王藝淇,辛世界,曲寶軍,魏家曉,曲浩
(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,山東 淄博 255049)
轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是汽車底盤(pán)的重要組成部分,線控轉(zhuǎn)向(steer-by-wire,SBW)系統(tǒng)采用驅(qū)動(dòng)電機(jī)、控制器和多傳感器技術(shù)提供主動(dòng)轉(zhuǎn)向等功能并作為新一代轉(zhuǎn)向系統(tǒng)得到了國(guó)內(nèi)外專家的關(guān)注[1-2]。
SBW系統(tǒng)中存在許多不確定性因素的干擾,很難對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效控制,傳統(tǒng)的PID控制器難以協(xié)調(diào)不同工況下的需求[3-5]。汽車行駛中對(duì)前輪轉(zhuǎn)角的跟蹤速度和跟蹤誤差要求相對(duì)較高[6-7]。為提高系統(tǒng)抗干擾性能和動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度,本文設(shè)計(jì)了一種新型快速全局滑??刂破?fast global sliding mode control,FGSMC),并用仿真實(shí)驗(yàn)證明了該控制器的有效性和實(shí)用性。
SBW系統(tǒng)轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)如圖1所示,采用電機(jī)代替?zhèn)鹘y(tǒng)轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的機(jī)械連接裝置,通過(guò)轉(zhuǎn)向電機(jī)產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩使齒輪齒條轉(zhuǎn)向器產(chǎn)生齒條位移,最后通過(guò)轉(zhuǎn)向臂傳遞給前輪,保證前輪可以準(zhǔn)確跟蹤目標(biāo)轉(zhuǎn)角。
圖1 SBW系統(tǒng)轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)
本文采用永磁同步電機(jī)(PMSM)作為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī),不考慮減速器和齒輪齒條的傳動(dòng)誤差,SBW系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可以表示為
(1)
式中:Je為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Be為轉(zhuǎn)向電機(jī)阻尼系數(shù);fe為作用在轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)上的等效摩擦力矩;Te為轉(zhuǎn)向執(zhí)行電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩;Jfw為前輪繞主銷的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Bfw為前輪主銷的阻尼系數(shù);δf為前輪轉(zhuǎn)角;Tat為前輪轉(zhuǎn)向回正力矩;kr為轉(zhuǎn)向執(zhí)行機(jī)構(gòu)傳動(dòng)比。
前輪轉(zhuǎn)向回正力矩Tat主要由主銷回正力矩和輪胎拖距回正力矩組成,在正常行駛條件下,假設(shè)輪胎拖距為常量,其計(jì)算公式為
(2)
式中:Q為車輪載荷;D為主銷內(nèi)移量;γ為主銷內(nèi)傾角;ξ1為氣胎拖距;ξ2為后傾拖距;m為汽車質(zhì)量;v為車速;l為軸距;lr為質(zhì)心到后軸距離;lf為質(zhì)心到前軸距離;Cr為后輪側(cè)偏剛度;Cf為前輪側(cè)偏剛度。
為方便研究,將方程(1)改寫(xiě)為
(3)
由方程(3)可以得到SBW系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程
(4)
SBW系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)耦合、多變量的非線性系統(tǒng),在設(shè)計(jì)控制器前,本文對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn),引入冪次項(xiàng)和正切函數(shù),實(shí)現(xiàn)了更快的收斂速度和控制精度。
指數(shù)趨近律為
(5)
式中:k1、k2為常數(shù)。
式(5)中趨近律可以在初始狀態(tài)時(shí)快速逼近滑模面,但在逼近過(guò)程中速率會(huì)逐漸變慢,系統(tǒng)精度降低,造成系統(tǒng)抖振。因此本文對(duì)該指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn),即
(6)
其中sat為切換函數(shù),且
(7)
式中:0<α<1;sn=|s0|+σ,s0為初始狀態(tài),σ為正數(shù);ε為抖振指數(shù),ε>0。
