問題引導 巧搭支架*
——以“等差數列”教學為例

柏君意 吳和貴

(廣東省廣州市玉巖中學,510530)

等差數列是高中數學的一項非常重要的內容,其在歷年高考中往往以基礎性題型、中等難度題型以及壓軸性題型等多元化形式出現.無論是在教學過程中，還是在復習過程中，對于這一部分內容都應予以重視．本文圍繞支架理論背景之下的問題教學法在等差數列教學過程中的具體性應用展開探究．

一、提出問題,搭建支架,引領學生深度探究

高中數學具有一定的難度,學生學習較為吃力.在教學中要逐步為學生的學習提供合適的線索或提示(支架),讓學生借助這些支架一步步前進,循序發(fā)現和解決學習中的疑難,最終完成學習目標．

圍繞等差數列的概念這一教學主題,結合支架式教學理論的基本性環(huán)節(jié),遵照最近發(fā)展區(qū)的教學要求,構建概念性架構．具體如下:

支架問題1觀察以下數列有什么共同特點? (1)第23到第28屆奧運會舉行的年份依次為1984,1988,1992,1996,2000,2004； (2)某劇場前10排的座位數分別是: 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56； (3) 3, 0,

-3,-6,-9,-12, …； (4) 2, 4, 6, 8, 10；(5) 1, 1, 1, 1, 1, …．

支架問題2你能用數學表達式描述以上規(guī)律嗎?

同時留給學生一定的時間,促使學生對問題展開思考與探究．在問題的引導下,先去觀察基本規(guī)律,很容易從每一項的數字觀察到前后兩項的差相同,再進一步表達為an-an-1=d(n≥2,n∈N*),即從第二項起每一項減去前項的差都是同一個常數,這樣就借助支架總結出等差數列的概念．

以上查找規(guī)律的過程讓學生從數列中前后項的數字關系入手進行觀察探究,再進一步引導學生總結描述規(guī)律,分層次讓學生掌握等差數列的概念．

二、創(chuàng)設情境,引導學生在問題情境中展開獨立性探索

高中數學具有抽象性、邏輯思維性強的特點,而學生的學習過程是一個不斷探究的過程.在教學活動過程中，一定要從易到難,由表及里,從淺入深,構建學生數學知識體系的支架,促進學生更好地學習發(fā)展．根據支架式教學原理,待提出問題之后,應當努力揭示概念、法則以及結論所發(fā)生與發(fā)展的過程及其本質,并結合較為典型的問題展開探究和分析.同時要引導學生開展自主性探究活動,促使學生能夠更為深刻地理解數學概念及其結論,從而充分體驗數學學科的思想方法.應將合情推理和邏輯推理二者有機融合,促使學生能夠經歷數學概念、公式以及法則等發(fā)生、發(fā)展的全部過程,充分掌握數學問題出現的本質.要重視掌握知識之間的內在聯系,從而對于知識進行靈活應用,讓學生充分體驗到成功解決數學問題其相關樂趣．

在總結出等差數列的定義以后,可繼續(xù)設置支架,幫助學生加深對概念的理解．

支架問題3問題1中的等差數列其公差分別是多少?

支架問題4已知數列{an}的通項公式為an=3n-5,這個數列是等差數列嗎?

支架問題3可以幫助學生加深對公差的理解,明確等差數列中任意的后一項減去前一項計算出來都是公差．支架問題4需要學生掌握的是用定義判定數列是否是等差數列．部分學生在解決支架問題4時會出現錯誤,比如會列舉出數列的前四項,然后說明這四項中后項減前項的差是同一個常數3,所以這個數列是等差數列．此時可以先肯定學生對前幾項規(guī)律的探索,同時補充下一個支架.

支架問題5第100項與第99項的差是否是3?我們如何可以保證第4項之后的項也符合等差數列的定義呢?

支架問題5的提出引導學生再次細致解讀等差數列的概念,理解等差數列的定義中表達的是從第2項起任意一項減去前項的差都是一個常數,所以不能通過列舉有限的項來說明,而必須使用an-an-1=3(n≥2,n∈N*)保證題目中的數列是等差數列．

在應用支架式教學時,應逐步幫助學生搭建數學學習的支架,讓學生順著搭建的支架進行數學探究．在數學問題的解決過程中，應當合理利用好問題及其關鍵所在,同時對于問題的本質進行揭示,循序漸進展開教學,重視應用基礎性知識以及具體性方法幫助學生理解與掌握,著力積累與揭示問題內在本質的相關經驗,關注數學知識其內在的聯系,同時從根本入手,提升學生的數學學科核心素養(yǎng)．

三、引領學生協(xié)作展開探究,匯總歸納相關規(guī)律

學生需要根據教師提供的學習支架,協(xié)作探究學習,通過集體協(xié)作，展開探究，相互交流,直至最終完成預期的教學目標．根據支架式教學基本環(huán)節(jié)可以提出如下問題:

