瀝青混合料動(dòng)態(tài)黏彈性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Zener模型Wicket方法

楊勝豐，顏可珍，查旭東，黎國(guó)凱

(1. 廣州市中心區(qū)交通項(xiàng)目管理中心， 廣東 廣州 513003；2. 湖南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082；3. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

0 引言

瀝青混合料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)跟溫度和荷載作用時(shí)間密切相關(guān)，是一種典型的黏彈性復(fù)合材料[1-2]。因此，無(wú)論是路面力學(xué)研究，還是國(guó)內(nèi)外的瀝青路面設(shè)計(jì)規(guī)范，其材料力學(xué)參數(shù)均由靜態(tài)向擬靜態(tài)參數(shù)過渡[2-3]。為了克服數(shù)學(xué)模型描述黏彈力學(xué)信息的不足，研究者通常采用力學(xué)模型描述瀝青混合料的黏彈力學(xué)性質(zhì)[1，4]。然而，經(jīng)典的黏彈力學(xué)模型描述動(dòng)力學(xué)性質(zhì)時(shí)，存在參數(shù)過多、過度擬合的現(xiàn)象[5]。

為了更好地描述瀝青混合料的動(dòng)態(tài)力學(xué)性質(zhì)，研究者采用含參數(shù)較少經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ兔枋鰹r青混合料的黏彈函數(shù)主曲線[6]。ZHAO[6]等建立了基于MHN模型的黏彈函數(shù)主曲線，該模型能夠較好地描述動(dòng)態(tài)模量、相位角和損失模量等黏彈參數(shù)。以上研究?jī)H限于黏彈參數(shù)的表征，仍為經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，其?fù)數(shù)模量推導(dǎo)并沒有從數(shù)理方程出發(fā)。近年來(lái)，研究者采用黏彈性分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型表征橡膠、高分子材料的力學(xué)性質(zhì)，并取得了許多有價(jià)值的成果[7]。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型是采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺替代經(jīng)典力學(xué)模型中的黏壺所得到的力學(xué)模型。許亞男[8]采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型表征瀝青的寬溫寬頻范圍內(nèi)的黏彈力學(xué)性質(zhì)；顏可珍[9]等基于四參數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型微分方程建立了瀝青混合料動(dòng)態(tài)黏彈力學(xué)性質(zhì)的五參數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型。以上研究構(gòu)造分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型主曲線時(shí)采用直接法，該方法因數(shù)值擬合過程中需要考慮移位因子的參數(shù)，所以模型參數(shù)較多。Wicket圖方法是測(cè)試值和預(yù)測(cè)值在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系內(nèi)的圖像呈現(xiàn)倒“U”型特征的作圖方法，LEVENBERG[10]采用Wicket圖方法得到了瀝青混合料的動(dòng)態(tài)模量和相位角主曲線。

為更好地推廣和應(yīng)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型，本文基于四參數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Zener模型(Fractional Derivative Zener Model， FDZ)模型微分方程，推導(dǎo)得到損耗因子與存儲(chǔ)模量之間的函數(shù)關(guān)系式，并采用Wicket方法建立瀝青混合料FDZ模型的黏彈函數(shù)主曲線，并與Sigmoidal模型進(jìn)行了對(duì)比研究。

1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Zener模型

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，F(xiàn)DZ模型本構(gòu)微分方程為:

(1)

式中：α為微分的階數(shù)，0<α<1，E0為頻率趨近于0的存儲(chǔ)模量，稱為靜態(tài)模量，MPa；E∞為頻率趨近于無(wú)窮時(shí)的模量，稱為玻璃態(tài)模量，MPa；τ為特征時(shí)間。

σ(iω)+(iωτ)ασ(iω)=E0ε(iω)+

E∞(iωτ)αε(iω)

(2)

整理得復(fù)數(shù)模量解析式為式(3):

(3)

分離實(shí)部和虛部分別得到存儲(chǔ)模量式(4)、損失模量式(5)和損失因子(6)：

(4)

(5)

(6)

其中,ωn=ωτ為歸一化頻率；tan (δ)為損耗因子，δ為相位角，rad。

根據(jù)式(4)～式(6)可知，損耗因子與存儲(chǔ)模量之間的關(guān)系式為式(7)

(7)

