng)的波數(shù)對(duì)電磁力作用參數(shù)的變化不敏感,波數(shù)都集中在β=1.8 左右.在電磁力作用參數(shù)N≤1.0時(shí),背流面控制和全圓柱控制中的曲線變化相似,在N=1.2時(shí),全圓柱控制中擾動(dòng)增長率峰值小于背流面控制中,這種情況與小波長擾動(dòng)增長率隨電磁力作用參數(shù)的變化相似,進(jìn)一步說明在不同控制參數(shù)下,全圓柱控制中對(duì)擾動(dòng)抑制效果最佳.當(dāng)然,隨著電磁力作用參數(shù)的繼續(xù)增大,背流面控制和全圓柱控制將完全抑制圓柱尾跡中所有波長擾動(dòng)的增長,使得圓柱尾跡中不存在轉(zhuǎn)捩模態(tài)A,這樣就完全抑制流動(dòng)轉(zhuǎn)捩.

圖6 不同控制參數(shù)下隨擾動(dòng)波數(shù)變化的模態(tài)A 增長率(a)迎流面控制;(b)背流面控制;(c)全圓柱控制Fig.6.The growth rates of Mode A varying with the spanwise wavenumber for different control numbers:(a)Windward control;(b)leeward control;(c)global control.

圖7 展示了不同控制參數(shù)下最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)的增長率,即實(shí)Floquet 乘子的模.可以看到迎流面控制下,最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)的增長率隨電磁力作用參數(shù)變化較小,而在背流面控制和全圓柱控制下隨著作用參數(shù)的增大而迅速減小.

圖7 不同控制參數(shù)下最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)的增長率(a)模態(tài)A;(b)模態(tài)BFig.7.The growth rate of the most unstable transition mode for different control numbers:(a)Mode A;(b)Mode B.

由圖5和6 可知,在電磁力作用參數(shù)N=1.0時(shí),迎流面控制中圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)表現(xiàn)為模態(tài)B,而背流面控制及全圓柱控制中,尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)表現(xiàn)為模態(tài)A.圖8 展示了這些最不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)捩模態(tài),云圖采用展向擾動(dòng)渦量表示,渦量值為–0.02—0.02.由于展向擾動(dòng)分布與展向渦量分布相似,因此圖8 可較好地展示轉(zhuǎn)捩模態(tài)的空間分布特性.作為對(duì)比,圖8(a)展示了無電磁力控制中最不穩(wěn)定的模態(tài)B,其展向擾動(dòng)波數(shù)為7.58.對(duì)比圖8(a)和(b),可以發(fā)現(xiàn)模態(tài)B 中的擾動(dòng)分布相似,主要集中在近尾跡中辮狀區(qū)域.模態(tài)A(圖8(c)和(d))中的擾動(dòng)主要集中在渦核區(qū)域.緒論中提到,振蕩器流動(dòng)系統(tǒng)中擾動(dòng)呈現(xiàn)自維持振蕩,這些三維擾動(dòng)的空間分布與基態(tài)流尾渦有關(guān),隨著基態(tài)流中渦強(qiáng)度的逐漸減小,擾動(dòng)強(qiáng)度也沿流向衰減.從渦量幅值沿流向的衰減看,模態(tài)A 中擾動(dòng)衰減比模態(tài)B 緩慢.

圖8 不同控制參數(shù)下的最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)(云圖為渦量)(a)無控制;(b)迎流面控制;(c)背流面控制;(d)全圓柱控制Fig.8.The unstable transition mode(the contour is the vorticity):(a)No control;(b)windward control;(c)leeward control;(d)global control.

