巧用數(shù)形轉(zhuǎn)化 突破解題瓶頸
——兩道數(shù)學(xué)試題解法的探究與思考

邵海賢

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，225000)

數(shù)形轉(zhuǎn)化是指借助幾何圖形的直觀性與代數(shù)的量化性，將數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題解決，或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題研究[1].它主要包括幾何問(wèn)題代數(shù)化與代數(shù)問(wèn)題幾何化兩個(gè)方面.“以形助數(shù),以數(shù)解形”，可以化抽象為具體,化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，變抽象思維為形象思維.但是實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的合理轉(zhuǎn)化并非易事，如何根據(jù)題意分析轉(zhuǎn)化條件、探究轉(zhuǎn)化方向、設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化路徑、確定轉(zhuǎn)化程序？如何合理作圖、有效識(shí)圖以及遇到難題時(shí)如何調(diào)整運(yùn)算與轉(zhuǎn)化思路？這些都是學(xué)生的難點(diǎn)與弱點(diǎn).因此應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生以用數(shù)學(xué)的眼光觀察題目特征為先導(dǎo)，用數(shù)學(xué)的思維為解法尋找辯護(hù)的“理由”，讓解法在師生的交流中“自然分娩”[2].這是教師應(yīng)重視的問(wèn)題.

一、以數(shù)助形 幾何關(guān)系數(shù)量化

以數(shù)助形，將圖形中的幾何要素與幾何關(guān)系用代數(shù)的語(yǔ)言進(jìn)行描述，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化，再通過(guò)觀察代數(shù)結(jié)果的幾何意義，進(jìn)而解決問(wèn)題.此類(lèi)思路的關(guān)鍵在于學(xué)生能否巧妙地從形中挖掘出隱藏的數(shù)量關(guān)系，將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言.

(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程;

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)證明:∠OMA=∠OMB.

評(píng)析思路1是把兩角相等的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩直線斜率之和為零的代數(shù)問(wèn)題.思路1主要是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)與直線方程，構(gòu)造直線斜率、求和，將直線方程代入橢圓方程，再利用韋達(dá)定理計(jì)算化簡(jiǎn)求得結(jié)果，體現(xiàn)了解析的思想.整個(gè)運(yùn)算過(guò)程計(jì)算量適中，但需注意對(duì)于直線方程斜率是否存在的情況，需要進(jìn)行分類(lèi)討論.

思路2設(shè)直線MB的方程y=k1(x-2)(k1≠0).若證得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N在直線MB上,再由橢圓的對(duì)稱(chēng)性即可得出∠OMA=∠OMB.假設(shè)點(diǎn)N在直線MB上，則y2=k1(x2-2)，-y1=k1(x1-2),如果證出y2(x1-2)+y1(x2-2)=0，就可說(shuō)明假設(shè)成立.將y1=k(x1-1)與y2=k(x2-1)代入上式，再將直線l與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理公式代入，只需證2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=0，由上述論證可知等式成立.

評(píng)析思路2主要是通過(guò)假設(shè)猜想結(jié)論，再利用推理驗(yàn)證其猜想的正確性.這種思路相對(duì)于思路1而言，學(xué)生接觸較少，但是體現(xiàn)了解題思路的創(chuàng)造性.數(shù)形轉(zhuǎn)化思想在高考題中應(yīng)用較為廣泛，這就要求注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)化思想意識(shí)，以開(kāi)拓學(xué)生的思維視野.

評(píng)析向量是溝通幾何與代數(shù)關(guān)系的橋梁，它將數(shù)形融為一體.此解法利用向量數(shù)量積的定義求夾角，思路清晰明確.建立合適的坐標(biāo)系在向量法中可起到事半功倍的效果.思路3借助向量求解比前兩種解法計(jì)算量更大，但簡(jiǎn)化了學(xué)生思考的過(guò)程，提供了新的思考方向.

二、以形助數(shù) 數(shù)量關(guān)系直觀化

以形助數(shù)，借助通俗易懂的直觀圖形解決抽象的代數(shù)問(wèn)題，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化、直觀化.它能夠讓學(xué)生在生動(dòng)形象的幾何圖形中理解量的關(guān)系，有助于學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的發(fā)展.

評(píng)析本題若通過(guò)求導(dǎo)、判斷函數(shù)圖象單調(diào)性直接求解比較復(fù)雜，不妨以形助數(shù)，從圖象的角度分析，賦予函數(shù)一定的幾何意義，進(jìn)而將問(wèn)題幾何化、簡(jiǎn)潔化.由函數(shù)代數(shù)式的特性可聯(lián)想到解析幾何中的曲線方程，從而利用曲線的幾何特征的直觀性解決問(wèn)題.

評(píng)析思路1與思路2都是通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行構(gòu)造或整體代換，把求函數(shù)最小值的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最小截距與最小斜率的幾何問(wèn)題.在整個(gè)解題過(guò)程中，將抽象的函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問(wèn)題，體現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題幾何化的轉(zhuǎn)化思想，這不僅可簡(jiǎn)化問(wèn)題，還有利于學(xué)生解題綜合能力的提高.

數(shù)形轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題代數(shù)化與代數(shù)問(wèn)題幾何化提供了良好的載體，它能夠變問(wèn)題簡(jiǎn)單化、明朗化.新課標(biāo)指出，通過(guò)高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握“四基”,發(fā)展“四能”，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，作為新時(shí)代的教師，要在具體的課堂實(shí)踐中，以核心素養(yǎng)為生長(zhǎng)點(diǎn)，落實(shí)課堂目標(biāo)，優(yōu)化課堂啟發(fā)方式，深化解法對(duì)比探究，引導(dǎo)學(xué)生找到數(shù)形轉(zhuǎn)化中的切入點(diǎn)，提升學(xué)生的邏輯思維能力，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)生涯奠定堅(jiān)實(shí)有力的基礎(chǔ).