初中幾何推理教學(xué)路徑探究
——從2021-2022 年福建省中考幾何壓軸試題談起

李霞

（福州教育研究院，福建 福州 350001）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》修訂保留《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的合理內(nèi)核及延續(xù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主張.2022 年的中考是“雙減”背景下的第一年中考，也是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》頒布后的第一年中考，福建省中考的幾何壓軸試題基本保持了以往的考察方式，保證了幾何核心思維的考查——邏輯推理，也引導(dǎo)教師繼續(xù)關(guān)注初中平面幾何的教育任務(wù).但這個(gè)任務(wù)的學(xué)習(xí)效果從試卷測(cè)評(píng)所反饋的情況看不容樂觀，在抽查的測(cè)評(píng)試卷中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能順利完成幾何壓軸試題解答的原因是：不知道幾何思維在問題解決中的作用，不懂得幾何基本圖形及幾何基本方法，不能根據(jù)條件和圖形構(gòu)造基本圖形并獲得結(jié)論的使用，不明白幾何問題探究的路徑等.

一、中考幾何壓軸試題的解構(gòu)

案例1（2021 年福建省數(shù)學(xué)中考第24 題）：

如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)為邊AB上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A'，AA'的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G.

（1）求證：DE//A'F；

（2）求∠GA'B的大?。唬?）求證：A'C=2A'B.

案例2（2022 年福建省數(shù)學(xué)中考第24 題）：

已知△ABC≌△DEC，AB＝AC，AB＞BC.

（1）如圖2，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；

（2）如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）如圖4，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若∠BAD＝∠BCD，求∠ADB的度數(shù).

（一）考法分析

1.載體自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)

兩道題的載體分別是三角形與四邊形.三角形的核心知識(shí)，一是構(gòu)成三角形中基本元素（邊、角、邊與角）及與三角形相關(guān)的元素（中位線、內(nèi)角平分線、高及中線）之間的關(guān)系；二是兩個(gè)三角形之間的合同或位似關(guān)系.四邊形的核心思維在于四邊形的問題基本上要轉(zhuǎn)化為三角形來處理，這也是研究多邊形問題的一般性方法.另外，特殊的四邊形（平行四邊形）及特殊的平行四邊形（矩形、菱形、正方形）的中心對(duì)稱與軸對(duì)稱性質(zhì)，是解決許多數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實(shí)問題的基礎(chǔ).

2.載體在初中數(shù)學(xué)地位

三角形的有關(guān)知識(shí)是“圖形與幾何”中最為核心、最為重要的內(nèi)容.三角形既是最基本的直線型圖形，也是研究其他圖形的工具和基礎(chǔ).特別是平面圖形中的計(jì)算、推理論證等問題，一般要轉(zhuǎn)化為三角形的問題來解決.

四邊形的內(nèi)容，承載著培養(yǎng)和發(fā)展演繹推理能力的功能，它作為初中階段最后章節(jié)的直線型部分，很好地完成了從合情到演繹的過渡.特別是平行四邊形法則，溝通勾股定理和向量?jī)?nèi)積，成為數(shù)學(xué)理論中重要的內(nèi)容.另外特殊的四邊形和圖形變換中的“平移”“軸對(duì)稱”“旋轉(zhuǎn)變換”又有著廣泛的聯(lián)系.

（二）答題分析

1.幾何思維中的確定性思維

2021 年的第24 題，還原圖形的生成過程（圖5 到圖8），可以發(fā)現(xiàn)幾何思維（圖形的確定性思維）在本題中作用，四邊形是確定的，邊確定，E，F(xiàn)為AB邊上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AE、EF、FB都是確定，且長(zhǎng)度相等.點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)為A'，A'也是確定的，三角形ADA'也是確定的，AA'的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，G點(diǎn)也是確定的，△ABG也是確定，且全等于三角形ADE，得到BG=AE=EF=FB，因此CG=2BG，為第三問打下基礎(chǔ).

其次學(xué)會(huì)消點(diǎn)法（構(gòu)圖法），如圖6 到圖8，題目中出現(xiàn)的A'點(diǎn)，點(diǎn)要與其他點(diǎn)產(chǎn)生聯(lián)系，才能“有所作為”：①A'點(diǎn)在AA'上，A'H=AH；②連接A'F，A'F與DE產(chǎn)生平行位置關(guān)系，即為要證的（1）中的結(jié)論；③連接A'B，產(chǎn)生∠GA'B，即為要求的（2）中的結(jié)論；④連接A'C，出現(xiàn)新的△A'BC，即為要證的（3）中的結(jié)論.明白了試題的生成過程，對(duì)要解決的問題就不會(huì)太難，如第（1）問產(chǎn)生的新的線段也與原來圖形中HE構(gòu)成三角形中的中位線關(guān)系.第（2）問中的∠GA'B大小，從圖形上可以猜想它與∠GFB相等.由BG=FB，得到△BGF為等腰直角三角形，可得∠GFB=45°.