4.2 橢圓與雙曲不穩(wěn)定

Williamson[1]和Thompson等[30]認(rèn)為模態(tài)A和模態(tài)B 中的擾動(dòng)分布與增長分別與尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定有關(guān).他們通過對(duì)圓柱尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域增長率的分析,成功得到了最不穩(wěn)定三維擾動(dòng)的展向波長及增長率.流動(dòng)中橢圓不穩(wěn)定與雙曲不穩(wěn)定區(qū)域由離心率ζ區(qū)分,ζ定義為

其中S和?分別為應(yīng)變率和旋轉(zhuǎn)率張量:

∥S∥=是應(yīng)變率幅值,表示渦量幅值.和分別表示各自的共軛轉(zhuǎn)置,“tr”表示矩陣的跡.0<ζ<1 表示該流動(dòng)區(qū)域主要存在橢圓不穩(wěn)定,而ζ >1 表示該流動(dòng)區(qū)域主要存在雙曲不穩(wěn)定.橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的增長率由兩部分組成;黏性增長率σv和無黏增長率σi,而黏性增長率相比于無黏增長率較小,所以接下來將著重討論這些區(qū)域在不同控制參數(shù)下的無黏增長率變化.無黏增長率的表達(dá)式為[30]

無電磁力控制中,一個(gè)周期內(nèi)圓柱尾跡中橢圓不穩(wěn)定與雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率隨時(shí)間的變化如圖9 所示.值得一提的是,這里的增長率是積分所得增長率,并且積分區(qū)域?yàn)楦邿o黏增長率區(qū)域,即橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率σie>0.3,雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率σih>0.6,積分區(qū)域?yàn)? ≤x≤8,?4 ≤y≤4,圖中的“T”示尾跡中渦街脫落周期.可以看到曲線整體成周期性變化,變化周期是尾渦脫落周期的一半,與基態(tài)流中圓柱所受阻力變化周期相同.無黏增長率隨時(shí)間周期性變化是因?yàn)槲矞u的上半?yún)^(qū)域和下半?yún)^(qū)域交替演化.可以看到無電力控制中橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率變化曲線的平均值為1.04(黑點(diǎn)線),縱坐標(biāo)取值區(qū)間為[0.89,1.19];雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率變化曲線的均值為3.59,縱坐標(biāo)取值區(qū)間為[3.39,3.79],無黏增長率的平均值大于橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率平均值.對(duì)比兩圖可以發(fā)現(xiàn),橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在半個(gè)尾跡周期內(nèi)的變化不對(duì)稱,變化時(shí)長比約為5 :3,而雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率變化的對(duì)稱性相對(duì)較高,接近 1 :1.

圖9 無控制中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)的時(shí)變無黏增長率(a)橢圓不穩(wěn)定誘導(dǎo);(b)雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)Fig.9.Variations of the inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability:(a)Induced by the elliptic instability;(b)induced by the hyperbolic instability.

圖9 中標(biāo)記的兩個(gè)點(diǎn)分別代表各自不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率峰值時(shí)刻,圖10 所示為這兩個(gè)時(shí)刻圓柱尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的空間分布.虛線表示渦量為–2的等值線,實(shí)線表示渦量為2的等值線,云圖去掉了σie<0.5及σih<1.2區(qū)域.圖10(b)中,圓柱尾跡中的高無黏增長率的橢圓不穩(wěn)定區(qū)域主要集中在渦核區(qū)域,且初生渦渦核中橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率明顯大于次生渦中.圖10(a)中,尾跡中的雙曲不穩(wěn)定區(qū)域主要存在于3 個(gè)區(qū)域:初生渦渦腿、回流區(qū)以及連接初生渦與次生渦的辮狀區(qū)域.前面提到,雙曲不穩(wěn)定主要與流動(dòng)區(qū)域的應(yīng)變有關(guān),初生渦生長過程中,渦腿被拉伸,使得這一區(qū)域出現(xiàn)雙曲不穩(wěn)定;初生渦發(fā)展成次生渦過程中,辮狀區(qū)域也被拉伸,從而這一區(qū)域也集中了雙曲不穩(wěn)定;在回流區(qū),由于壁面的阻擋作用,回流區(qū)流體受到擠壓發(fā)生很大的形變,從而也集中了雙曲不穩(wěn)定.圖9中,t2

圖10 無控制中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)的具有最大無黏增長率的區(qū)域(云圖為無黏增長率)(a)t1 時(shí)刻橢圓不穩(wěn)定誘導(dǎo);(b)t2 時(shí)刻雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)Fig.10.Regions with the maximum inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability:(a)Induced by the elliptic instability at t1;(b)induced by the hyperbolic instability at t2.

