解答解析幾何問題的幾個“妙招”

林毓琴

仔細研究可以發(fā)現(xiàn)，解析幾何問題通常具有以下幾個特點：（1）解題過程中的運算量較大；（2）選擇題和填空題側(cè)重于考查拋物線、橢網(wǎng)、雙曲線的定義和幾何性質(zhì)，解答題側(cè)重于考查直線與橢圓、拋物線、雙曲線的位置關(guān)系；（3）可從代數(shù)和幾何兩個角度人手，尋找解題的思路．在解答解析幾何問題時，我們要抓住解析幾何問題的特點，選用一些技巧來簡化運算，提升解題的效率．

一、巧用定義

在解答與圓錐曲線定義有關(guān)的問題時，要將問題中的動點、定點、定直線與圓錐曲線上的點、焦點、準線等關(guān)聯(lián)起來，根據(jù)網(wǎng)錐曲線的定義來建立關(guān)于動點的關(guān)系式，求得各個參數(shù)a、b、c、p、r的值，便可求得動點的軌跡方程或焦半徑的長．

已知條件中涉及了雙曲線的兩個焦半徑AF1、AF2，于是聯(lián)想到雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F21|的點的軌跡，據(jù)此建立關(guān)于AF1、AF2的關(guān)系式，即可解題，運用圓錐曲線的定義來解題，能快速建立起焦點弦、參數(shù)之間的聯(lián)系，起到簡化運算的效果．

二、數(shù)形結(jié)合

在解答解析幾何問題時，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的曲線、直線，并將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，這樣把數(shù)形結(jié)合起來，可使問題變得更加直觀，便于分析．運用數(shù)形結(jié)合法解題，關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的平面幾何圖形，靈活運用平面幾何知識，如三角形、網(wǎng)、平行四邊形、梯形的性質(zhì)來求解．

根據(jù)題目中所給的條件，作出相應(yīng)的平面幾何圖形，將題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，便可將數(shù)形結(jié)合起來，通過合理添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理就能求得直線AB的斜率．

三、設(shè)而不求

設(shè)而不求是指設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，但不求出參數(shù)的具體值，得到直線的方程、曲線的方程、點的坐標等，將其代人題設(shè)中進行運算，最后通過消元求得問題的答案．利用設(shè)而不求法解答解析幾何問題，只需設(shè)出相關(guān)的參數(shù)，根據(jù)題意建立關(guān)系式，合理進行整體代換、消元即可．

本題中涉及的參數(shù)較多，有直線的斜率、截距，M、N點的坐標，為了快速建立參數(shù)之間的關(guān)系，列出關(guān)系式，需采用舍而不求法，設(shè)出各個參數(shù)，將其代人題設(shè)中，根據(jù)韋達定理、直線的斜率公式進行列式，通過恒等變換、消元，求得定值．

四、構(gòu)造方程

解析幾何中的每一種曲線都有其對應(yīng)的方程，因而在解答解析幾何問題時，要重點研究曲線、直線的方程，將其進行聯(lián)立，通過解方程求得相關(guān)點的坐標，通過消元，構(gòu)造一元二次方程，利用一元二次方程的根的判別式、韋達定理來解題．

解法一、解法二是通過聯(lián)立直線與橢網(wǎng)的方程，構(gòu)造一元二次方程，利用韋達定理和直線的斜率公式來求得問題的答案．解法三主要是通過聯(lián)立方程，構(gòu)造方程組，通過解方程組求得點B的坐標，從而求得直線AB的斜率．相較于解法一、解法二，解法三較為簡單、便捷．

除了以上技巧，解答解析幾何問題的技巧還有巧引參數(shù)、構(gòu)造向量、取極值等．在解題時，靈活運用這些技巧，不僅可以簡化運算，優(yōu)化解題的過程，還能節(jié)約時間，提升解題的效率．

本文系莆田市教育科學“十四五”規(guī)劃2021年度立項研究課題《基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學探究性學習實踐與研究》研究成果（PTKYKT21169）