二維隨機變量獨立性分析及教學案例設計

賀方超，陳金玉，汪 慧

（湖北工業(yè)大學理學院 湖北 武漢430068）

隨機變量獨立性問題是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的重難點內(nèi)容。求解二維離散性隨機變量的獨立性問題，通常做法是基于獨立性的定義，利用充要條件，求出其分布函數(shù)或邊緣分布律。這種解題思路有時計算比較復雜，而且思考具有一定的局限性。所以，為培養(yǎng)學生的開放性思維和創(chuàng)新能力，本文主要運用聯(lián)合分布矩陣推導了在二維隨機變量相互獨立的條件下較為簡明直觀的定理，并將它們應用到實例求解中，簡化了計算過程，起到了 “四兩撥千斤” 的作用。

1 預備知識

性質(zhì)1[1]設（X,Y）是二維隨機變量X,Y，隨機變量相互獨立的充要條件是：對任意的實數(shù)x,y，二元函數(shù)

其中F x,y，為（X,Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，F(xiàn)X x和FY y分別為X和Y的邊緣分布函數(shù)。

性質(zhì)2[1]二維離散型隨機變量X,Y相互獨立的充要條件是：對任意的i,j=1,2…,，都有pij=Pi.P.j。其中，pij為（X,Y）的聯(lián)合分布律，Pi.和P.j分別為X和Y的邊緣分布律。

性質(zhì)3[1]二維連續(xù)型隨機變量X,Y相互獨立的充要條件是：對任意的實數(shù)x,y，有

幾乎處處成立。其中，f x,y為（X,Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)，fX x和fY y分別為X和Y的邊緣概率密度函數(shù)。

2 發(fā)現(xiàn)問題

在講解《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》第三章第四節(jié)隨機變量的獨立性時[1]，常常會給學生補充如下類似的題目作為隨堂練習。

課堂例題 已知二維離散型隨機變量（X,Y）的聯(lián)合分布律如表1（p137）所示，其中隨機變量X和Y相互獨立，試求表中常數(shù)a，b，c的值。

表1 課堂例題中的二維離散型隨機變量分布律

解：先求出X和Y的邊緣分布律，

X x1 x2 Pi. a+1 9+c b+4 9 Y y1 y2 y3 P.j a+1 9 b+1 9 c+1 9

由于X和Y相互獨立，根據(jù)離散型隨機變量獨立性的性質(zhì)2可列出等式：

觀察與思考：根據(jù)上述求得的數(shù)值，我們不難觀察到一些很有意思的情形：

這些有意思的比式能夠成立是偶然的還是必然的？因而，我們猜想在相互獨立的情形下，二維離散型隨機變量是否普遍存在著這樣的規(guī)律？如果有的話，我們是否可以通過驗證和推導獲得更多更好的結論？這些問題值得去探索?；谶@種想法的探討和研究，下面我們引入分析所得的結論。

3 主要結果

首先，我們定義矩陣[2]

證明：由于 和 相互獨立，根據(jù)性質(zhì)2可將中任意兩個非零行向量整理為

因此，矩陣 中任意非零行向量的各分量之比都相等。同理，可證列向量也具有相同的性質(zhì)。

根據(jù)上述兩個定理可知，增廣分布律矩陣的任意兩行(或兩列)向量分量之比都對應相等[3]。

下面我們嘗試將二維隨機變量獨立性推廣到連續(xù)型的情形，以期得到更好的性質(zhì)定理。

定理3[2]設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)相互獨立的充要條件為：

4 應用舉例

下面就基于前述隨機變量獨立性的性質(zhì)定理，對工科概率統(tǒng)計課程的教學例題設計做出一些探討[4]。

例1每個參加射擊比賽的代表隊由兩名隊員組成，每人一發(fā)子彈，以環(huán)數(shù)總和的多少來排定名次。某代表隊由甲乙兩名隊員組成，根據(jù)歷史比賽成績，兩人射擊的環(huán)數(shù)能夠穩(wěn)定在8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)。設X，Y分別表示甲乙兩位運動員可能環(huán)數(shù)，已知X與Y的分布律如下表（表2,3）所示，且兩人射擊互不影響。求在這次比賽中，該代表隊最有可能取得多少環(huán)的成績？概率為多少？

表2 甲的射擊成績

表3 乙的射擊成績

解：根據(jù)獨立的離散型隨機變量性質(zhì)2，可構造X,Y的聯(lián)合分布律如下表：

X y1=8 y2=9 y3=10 x1=8 1 15 1 10 1 30 x3=10 1 15 1 10 1 30 Y x2=9 1 5 3 10 1 10

Z P{Z=k}16 17 18 19 20 1 15 3 10 25 15 1 30

例2豌豆是一種自花傳粉，閉花授粉的植物，因而其具有穩(wěn)定的性狀。據(jù)了解，豌豆的皺粒和圓粒外形是相對性狀，豌豆的紅、紫和白三種花色也互為相對性狀，外形和花色兩種性狀相互獨立。現(xiàn)有若干自然生長的某種外形和花色性狀均相同的豌豆，這些豌豆雜交出的子一代中出現(xiàn)了紅花皺粒豌豆，紫花皺粒豌豆，白花皺粒豌豆，紅花圓粒豌豆，紫花圓粒豌豆，白花圓粒豌豆六種情形。由于部分豌豆苗出現(xiàn)了枯萎死亡，現(xiàn)在只統(tǒng)計出子代中皺粒豌豆占總數(shù)的圓粒豌豆占白花圓粒豌豆占紅花圓粒豌豆占請預測子代中其他四種性狀的占比。

解：設變量X與Y相互獨立，皺粒，圓粒，紅花，紫花，白花，六種表現(xiàn)性狀的分布律如下表：

X y1 y2 pi.x1 Y x2 y3 a b c 2 3 1 18 d 1 9 13

例3二維離散型隨機變量（X,Y）聯(lián)合分布律的部分數(shù)值如下表所示（表4），假定隨機變量X和Y相互獨立，求表中其余未知的概率值。

表4 二維離散型隨機變量X和Y聯(lián)合分布律

5 結語

二維隨機變量的獨立性問題是一個值得研究的重要方向。在遇到有關獨立性的問題時，不論問題是否簡單都應該認真對待，善于在解決問題過程中進行整理和歸納思考，從不同角度嘗試不同的解題思路，探尋更多有用的規(guī)律[5，6]。本文基于已有的二維隨機變量獨立性性質(zhì)，從一道日常課堂例題中的有趣發(fā)現(xiàn)出發(fā)，追根溯源，逐步得出了二維隨機變量獨立性的三個重要結論，為問題的求解提供極大的方便。本文最后一部分列舉了一些實際生活中二維隨機變量聯(lián)合概率的應用例子，掌握本文這些定理可以方便快速地求解，同時也可以運用這些定理去研究日常生活中出現(xiàn)的關于二維隨機變量獨立性的問題[7-9]。