圖11 所示為全圓柱控制中一個(gè)周期內(nèi)圓柱尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率的變化.積分區(qū)域及積分變量的取值范圍與無電磁力控制下相同,圖中的“T”表示相應(yīng)作用參數(shù)下尾渦脫落周期,其值隨電磁力作用參數(shù)的增大而減小.圖中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率的縱坐標(biāo)區(qū)間大小分別為0.3和0.2.可以發(fā)現(xiàn),隨著電磁力作用參數(shù)的增大,無論是橢圓不穩(wěn)定還是雙曲不穩(wěn)定區(qū)域,其無黏增長率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值逐漸減小.不同電磁力作用參數(shù)下橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率變化曲線相似,而雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在短時(shí)間間隔內(nèi)的波動(dòng)減小,卻在一個(gè)周期內(nèi)的整體波動(dòng)增強(qiáng).此外,雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率峰值出現(xiàn)的時(shí)間更加滯后于橢圓不穩(wěn)定區(qū)域,這是因?yàn)殡S著電磁力作用參數(shù)的增大,流動(dòng)分離被逐漸抑制,在初生渦形成到次生渦脫落過程中,辮狀區(qū)域會(huì)被進(jìn)一步拉伸,從而兩個(gè)峰值出現(xiàn)的時(shí)間間隔占渦脫落周期的比重就增大,雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率峰值時(shí)刻更加滯后.短時(shí)間間隔內(nèi)雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率的波動(dòng)是由初生渦擺動(dòng)造成,在電磁力作用下,流動(dòng)分離得到一定抑制,初生渦的擺動(dòng)也得到相應(yīng)抑制,這樣雙曲不穩(wěn)定區(qū)域無黏增長率曲線的短時(shí)間間隔波動(dòng)就會(huì)減弱.曲線整體波動(dòng)的加劇歸因于渦脫落頻率的增大,使得上下兩部分初生渦被交替拉伸的時(shí)間間隔變短,這樣雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在一個(gè)周期內(nèi)的波動(dòng)就會(huì)增大.

圖11 全圓柱控制中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)的時(shí)變無黏增長率(a)N=0.6;(b)N=0.8;(c)N=1.0;(d)N=1.2Fig.11.Variations of the inviscid growth rates induced by the elliptic instability and hyperbolic instability with the time:(a)N=0.6;(b)N=0.8;(c)N=1.0;(d)N=1.2.

圖12 所示為不同控制參數(shù)下圓柱尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在一個(gè)演化周期內(nèi)的平均值,這一平均值代表了不穩(wěn)定區(qū)域在一個(gè)周期內(nèi)的無黏增長率.可以看到橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率平均值隨著電磁力作用參數(shù)的增大而減小,這是因?yàn)楸沉髅婵刂坪腿珗A柱控制時(shí),尾渦得到一定抑制,渦強(qiáng)度降低,從而渦核區(qū)域的橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率平均值減小.圖12(a)中,同一電磁力作用參數(shù)下,全圓柱控制中橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率平均值小于背流面控制中.實(shí)際上,圖12(a)只展示了高無黏增長率區(qū)域,對(duì)于一般或較低無黏增長率區(qū)域(如渦核以外的積分區(qū)域),其在全圓柱控制中較背流面控制中少,所以確定積分區(qū)域和積分變量取值后,全圓柱控制下無黏增長率的平均值較背流面控制中小.與橢圓不穩(wěn)定平均無黏增長率的變化相似,背流面控制和全圓柱控制情況下雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的平均無黏增長率隨著電磁力作用參數(shù)的增大而減小.在迎流面控制中,雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的平均無黏增長率隨著電磁力作用參數(shù)的增大而增大,但增量很小.可以看到,背流面控制和全圓柱控制下的兩條曲線很接近,但在同一電磁力作用參數(shù)下,背流面控制下雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的平均無黏增長率小于全圓柱控制中.這一現(xiàn)象歸因于全圓柱控制中辮狀區(qū)域的進(jìn)一步拉伸,從而雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的平均無黏增長率稍增大.