式中：E0≤E′(ω)≤E∞，從式(7)中可知，損耗因子是存儲(chǔ)模量的函數(shù)，不含有參數(shù)τ，參數(shù)僅有3個(gè)(Ε0、Ε∞、α)，因此，損耗因子是與τ無(wú)關(guān)的函數(shù)。

2 主曲線構(gòu)造

瀝青混合料的黏彈力學(xué)特性跟溫度和頻率密切相關(guān)，具有典型的時(shí)-溫等效性質(zhì)，因此，基于該原理可以建立瀝青混合料寬溫寬頻范圍內(nèi)黏彈函數(shù)主曲線，構(gòu)造主曲線需要考慮移位因子、目標(biāo)函數(shù)。

2.1 移位因子計(jì)算

本文采用WLF方程式(8)計(jì)算FDZ模型的移位因子。

(8)

式中:αT為溫度移位因子，無(wú)量綱；T為試驗(yàn)溫度，℃；T0為主曲線擬合時(shí)所選擇的參考溫度，℃；C1為常數(shù)，無(wú)量綱；C2為常數(shù)，℃。

縮減頻率與角頻率之間的關(guān)系為：

ωr=ω×αT

(9)

其中,ωr為角頻率，rad/s。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

本文采用損耗因子作為擬合準(zhǔn)則構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)。

(10)

其中，fmin為目標(biāo)函數(shù)最小值，tan(δ)m、 tan(δ)cal分別為損耗因子的測(cè)試值和預(yù)測(cè)值。

3 主曲線構(gòu)造

3.1 wicket域主曲線構(gòu)造

本文主曲線構(gòu)造所采用的瀝青混合料為AC-10和SMA-16，混合料動(dòng)態(tài)模量試驗(yàn)數(shù)據(jù)出自文獻(xiàn)[7]。 式(7)為損耗因子與存儲(chǔ)模量之間的顯示函數(shù)關(guān)系，在Wicket域內(nèi)，損耗因子與存儲(chǔ)模量之間僅與3個(gè)模型參數(shù)Ε0、Ε∞、α密切相關(guān)，與特征時(shí)間τ無(wú)關(guān)。假設(shè)τ=0.001 s時(shí)，通過優(yōu)化公式(10)得到Wicket圖， 如圖1(a)所示。

從圖1(a)可知，F(xiàn)DZ模型損耗因子的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值吻合較好，擬合優(yōu)度達(dá)到0.95，且得到FDZ模型參數(shù)分別為：E0=53.15 MPa，E∞=38 558 MPa，α=0.40，此時(shí)，動(dòng)態(tài)模量主曲線如圖1(b)中虛線所示。選擇21 ℃為參考溫度，通過平移得到參考溫度下的動(dòng)態(tài)模量主曲線，此時(shí)τ=0.000 79 s。

(a) Wicket圖

為了建立參考溫度為21 ℃時(shí)寬溫寬頻下的動(dòng)態(tài)模量和相位角的主曲線，基于WLF方程式(8)，采用非線性擬合方法分別計(jì)算各個(gè)溫度下的移位因子，并得到了動(dòng)態(tài)模量和相位角的主曲線如圖2所示。

(a) 動(dòng)態(tài)模量

上述采用Wicket方法建立FDZ模型動(dòng)態(tài)模量和相位角主曲線的過程可以發(fā)現(xiàn)，相位角和動(dòng)態(tài)模量主曲線均采用同一套模型參數(shù)，滿足線性黏彈性Kramers-Kronig關(guān)系，通過優(yōu)化得到的模型參數(shù)可以建立參考溫度下FDZ模型頻域或者時(shí)域內(nèi)的本構(gòu)微分方程。

模型擬合參數(shù)和各溫度下WLF方程的參數(shù)分別如表1和表2所示。

表1 FDZ模型參數(shù)Table 1 FDZ model parameters瀝青混合料E∞E0ατ0AC-1038 558530.407.90E-04SMA-1633 035680.39 4.60E-04

表2 WLF方程參數(shù)Table 2 WLF equation parameters 瀝青混合料溫度/℃C1C2/℃logαT-1091083.50491041.84AC-1021//0.00371192-1.61541290-3.26-1091113.54491051.80SMA-16//0.00371190-1.71541190-3.02

