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    求多項(xiàng)式的最大公因式方法教學(xué)中的新看法

    2022-11-26 07:55:48馮紅亮張帆
    科學(xué)咨詢 2022年5期
    關(guān)鍵詞:公因式命題形式

    馮紅亮,張帆

    (1.重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,重慶 401331;2.武漢市吳家山第三中學(xué),湖北武漢 430040)

    在《高等代數(shù)》理論知識(shí)學(xué)習(xí)中,在求解多項(xiàng)式的最大公因式時(shí),通常采用輾轉(zhuǎn)相除法。[1]。

    本文介紹的系數(shù)形式向量法,其基本思想來(lái)源于輾轉(zhuǎn)相除法。但是相較于輾轉(zhuǎn)相除法,在操作實(shí)現(xiàn)的形式上做了改變。我們將多項(xiàng)式按照降冪排列,提取各項(xiàng)系數(shù)并寫(xiě)成行向量的形式,缺的項(xiàng)記為0。將行向量組成矩陣,對(duì)矩陣作行變換直至僅剩一非零行。由于所做的行變換是在多項(xiàng)式意義下進(jìn)行的,因此總可以不斷通過(guò)此類行變換,將行列式變換至僅剩一非零行。實(shí)現(xiàn)形式的改變,帶來(lái)了較大的便捷性。在求解多個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式時(shí)可同時(shí)進(jìn)行。在進(jìn)行最大公因式線性表成時(shí)更為簡(jiǎn)便快捷。在下文中,若無(wú)特殊交代,多項(xiàng)式均為非零多項(xiàng)式。

    定義1 設(shè) f(x),g(x)∈P [x],其中P為多項(xiàng)式系數(shù)數(shù)域。若d(x)∈P [x]滿足:

    (1)d(x)| f(x),d(x)| g(x);

    (2)若h(x)∈P [x] 且h(x)| f(x),h(x)|g(x),則h(x)| d(x);

    則稱d(x)為 f(x)與g(x)的最大公因式。特別地,當(dāng) f(x)與g(x)的最大公因式的首項(xiàng)系數(shù)為1時(shí),記為( f(x)g(x))。

    注:(1)若 f(x)與g(x)均為零多項(xiàng)式,則其最大公因式為0。

    (2)任何首項(xiàng)系數(shù)為1的非零多項(xiàng)式與零多項(xiàng)式的最大公因式即為此非零多項(xiàng)式。即首一多項(xiàng)式 f(x)≠0,則( f(x),0)= f(x)。

    命題2 對(duì)多項(xiàng)式f(x),g(x)∈P [x],若存在q(x),r(x)∈P [x]使得f(x)=q(x)·g(x)+r(x),

    則 f(x),g(x)和 g(x),r(x)有相同的最大公因式,即(f(x),g(x))=(g(x),r(x))。

    證 設(shè)(f(x),g(x))=d(x),則 d(x) | f(x),d(x)| g(x)。由r(x)=f(x)-q(x)g(x),可知d(x)| r(x)。從而可得d(x)|(g(x),r(x))。

    假設(shè)h(x)|g(x),h(x)|r(x)。因?yàn)閒(x)=q(x)·g(x)+r(x),所以h(x)| f(x)。因此可得 h(x)| d(x)。綜上所述,即有(g(x),r(x))=d(x)

    命題證畢。

    由命題2可知

    (f(x),g(x))=(f(x)-q(x)g(x),g(x))。

    上式表明,在求解兩個(gè)多項(xiàng)式得最大公因式時(shí),進(jìn)行如下操作不改變所求的最大公因式。第一步,對(duì)其中一個(gè)多項(xiàng)式加上或減去另一個(gè)多項(xiàng)式的倍式后;第二步,再求解兩者間的最大公因式。該命題是輾轉(zhuǎn)相除法求解多項(xiàng)式的最大公因式的理論基礎(chǔ),同時(shí)也為本文所介紹的系數(shù)形式向量法提供理論依據(jù)。

    定理3[2]對(duì)于P[x]中任意兩個(gè)多項(xiàng)式 f(x),g(x),存 在 d(x)∈P[x]使 得 d(x)為 f(x)與 g(x)的最大公因式,且d(x)可以表成 f(x),g(x)的一個(gè)組合,即有P[x]中多項(xiàng)式u(x),v(x)使得

    d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

    注:若多項(xiàng)式f(x),g(x)不全為零,則(u(x),v(x))=1。

    下面,將以求解三個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式及其表成為例,介紹系數(shù)形式向量法的操作過(guò)程。

    例1 已知f1(x)=3x2-x2+x+2,f2(x)=3x4-4x3-x2-x-2, f3(x)=3x5+5x4-16x3-6x2-5x-6。 試求(f1(x),f2(x),f3(x)),并求u1(x),u2(x)和u3(x)使得

    u1(x)f1(x)+u2(x)f2(x)+u3f3(x)=(f1(x),f2(x),f3(x))。

    解 第一步:將多項(xiàng)式按照降冪排列,提取各項(xiàng)系數(shù),寫(xiě)成行向量的形式,其中缺項(xiàng)的系數(shù)為0。然后將得到的多項(xiàng)式的系數(shù)行向量依次上下擺放成矩陣形式。