圖12 隨電磁力作用參數(shù)變化的平均無黏增長率(a)橢圓不穩(wěn)定誘導(dǎo);(b)雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)Fig.12.Variations of the mean inviscid growth rates with the control numbers:(a)Induced by the elliptic instability;(b)induced by the hyperbolic instability.

對(duì)比圖12(b)和圖7(b),可發(fā)現(xiàn)Floquet 穩(wěn)定性分析中,在同一電磁力作用參數(shù)下,全圓柱控制中最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)B的增長率小于背流面控制中,而在雙曲不穩(wěn)定分析中,這一趨勢剛好相反(圖12(b)).該現(xiàn)象歸因于兩方面因素,一方面圖12(b)只代表高無黏增長率隨電磁力作用參數(shù)變化的趨勢,且在雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率分析時(shí),設(shè)定了積分區(qū)域及積分變量的取值范圍,從而只考慮了近尾跡中的高無黏增長率區(qū)域,忽略了小無黏增長率區(qū)域;另一方面,前面已提到圓柱尾跡中不穩(wěn)定區(qū)域的增長率由無黏增長率和黏性增長率組成,即σ=σi?σv,而圖12(b)中只展示了無黏增長率的變化.無論是哪種因素,由于Floquet穩(wěn)定性分析得到的是全局流場的三維擾動(dòng)變化,因此相同電磁力作用參數(shù)下,全圓柱控制可使轉(zhuǎn)捩模態(tài)獲得最小的增長率.圖7和圖12 中曲線變化特性相似,這進(jìn)一步表明橢圓不穩(wěn)定誘導(dǎo)了轉(zhuǎn)捩模態(tài)A的增長,而雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)了轉(zhuǎn)捩轉(zhuǎn)捩模態(tài)B的增長.

4.3 三維尾跡特性

通過對(duì)二維基態(tài)流的Floquet 穩(wěn)定性分析、尾跡區(qū)域橢圓不穩(wěn)定與雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)無黏增長率分析得到背流面控制及全圓柱控制下圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)變化的原因,然而轉(zhuǎn)捩模態(tài)增長率的變化只是線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果.實(shí)際流動(dòng)中,擾動(dòng)通過非線性演化形成湍流,所以本文將采用三維直接數(shù)值模擬研究轉(zhuǎn)捩模態(tài)的非線性演化以及此時(shí)流向電磁力的控制效果.在計(jì)算轉(zhuǎn)捩模態(tài)A的非線性演化時(shí),計(jì)算區(qū)域的展向尺寸為最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)A 對(duì)應(yīng)展向擾動(dòng)波長的4倍,而在計(jì)算轉(zhuǎn)捩模態(tài)B的非線性演化時(shí),三維計(jì)算區(qū)域的展向尺寸為最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)B 對(duì)應(yīng)展向波長的16 倍.采用譜元法進(jìn)行三維計(jì)算時(shí),變量在展向(第三維方向)Fourier 展開,展開平面數(shù)即是展向計(jì)算節(jié)點(diǎn)數(shù).Fourier 模態(tài)關(guān)于模態(tài)指數(shù)0 共軛對(duì)稱的,若選用整個(gè)Fourier 模態(tài)進(jìn)行變量展開,混淆誤差會(huì)使兩個(gè)展開變量乘積的Fourier 系數(shù)并不等于各自變量系數(shù)的乘積,因此計(jì)算中展向平面?zhèn)€數(shù)設(shè)為偶數(shù),只選取Fourier 模態(tài)指數(shù)不小于0的模態(tài)參與展開.計(jì)算區(qū)域在展向均采用192 個(gè)平面,這樣就有96 個(gè)Fourier 模態(tài),充分保證了流場刻畫的分辨率.初始流場為不同控制參數(shù)下的基態(tài)流場疊加最不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)捩模態(tài),轉(zhuǎn)捩模態(tài)中擾動(dòng)能量與基態(tài)流能量的比值為10?5.邊界條件設(shè)置與二維基態(tài)流計(jì)算時(shí)相同,展向邊界設(shè)為周期性邊界條件,采用二階格式的時(shí)間離散,計(jì)算時(shí)間步長為0.001.