第（3）問，如圖9 首先可以通過測(cè)量得到A'C=2A'B.由于CG=2BG，∠GA'B=45°，只要證明∠CA'B=45°，因DA=DA'=DC，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A、A'、C在以D為圓心的圓上，則∠CAG=1/2∠ADC=45°.

第（3）問，還可以用建系的方法解決，如圖10，令A(yù)E=1，根據(jù)kDE=kA'F=?3，得直線A'F的解析式為y=?3x+6，直線AG的解析式為y=，交點(diǎn)A'為（），則A'C，A'B=，所以A'C=2A'B.會(huì)想到這種方法.說明學(xué)生已經(jīng)具備確定性思維，如△A'BC是確定的，則它的邊長(zhǎng)是可以定量表達(dá)的.因此確定性思維是幾何思維中定量問題能夠解決的充要條件.

可以看到：幾何思維中的確定性思維對(duì)問題解決的策略，先是還原圖形的生成過程（分步畫圖），其次確定每步的結(jié)論以及相應(yīng)的可用的方法，最后判斷基本圖形或及其元素是否需要移動(dòng)（也可以是量的等價(jià)轉(zhuǎn)移）.對(duì)于特殊的確定性圖形，還可以思考建系的方法解決.

2.演繹邏輯中的合情思維

2022 年的第24 題，是以等腰三角形作為基本圖形，通過圖形的運(yùn)動(dòng)，尋找變中不變的性質(zhì)探究.第（1）問，由△ABC≌△DEC，得到AC＝DC；由CB平分∠ACD，得到∠ACB=∠ECB.于是本題有兩個(gè)途徑證明菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，②四條邊相等的四邊形是菱形，考查特殊四邊形的判定定理.

第（2）問，由∠ACB=∠DEC，∠ACF=∠CEF，證出∠ACF+∠ECF+∠EFC=180°，證出∠ACE+∠EFC=180°.考查旋轉(zhuǎn)變換中那圖形的不變性質(zhì)，兩個(gè)全等三角形，隨意擺放，若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)排列順序一致（平移除外），通過一次旋轉(zhuǎn)變換，可以將其中一個(gè)三角形（△ABC）變換到另一個(gè)三角形（△DEC）.這里的∠ACF=∠CEF，其實(shí)就是基于一種經(jīng)驗(yàn)、一種歸納得到的結(jié)論（對(duì)應(yīng)線段之間的夾角相等且等于旋轉(zhuǎn)角）.

對(duì)于第（3）問，題目本質(zhì)上是兩個(gè)等腰三角形（△A CB與△A CD）圖形的疊加，問題就是研究構(gòu)成這兩個(gè)等腰三角形的基本元素—角（等腰三角形頂角∠CAB與∠ACD）之間的關(guān)系，這關(guān)系的尋找需要構(gòu)造，根據(jù)題目給的條件是一邊一角，題目的解決指向構(gòu)造全等三角形（圖11）.得到新結(jié)論△BMD為等腰三角形，從而溝通出∠BDA與∠BCD及∠BDC之間的關(guān)聯(lián).再根據(jù)題意，△A CB內(nèi)陷在∠ACD中，角度之間隱藏著和差關(guān)系，即∠ACD+∠CAD+∠CDA=180°，從而得到∠BCD+∠BDC=30°，使問題得以解決.這種的思路還是基于合情推理中歸納、類比的經(jīng)驗(yàn)使用，承認(rèn)了全等三角形的價(jià)值，那么應(yīng)該將建構(gòu)全等三角形的方法提升到素養(yǎng)的層面，即在處理含有等邊等角（擬等角、擬等邊）的問題時(shí)，將建構(gòu)全等三角形看作重要的思維方式.

另外，還可以先猜測(cè)∠ADB的度數(shù)為30°，然后去操作探究∠ADB與60°之間的關(guān)聯(lián)，與60°關(guān)聯(lián)的可以構(gòu)造等邊三角形，也可以構(gòu)造同弧所對(duì)的圓心角.如圖12 的三個(gè)圖，其∠APC為被構(gòu)造出來的60°.