    對(duì)于上述多項(xiàng)式f1(x), f2(x), f3(x),其系數(shù)矩陣如下:

    第二步:對(duì)由系數(shù)行向量組成的矩陣進(jìn)行“初等行變換”,直至僅剩一行非零。需要特別指出的是這里的“初等行變換”是進(jìn)行多項(xiàng)式倍式的行變換。

    多項(xiàng)式倍式的行變換,具體操作如下(記矩陣的第j行為lj):

    以例1中系數(shù)行向量矩陣的初等行變換為例,將系數(shù)行向量矩陣第一行l(wèi)1的-x倍加到第二行l(wèi)2。此時(shí),-xl1的系數(shù)行向量為

    (0 -3 1 -1 2 0)

    因此加到第二行后,-xl1+l2的系數(shù)行向量為

    (0 0 -3 -2 -3 -2)

    將系數(shù)矩陣第一行l(wèi)1的-x2倍加到第三行l(wèi)3。此時(shí),-x2l1的系數(shù)行向量為

    (-3 1 -1 -2 0 0)

    因此加到第三行后,-x2l1+l3的系數(shù)行向量為

    (0 6 -17 -8 -5 -6)

    注意到,我們對(duì)多項(xiàng)式的系數(shù)行向量矩陣做“初等行變換”的本質(zhì)是將一個(gè)多項(xiàng)式的倍式與另一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行求和運(yùn)算[3]。因此,由命題2可得

    第三步:求解最大多項(xiàng)式的線性表成。將系數(shù)矩陣行變換進(jìn)行歸結(jié)。具體歸結(jié)過(guò)程如下:

    ( f1,f2,f3)=( f1,-xf1+f2,-x2f1+f3)

    =(f1,(-x+1)f1+f2,(-x2-2x) f1+f3)

    =(f1,(-x+1)f1+f2,(-x2-2x+5) f1+f3)

    =(-x2+x+1) f1+f2,(-x+1)f1+f2,(-x2+3x)f1-5f2+f3

    =((-x2+2x) f1+(x-1)f2,g(x),((x2-x)f1-(2x+3)f2+f3)

    其中g(shù)(x)=(-x3+2x2-x+1)f1+(x2-x+1)f2。從而可得

    需要指出的是在進(jìn)行歸結(jié)過(guò)程中,一定要明確系數(shù)行向量矩陣與多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系[4]。在未進(jìn)行行變換前,系數(shù)行向量矩陣與(f1(x),f2(x),f3(x))對(duì)應(yīng).進(jìn)行第一次行變換操作后得到的系數(shù)行向量矩陣是與

    (f1(x),-x f1(x)+f2(x),-x2f1(x)+f3(x))

    對(duì)應(yīng)。因此經(jīng)過(guò)一次行變換操作后,矩陣第一行對(duì)應(yīng)的是f1(x)的系數(shù)行向量,第二行對(duì)應(yīng)的是-x f1(x)+ f2(x)的系數(shù)行向量,第三行對(duì)應(yīng)的是-x2f1(x)+f3(x)的系數(shù)行向量。因此,在進(jìn)行第二次行變換操作后得到的矩陣是與

    (f1(x),f1(x)+(-x f1(x)+f2(x),-2x f1(x))+(-x2f1(x)+f3(x)))相對(duì)應(yīng)。

    由第二步矩陣行變換的結(jié)果,可得

    (-x2+2x)f1+(x-1)f2=3x+2=3( f1,f2,f3)。

    更多地有g(shù)(x)=0且(x2-x)f1(x)-(2x+3) f2(x)+ f3(x)=0,從而取

    即可滿足要求。

    注:當(dāng)對(duì)系數(shù)行向量矩陣進(jìn)行行變換時(shí),若最終的非零行形式為(0,0,…,0,c),其中c為非零常數(shù),則表示該組多項(xiàng)式的最大公因式為1,即多項(xiàng)式互素[5]。

    若采用輾轉(zhuǎn)相除法求解例1,需要進(jìn)行兩次輾轉(zhuǎn)相除操作。即先求最大公因式d1(x)=(f1(x),f2(x)),然后求d(x)=(d1(x),f3(x))。在求最大公因式的線性表成時(shí),同樣需要進(jìn)行兩次回代計(jì)算。體而言,計(jì)算過(guò)程相對(duì)繁瑣且量大。

    例2 判斷多項(xiàng)式 f(x),g(x),h(x),k(x)是否互素,其中f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1,h(x)=x2-x-1,k(x)=x3-x2+x-2。

    解 第一步:將各多項(xiàng)式按照降冪排列,提取多項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù),寫(xiě)成行向量的形式并組成矩陣[6](組成矩陣時(shí),系數(shù)行向量的擺放次序不影響結(jié)果):

    第二步:對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)行向量組成的矩陣作行變換,至僅剩一非零行。

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