圖13 展示了三維直接數(shù)值模擬中不同控制參數(shù)下主Fourier 模態(tài)(最不穩(wěn)定模態(tài))的能量ε=隨時(shí)間的變化,電磁力作用參數(shù)為0.6.是二維計(jì)算域面積,是Fourier 模態(tài)中速度變量,是其共軛變量.可以看到,演化初期,主模態(tài)能量變化曲線呈波動(dòng)上升,達(dá)到最大值后,能量曲線稍稍下降直至準(zhǔn)平衡狀態(tài).達(dá)到能量平衡狀態(tài)的主Fourier 模態(tài)的能量隨時(shí)間呈周期性變化,變化周期約為二維尾跡周期的一半.在無電磁力控制和迎流面控制中,能量曲線一開始的增長率相似,這與圖7(b)結(jié)果相吻合,不過由于非線性影響,達(dá)到準(zhǔn)平衡狀態(tài)時(shí)迎流面控制下主Fourier 模態(tài)的能量小于無電磁力控制中.背流面控制和全圓柱控制中主Fourier 模態(tài)的能量一開始增長緩慢,這是由于黏性耗散引起的.當(dāng)主Fourier 模態(tài)能量增大到一定量級(jí)后,增長率增大.當(dāng)t >20后,背流面控制下的主Fourier 模態(tài)能量增長率稍大于全圓柱控制下,這一趨勢與圖7(b)中結(jié)果相吻合.

圖13 隨時(shí)間變化的主Fourier 模態(tài)能量Fig.13.The energy of the primary Fourier mode varying with the time.

圖14 展示了電磁力作用參數(shù)N=1.0時(shí),不同控制情形下的三維流動(dòng)結(jié)構(gòu)圖,這些流動(dòng)結(jié)構(gòu)均是由如圖8 所示的初始擾動(dòng)演化形成,渦結(jié)構(gòu)采用λ2判別準(zhǔn)則[31]描述(λ2=?0.001).可以看到,在給定初始擾動(dòng)后,圓柱尾跡中的擾動(dòng)形成自維持振蕩,擾動(dòng)能量隨時(shí)間指數(shù)增長,達(dá)到非線性飽和臨界值后,由非線性主導(dǎo)流動(dòng)轉(zhuǎn)捩,形成圖14 中三維結(jié)構(gòu).圖14(a)和(b)展示了由轉(zhuǎn)捩模態(tài)B 非線性演化形成的三維渦結(jié)構(gòu),圖14(c)和(d)展示了由轉(zhuǎn)捩模態(tài)A 非線性演化形成的三維渦結(jié)構(gòu).可以發(fā)現(xiàn)圓柱三維尾跡中相鄰的展向渦由流向渦對(duì)連接,在由模態(tài)B 非線性演化形成的三維流場中,流向渦對(duì)的展向間距較小,約為0.8 個(gè)圓柱直徑.在由模態(tài)A 非線性演化形成的三維流場中,流向渦對(duì)的空間尺寸大于模態(tài)B 中的流向渦對(duì),且其展向間距約為3.4 個(gè)圓柱直徑.不難看出,由轉(zhuǎn)捩模態(tài)A 形成的三維渦結(jié)構(gòu)中,展向渦出現(xiàn)形變,從而每個(gè)流向位置處展向渦上的流向渦的旋轉(zhuǎn)方向發(fā)生變化.而由轉(zhuǎn)捩模態(tài)B 形成的三維渦結(jié)構(gòu)中,展向渦沿展向不變化,所以經(jīng)過每個(gè)展向渦的流向渦旋轉(zhuǎn)方向不變.在同一展向位置,流向渦形成的流動(dòng)結(jié)構(gòu)好似在展向渦附近正弦振蕩.

圖14 不同控制工況下的圓柱三維尾跡結(jié)構(gòu)Fig.14.The three-dimensional structures of the cylinder wake for different control cases.