幾何問題的理解，要依據(jù)幾何的圖形思維，把幾何對(duì)象化為具有幾何特征的圖形.如30°這是個(gè)數(shù)量化的元素，可以轉(zhuǎn)化成60°，而60°可以把它置換在幾何圖形（等邊三角形）中去研究，運(yùn)用學(xué)過的幾何的定義與性質(zhì)去演繹.這種在學(xué)生通過猜測(cè)、觀察、操作、變換探究出來的圖形的性質(zhì)，滲透了合情推理能力的培養(yǎng)和發(fā)展.

通過兩道中考幾何壓軸試題的解構(gòu)，可以看到無論是幾何思維中的確定性思維，還是演繹邏輯中的合情思維，都是平面幾何推理教學(xué)中需要秉承的思維.而這種思維的養(yǎng)成需要設(shè)計(jì)，需要通過幾何推理教學(xué)的載體加以實(shí)現(xiàn).

二、初中平面幾何的推理教學(xué)

（一）初中平面幾何的教育任務(wù)

現(xiàn)代中等教育把歐幾里得《幾何原本》中的內(nèi)容分成了若干部分，分別歸到平面幾何、代數(shù)、三角、立體幾何.初中平面幾何的內(nèi)容主要取材于《幾何原本》的前六章，大致概括為點(diǎn)、線、面、角的概念，三角形，兩條直線的位置關(guān)系（包括平行，垂直），四邊形，圓，相似形，求圖形的面積這樣幾個(gè)部分［1］.原北京師范大學(xué)副校長(zhǎng)傅仲孫說過：“幾何之為學(xué)，自實(shí)用方面觀之：固為研究空間研究物體形狀大小之學(xué)，自理論方面言之：則純乎論理之一大盤演繹推測(cè)式也.”幾何學(xué)習(xí)的最低要求——出于生活和生產(chǎn)的需要，要認(rèn)識(shí)我們生活的空間，必須學(xué)習(xí)一些必備的基礎(chǔ)幾何知識(shí).［2］幾何學(xué)習(xí)的高層次要求——“培養(yǎng)邏輯思維與形成演繹體系是幾何的特權(quán)”.平面幾何是以圖形為研究對(duì)象的學(xué)科；教材的安排線索先是通過觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想，接著就不失時(shí)機(jī)地補(bǔ)充推理驗(yàn)證.在平面幾何的學(xué)習(xí)中，要教會(huì)學(xué)生識(shí)別圖形的基本元素，研究基本元素之間的關(guān)系，研究平面幾何的思維工具——變換（全等、相似）.研究用綜合方法、坐標(biāo)方法解決幾何綜合問題.何為幾何綜合問題：就是從邏輯推理和定量計(jì)算的角度來探求新的、未知的結(jié)論，通俗地講就是創(chuàng)造條件實(shí)現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化［3］.因此作為教育任務(wù)的初中平面幾何教學(xué)的路徑：從實(shí)驗(yàn)幾何開始，用歸納實(shí)驗(yàn)去發(fā)現(xiàn)圖形之本質(zhì)，再以實(shí)驗(yàn)幾何之所得為基礎(chǔ)，用邏輯推理去探索新知，最后發(fā)展到推理幾何，用演繹去論證，對(duì)已知的各種各樣空間本質(zhì)，精益求精地作系統(tǒng)化和深刻的分析［4］，形成綜合幾何問題解決的素養(yǎng).

（二）初中平面幾何思維的培養(yǎng)

北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校的張鶴老師認(rèn)為：幾何思維即幾何圖形思維——圖形（形狀、大小）的確定性思維.幾何確定性思維是綜合幾何問題研究的思維路徑.研究幾何思維要從研究幾何基本圖形與基本方法開始.

何為幾何基本圖形？現(xiàn)行教材中概念、公理和定理所對(duì)應(yīng)的圖形都可記為基本圖形，［5］一般分為兩類：第一類是構(gòu)成圖形的基本元素及封閉圖形，如點(diǎn)、線、角、相交線、平行線、三角形、四邊形、圓等；第二類是在第一類基礎(chǔ)上加一條線（線段、射線），如一條線與兩條相交線，三角形及邊上的高、三角形及其角平分線、平行四邊形及其角平分線、垂直徑定理及其推論、圓內(nèi)接四邊形及其對(duì)角線等.