從表2中可知，Wicket方法各個(gè)溫度下的C1和C2值均不同，與直接法采用同一套C1和C2值確定移位因子，存在明顯的不同。

3.2 SWBZ與Sigmodal模型比較

美國(guó)公路合作計(jì)劃項(xiàng)目提出采用Sigmoidal模型描述動(dòng)態(tài)模量主曲線，該模型的解析式適用于動(dòng)態(tài)模量和存儲(chǔ)模量的表征[11-12]，其動(dòng)態(tài)模量解析式為式(11)：

(11)

式中：a、b、c、d分別為模型參數(shù)。

采用非線性最小二乘法擬合得到的Sigmodal模型相位角測(cè)試值如圖3(b)所示，Sigmodal模型和WLF方程的參數(shù)如表3所示。

從圖3中可知，Sigmoidal模型能夠描述單一的黏彈參數(shù)(動(dòng)態(tài)模量)，但沒有相位角的解析式，因而不能描述相位角的變化趨勢(shì)；同樣，該模型數(shù)值擬合過程中，僅考慮動(dòng)態(tài)模量的影響，未考慮相位角的最優(yōu)擬合，所以該模型不滿足線性黏彈性的Kramers-Kronig關(guān)系。

(a) 動(dòng)態(tài)模量

表3 Sigmoidal 模型參數(shù)Table 3 Sigmoidal model parameters瀝青混合料abcdC1C2/℃AC-103.42-0.48-0.511.2323212SMA-162.78-0.05-0.561.7618166

從圖4可知，兩種方法所得到的動(dòng)態(tài)模量主曲線主要區(qū)別為高低頻范圍，中高頻域內(nèi)相差較小，低頻范圍內(nèi)兩種模型區(qū)別較大。從圖5可以看出：兩個(gè)模型移位因子[log(αT)]隨著溫度變化呈現(xiàn)直線特征，區(qū)別主要是在兩端。低溫處區(qū)別較大，高溫處區(qū)別較小。Sigmoidal模型log(αT)更高，說(shuō)明Sigmoidal模型高頻移動(dòng)的距離越大。綜合圖4和圖5可知，低頻時(shí)的預(yù)測(cè)曲線存在明顯的區(qū)別，主要是兩個(gè)模型低頻范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)曲線均由各自的模型參數(shù)值確定。

圖4 AC-10瀝青混合料不同模型動(dòng)態(tài)模量主曲線

圖5 AC-10瀝青混合料FDZ模和Sigmoidal模型移位因子對(duì)比

綜合圖3～圖5可知，雖然FDZ模型和Sigmoidal模型的移位因子區(qū)別很小，但是相比Sigmoidal模型，F(xiàn)DZ模型采用一套模型參數(shù)描述所有黏彈函數(shù)主曲線，滿足線性黏彈性Kramers-Kronig關(guān)系。FDZ模型具有wicket域的顯示函數(shù)關(guān)系式，采用非線性最優(yōu)方法確定模型主要參數(shù)僅3個(gè)，準(zhǔn)確性更高。

4 結(jié)論

本文基于FDZ微分方程式，通過傅里葉變換，得到了FDZ模型復(fù)數(shù)模量解析式，并進(jìn)一步得到了該模型Wicket域內(nèi)的解析式，采用兩種常見的瀝青混合料構(gòu)造了FDZ模型黏彈參數(shù)的主曲線，并與Sigmoidal模型主曲線進(jìn)行了對(duì)比研究，結(jié)論如下：

a.基于FDZ模型各黏彈參數(shù)之間的關(guān)系，得到了損耗因子與存儲(chǔ)模量之間的顯式函數(shù)關(guān)系式，并建立了兩種瀝青混合料黏彈參數(shù)FDZ模型的Wicket圖，預(yù)測(cè)值與測(cè)試值吻合較好。

b.采用非線性優(yōu)化方法確定了Wicket域內(nèi)3個(gè)與加載頻率無(wú)關(guān)的模型參數(shù)E0、E∞、α；采用同樣的方法確定了參考溫度下的特征時(shí)間τ和WLF方程參數(shù)C1、C2。

c.與Sigmoidal模型不同，F(xiàn)DZ模型采用一套模型參數(shù)確定了瀝青混合料的復(fù)數(shù)模量和相位角主曲線，滿足Kramers-Kronig關(guān)系，其微分方程可為瀝青路面層狀黏彈性力學(xué)計(jì)算提供參考。