支架問題6已知等差數列{an}的首項是2,公差是3,求數列的第2項,第3項和第4項．

支架問題7已知等差數列{an}的首項是a1,公差是d,試探究{an}的通項公式．

將課堂交給學生,允許學生自由進行討論,交流與分享問題解決的相關方法．待討論完畢之后,可以讓一位學生表述,可以由數列的首項2加公差3得到第2項5,第2項5加公差3得到第3項8,也就是首項加上兩倍公差得到第3項．并且以此為基礎可以此求出所有的項,于是歸納出首項加上n-1倍的公差即可表示an．再讓另一位同學運用前面所學的累加法,將a2-a1=d,a3-a2=d,…,an-1-an-2=d,an-an-1=d(n≥2,n∈N*)進行累加,得到an=a1+(n-1)d,(n≥2,n∈N*)．同學發(fā)言交流后,教師可進行點評,表揚兩位同學的做法中都抓住了關鍵點,用到了等差數列的定義,但是第一位同學的猜想需要進一步使用數學歸納法加以證明.同時引導學生發(fā)現，只要知道一個等差數列的首項和公差,就一定能求出等差數列的通項公式,所以等差數列的首項和公差.這兩個量叫做等差數列的基本量．支架問題的提出喚起學生對于過往知識的回憶,激發(fā)學生解決實際問題的濃厚興趣,使得課堂氛圍熱烈.學生通過解決問題，沿著支架繼續(xù)攀升,對所學概念進行更深入的理解和初步應用．

四、帶領學生靈活應用數學知識,提升學生思維水平

支架問題8求等差數列8,5,2,…的第20項．

支架問題9-401是不是等差數列-5,-9,-13, …的項?如果是，是第幾項?

支架問題8讓學生通過確定等差數列的首項8和公差-3求出數列的通項公式an=8+(n-1)×(-3)=-3n+11,將項數n的值取20,即可得到第20項．在解決問題的過程中,學生通過具體問題練習等差數列通項公式的求法,并進一步強化基本量在等差數列問題求解中的重要性．對于支架問題9，學生很快就能計算出該數列的通項公式為an=-5-4(n-1)=-4n-1,令-4n-1=-401,解得n的值為100,因為n為整數,所以-401是該等差數列的第100項．此時可以引導學生對兩個問題進行對比,用方程思想去理解等差數列的通項公式,明確通項公式中一共有四個基本量,已知其中的三個量,可以求第四個量．

采用支架式教學,搭建支架的目的是促進學生自主學習,增加對數學知識的感悟與理解．學生在完成任務的過程中，不斷提升自身的思維水平,這也促使學生通過內化支架而發(fā)展獨立完成學習任務的能力．由于支架問題基于學生知識的最近發(fā)展區(qū),學生可以完成,如此一來,學生便對思考數學問題有了愈發(fā)濃厚的興趣,在獲得成功的經驗以后,能夠具有更強的信心進行數學學習,對數學知識進行應用．

五、組織學生開展當堂訓練,對教學效果進行評價

數學學習是一個不斷探索的過程,學生還需及時的評估與反思.通過對自身學習情況的評估,學生可以根據支架學習的進度和成效對學習策略及下一步的支架學習策略及時調整.通過反思,學生能夠對自己的思維過程、思維成果等進行自我調控,為是否需要調整支架提供行之有效的依據.為了促進學生的評估與反思,可以組織進行課堂訓練．根據支架式教學環(huán)節(jié)來看,在完成小組討論環(huán)節(jié)以后,應當對于教學效果展開合理性評價．教師可以給定如下教學問題:已知在等差數列{an}中,a4+a8=20,a7=12，求a4．通過前面一系列支架問題的設定,學生已經明確了要求等差數列中的任何一項,確定基本量首項和公差是關鍵,此題條件中沒有直接給出這兩個量,但是數列的任何一項都可以用這兩個基本量表達．因此a4+a8=20,a7=12這兩個條件可以寫成a1+3d+a1+7d=20,a1+6d=12,聯立這兩個方程即可求得此數列中a1=0,d=2,所以a4=6．

在支架教學理念與問題教學法相融合之時,需要注意如下幾點:其一,在應用支架教學法對問題進行設計時需要尊重教材,符合學生的認知規(guī)律,同時由淺及深,將學生自身思維引向深入;其二,在應用支架教學理念進行課程設計時,不應太拘泥于教材本身,同時可以將等比數列固有的性質預先引入到課程學習過程中,充分凸顯數學學科學習活動的連貫性;其三,在應用支架教學法開展課程教學之時,應當圍繞設定的問題作為主線,秉承以生為本的教學原則,帶領學生展開思考,同時付諸探索實踐．除此之外,還需要重視激發(fā)學生內在的學習主動性,將提問題權放給學生,引導學生培養(yǎng)自身良好的發(fā)散性思維,以此來獲得較為良好的課堂教學效果．