基本圖形的方法：是指在幾何圖形中分解或構(gòu)造出起主要作用的基本圖形，通過這些基本圖形已知條件與要得出結(jié)論之間的聯(lián)系，以求得問題的解決［6］.要實(shí)現(xiàn)基本圖形的方法，首先要有圖感，接著是方法感，如圖13，對(duì)于一個(gè)幾何問題，如果我們分析得到它的基本圖形有一個(gè)或者若干個(gè)不完整的圖形，那么我們可以把這些基本圖形添加完整，然后應(yīng)用.所以添加輔助線的目的是為了把不完整的基本圖形補(bǔ)全，已使基本圖形的性質(zhì)（結(jié)論）得到應(yīng)用而完成證明.這就是基本圖形方法，也是幾何思維的本質(zhì).

（三）初中平面幾何的推理教學(xué)

推理：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)（或假設(shè)），得出一個(gè)判斷，這個(gè)思維方式就是推理.如：“因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180°，所以，內(nèi)角和不是180°的多邊形不是三角形.”任何推理都由兩部分組成，前提和結(jié)論.根據(jù)前提和結(jié)論的真實(shí)性關(guān)系，推理可以分為論證推理（若前提真則結(jié)論一定真的推理，主要是演繹推理）和合情推理（若前提真則結(jié)論似乎真的推理，主要包括歸納推理和類比推理）.

1.平面幾何推理教學(xué)開始的路徑

平面幾何研究的是點(diǎn)線的直觀概念及變換的形象概念，這些平面圖形概念的獲得一般都是從直觀開始描述.如垂線、三線八角等，許多概念沒有作嚴(yán)格的形式化的要求，是結(jié)合圖形描述的，借助幾何直觀，可以加深對(duì)概念的理解.要明確認(rèn)識(shí)圖形的基本標(biāo)準(zhǔn)，如根據(jù)圖形建立知識(shí)，先有圖再有概念.明白認(rèn)識(shí)圖形的方法，從概念到性質(zhì)（判定）再到延伸問題及應(yīng)用.

初中幾何思維的課程發(fā)展鏈，首先是從物到形，建立在視覺感知基礎(chǔ)上的直觀幾何；接著是從素材到關(guān)系，以歸納演繹為基礎(chǔ)的實(shí)驗(yàn)幾何；然后是從合情到演繹，以演繹推理為基礎(chǔ)的理論幾何.

推理開始的路徑無論是平面圖形概念的獲得，還是從課程鏈的發(fā)展，都應(yīng)從直觀開始.平面幾何是研究構(gòu)成圖形的基本元素及基本元素之間的關(guān)系（數(shù)量和位置關(guān)系），其內(nèi)在邏輯——定性到定量的過程.定性研究中，要發(fā)揮圖形的直觀功能，可以容易地得到位置關(guān)系的定性描述.［7］

2.平面幾何推理教學(xué)實(shí)現(xiàn)的路徑

研究圖形，其實(shí)是從元素的位置關(guān)系入手，而位置要靠數(shù)量來刻畫，而這兩種關(guān)系的總和就是形狀.平面幾何推理教學(xué)實(shí)現(xiàn)的路徑：圖形（三角形）—圖形關(guān)系（全等三角形）—圖形運(yùn)動(dòng)（平移、軸對(duì)稱）—圖形運(yùn)算（勾股定理）—數(shù)形結(jié)合（平面直角坐標(biāo)系）.而圖形（三角形）中研究的問題、線索和基本方法；定義（組成元素、分類）—性質(zhì)（變化中的不變性、規(guī)律性）—變換（確定三角形的條件）—特殊圖形的研究（直角三角形、等腰三角形）等.再如四邊形，它與三角形不一樣的地方是它的不穩(wěn)定性，比三角形多了對(duì)邊、對(duì)角、對(duì)角線，因此確定四邊形研究的基本方向：先研究對(duì)邊、對(duì)角的位置關(guān)系，再研究數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而再研究鄰邊鄰角的數(shù)量關(guān)系；利用對(duì)角線可能存在的位置關(guān)系過渡到數(shù)量關(guān)系，從而形成四邊形的所有的知識(shí)［2］.特別是性質(zhì)定理是已知圖形形狀，進(jìn)而得出圖形元素的數(shù)量或位置關(guān)系；判定定理是已知圖形元素的某些數(shù)量或位置關(guān)系，依此判斷圖形形狀.因此，無論是性質(zhì)還是判定，都是圍繞圖形的基本元素展開.平面幾何推理教學(xué)實(shí)現(xiàn)的路徑以圖形會(huì)載體，單個(gè)圖形可以研究構(gòu)成圖形基本元素的屬性，多個(gè)圖形就研究他們的關(guān)系.關(guān)系可以是數(shù)，也可以是位置，但數(shù)量化的幾何一定要置換在圖形中去研究.