圖15 展示了不同控制參數(shù)下由模態(tài)B 非線性演化形成的流場中不同流向位置處展向速度脈動(dòng)沿法向的變化.實(shí)線表示無電磁力作用時(shí),虛線、點(diǎn)劃線和點(diǎn)線分別表示迎流面控制、背流面控制和全圓柱控制時(shí).可以看到無電磁力控制和迎流面控制中,展向脈動(dòng)速度沿法向變化相似,而背流面控制和全圓柱控制中曲線空間變化趨勢接近.總的來看,在同一法向位置,無電磁力控制中的展向脈動(dòng)速度最大,而在全圓柱控制中最小,這一現(xiàn)象歸因于擾動(dòng)能量的降低.可以發(fā)現(xiàn),曲線關(guān)于y/d=0 對(duì)稱,且存在兩個(gè)峰值,這是由于三維尾渦上下交替演化,而大部分展向擾動(dòng)存在于辮狀區(qū)域,所以辮狀區(qū)域會(huì)出現(xiàn)展向速度脈動(dòng)峰值.由于基態(tài)流中渦街脫落過程中渦的振蕩,使得連接相鄰渦核的辮狀區(qū)域沿法向擴(kuò)張,所以圖8(a)和(b)展示的模態(tài)B 中的下游擾動(dòng)逐漸沿法向擴(kuò)張,從而轉(zhuǎn)捩形成的三維渦結(jié)構(gòu)圖中流向渦對(duì)也沿法向擴(kuò)張(圖14(a)和(b)),因此可以看到展向脈動(dòng)速度峰值沿法向向兩邊移動(dòng).此外,圓柱繞流屬于振蕩器流動(dòng)系統(tǒng),擾動(dòng)在空間固定位置隨時(shí)間呈指數(shù)增長,盡管Floquet 穩(wěn)定性分析中模態(tài)B 中的擾動(dòng)在x/d=1.2處擾動(dòng)較強(qiáng),當(dāng)在其三維非線性演化中,由于非線性影響,這一位置的展向速度脈動(dòng)較小.在其下游位置,速度脈動(dòng)增強(qiáng).不過,當(dāng)x/d>2.1后,展向速度脈動(dòng)沿流向開始衰減,這與Floquet 模態(tài)展示的擾動(dòng)強(qiáng)度分布類似.

圖15 模態(tài)B 轉(zhuǎn)捩形成的流場中流向不同位置展向速度脈動(dòng)Fig.15.Distributions of the spanwise velocity pulsations along the wall-normalwise direction at different streamwise locations in the wake evolving from Mode B.

圖16 展示了不同控制參數(shù)下由轉(zhuǎn)捩模態(tài)A 非線性演化形成的流場中不同流向位置展向速度脈動(dòng)沿法向的變化,其中實(shí)線表示背流面控制,虛線表示全圓柱控制,電磁力作用參數(shù)為1.0.對(duì)比圖15和圖16 可知,由模態(tài)A 非線性演化形成的三維流場中的展向速度脈動(dòng)沿法向的變化與由模態(tài)B 非線性演化形成的三維流動(dòng)中展向速度脈動(dòng)沿法向變化不一樣.盡管兩種曲線都關(guān)于y/d=0對(duì)稱,都有兩個(gè)峰值,但可以看到由模態(tài)B 非線性演化形成的三維流動(dòng)結(jié)構(gòu)中展向速度脈動(dòng)在峰值附近波動(dòng)較大,而由模態(tài)A 非線性演化形成的三維流場中,該波動(dòng)較小.這一現(xiàn)象歸因于擾動(dòng)增長的誘因不同,可以看到圖9(b)中曲線在峰值附近的波動(dòng)比圖11(c)中黑線所示曲線波動(dòng)劇烈,而這種隨時(shí)間的波動(dòng)恰好也反映了不穩(wěn)定在空間上的波動(dòng).雙曲不穩(wěn)定與流動(dòng)區(qū)域的應(yīng)變有關(guān),而辮狀區(qū)域伴隨著初生渦生成次生渦、初生渦的生長以及次生渦的脫落,雙曲不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在峰值附近波動(dòng)劇烈,使得轉(zhuǎn)捩后流場中展向速度脈動(dòng)在峰值附近波動(dòng)劇烈.而橢圓不穩(wěn)定區(qū)域主要集中在渦核區(qū)域,其無黏增長率與渦量強(qiáng)度有關(guān),而一個(gè)周期內(nèi)圓柱尾渦的渦強(qiáng)度變化較規(guī)律,所以橢圓不穩(wěn)定區(qū)域的無黏增長率在峰值附近波動(dòng)較小,從而使三維流場中展向脈動(dòng)速度在峰值附近波動(dòng)較小.

圖16 模態(tài)A 轉(zhuǎn)捩形成的流場中流向不同位置展向速度脈動(dòng)Fig.16.Distributions of the spanwise velocity pulsations along the wall-normalwise direction at different streamwise locations in the wake evolving from Mode A.

表2 展示了不同控制參數(shù)下圓柱所受平均阻力系數(shù),此時(shí)平均阻力系數(shù)計(jì)算采用面積分,表達(dá)式為其中Sb代表圓柱表面.對(duì)比表中數(shù)據(jù)可知,迎流面控制中,無論是N=0.6 或1.0,圓柱所受平均阻力幾乎不變,與無電磁力控制時(shí)相同.而在背流面控制和全圓柱控制中,圓柱所受阻力較無電磁力控制時(shí)降低,且當(dāng)電磁力作用參數(shù)由0.6 增大到1.0后,電磁力的減阻率增大.在N=1.0時(shí),背流面控制和全圓柱控制下,圓柱所受阻力較無電磁力控制時(shí)分別降低了15.2%和14.4%.

表2 不同控制參數(shù)下圓柱所受平均阻力Table 2.The average drag for different control numbers.

5 結(jié)論

本文通過在圓柱迎流面、背流面和全圓柱布置電磁激活板,產(chǎn)生流向電磁力對(duì)R e=300 時(shí)的圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩進(jìn)行控制,發(fā)現(xiàn)圓柱基態(tài)流尾跡的頻率隨電磁力作用參數(shù)的增大而增大.迎流面控制中,圓柱尾跡轉(zhuǎn)捩模態(tài)A和模態(tài)B的增長率幾乎不變.在背流面控制和全圓柱控制中,兩種最不穩(wěn)定轉(zhuǎn)捩模態(tài)的增長率均隨電磁力作用參數(shù)的增大而減小.通過對(duì)比不同控制工況下尾跡中橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定誘導(dǎo)的無黏增長率變化規(guī)律,發(fā)現(xiàn)迎流面控制中高無黏增長率較無電磁力控制時(shí)變化較小,而背流面控制和全圓柱控制中兩種不穩(wěn)定誘導(dǎo)的無黏增長率均隨電磁力作用參數(shù)增大而減小.這些變化趨勢與Floquet 穩(wěn)定性分析結(jié)果吻合,表明橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定分別誘導(dǎo)了轉(zhuǎn)捩模態(tài)A和模態(tài)B的增長.最后,對(duì)圓柱尾跡的三維直接數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)電磁力作用參數(shù)N=0.6時(shí),無論哪種控制工況,圓柱尾跡中流向渦對(duì)的展向距離均為0.8 個(gè)圓柱直徑.此時(shí),背流面控制和全圓柱控制中尾跡中展向脈動(dòng)速度最小.當(dāng)電磁力作用參數(shù)增大到1.0后,背流面控制和全圓柱控制中圓柱尾跡流向渦對(duì)的間距約為3.4 個(gè)圓柱直徑,該結(jié)果與Floquet 穩(wěn)定性分析結(jié)果吻合.由模態(tài)A 非線性演化形成的三維結(jié)構(gòu)中展向脈動(dòng)速度在峰值附近波動(dòng)較小,而由模態(tài)B 非線性演化形成的三維流場中展向脈動(dòng)速度在峰值附近波動(dòng)較大,這與橢圓不穩(wěn)定和雙曲不穩(wěn)定區(qū)域無黏增長率分析結(jié)果吻合.此外,迎流面控制并不能改變圓柱所受阻力,而背流面控制和全圓柱控制可以減小圓柱所受阻力,且減阻率隨著電磁力作用參數(shù)的增大而增大,在背流面控制和全圓柱控制中N=1.0時(shí),圓柱尾跡所受阻力被分別減小了 15.2%和 14.4%.總的來說,3 種控制策略中,背流面控制的效率最高.