在式(6)中,引入的|s|s/(|s|+α)可以加速靠近原點(diǎn)時(shí)趨近律收斂速度,正切函數(shù)項(xiàng)在接近初始狀態(tài)時(shí)有更大的導(dǎo)數(shù)值,通過(guò)對(duì)σ參數(shù)的調(diào)節(jié)實(shí)現(xiàn)更快速的收斂速度,通過(guò)以上組合可以實(shí)現(xiàn)全局更大限度的快速收斂。用改進(jìn)的切換函數(shù)sat代替原有的符號(hào)函數(shù),通過(guò)對(duì)抖振指數(shù)ε的調(diào)節(jié),在保證系統(tǒng)精度的情況下抑制了抖振的發(fā)生。
本文定義系統(tǒng)滑模面函數(shù)為
s=ce1+e2,
(8)
根據(jù)式(8)設(shè)計(jì)的滑模面和式(6)設(shè)計(jì)的指數(shù)趨近律,設(shè)計(jì)了FGSMC,即
(9)
式中Dc為待設(shè)計(jì)與干擾相關(guān)的參數(shù)。
根據(jù)式(5)—式(9)可以將方程(4)描述的SBW系統(tǒng)中的電機(jī)控制轉(zhuǎn)矩Te設(shè)計(jì)為
k2s+k3tan(s/sn)}。
(10)
由式(10)可以看出,當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)變量遠(yuǎn)離滑模面時(shí),通過(guò)指數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)快速收斂,通過(guò)正切函數(shù)項(xiàng)實(shí)現(xiàn)全局更大限度的快速收斂,在接近原點(diǎn)時(shí)變指數(shù)項(xiàng)提供收斂加速。該控制器有效地解決了收斂速度和抖振問(wèn)題,并能保證整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)快速精準(zhǔn)地收斂到平衡狀態(tài)。
利用李雅普諾夫理論對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析。選取
(11)
滑模面導(dǎo)數(shù)為
k1|s|s/(|s|+α)sat(s/ε)-
k2s-k3tan(s/sn)-Dc}。
(12)
因此當(dāng)s≠0,|s/ε|>1時(shí),
k2s-k3tan(s/sn)-Dc)}=
{cse2-k1s|s|s/(|s|+α)sgns-
k2s2-k3stan(s/sn)-Dc)}≤
-k1(|s|s/(|s|+α)ssgns)≤0;
(13)
當(dāng)s/ε≤1時(shí),則
k2s2-k3tan(s/sn)s-Dc}≤
-k1s(|s|s/(|s|+α)s/ε)≤0。
(14)
在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建SBW系統(tǒng)仿真模型,模型參數(shù)見(jiàn)表1。
表1 模型參數(shù)
設(shè)定本文所提出快速全局滑??刂破?FGSMC)參數(shù)為:c=5,k1=10,k2=10,k3=20,α=0.5,ε=0.05,σ=1,Dc=15,初始轉(zhuǎn)角δf=0 rad。
為驗(yàn)證FGSMC的有效性,將傳統(tǒng)滑模控制器(SMC)作為對(duì)比控制器進(jìn)行仿真分析。
3.2.1 角階躍信號(hào)輸入仿真
設(shè)車輛縱向速度vx=15 m/s,直線行駛1 s后設(shè)置前輪轉(zhuǎn)角的角階躍輸入為0.5 rad,取擾動(dòng)為0 rad,仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。
圖2 角階躍信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果
圖3 角階躍信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤誤差
由圖2可以看出,F(xiàn)GSMC和GSMC可以快速有效地跟蹤設(shè)定的轉(zhuǎn)角,但FGSMC速度更快,在1.2 s時(shí)就達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。由圖3可以更加直觀地看出FGSMC和GSMC二者誤差都在可承受范圍內(nèi),但在階躍輸入的瞬間FGSMC的誤差更小,有更強(qiáng)的魯棒性。
3.2.2 正弦參考信號(hào)輸入仿真
設(shè)置車輛縱向速度vx=15 m/s,前輪目標(biāo)轉(zhuǎn)角δfr=sintrad,設(shè)置系統(tǒng)干擾隨時(shí)間取以下不確定擾動(dòng):D=0,t∈(0,15];D=15sin(0.5t),t∈(15,30];D=30sin(t),t∈(30,50]。圖4和圖5為SBW系統(tǒng)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果和跟蹤誤差。
圖4 正弦信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤效果
圖5 正弦信號(hào)前輪轉(zhuǎn)角跟蹤誤差
由圖4可以看出,本文提出的FGSMC可以快速準(zhǔn)確地跟蹤轉(zhuǎn)角設(shè)定值,而SMC跟蹤出現(xiàn)一定程度的滯后,跟蹤速度較慢。由圖5可以看出,在擾動(dòng)發(fā)生變化的15 s和30 s時(shí),SMC的誤差出現(xiàn)明顯波動(dòng),F(xiàn)GSMC的波動(dòng)很小,變化不明顯。這表明,本文設(shè)計(jì)的控制器穩(wěn)定性和跟蹤性能都優(yōu)于傳統(tǒng)的SMC,可以使汽車行駛更加穩(wěn)定,從而提高了安全性能。
本文考慮回正力矩和摩擦力矩等未知因素對(duì)SBW系統(tǒng)控制器的影響,對(duì)指數(shù)趨近律進(jìn)行改進(jìn),設(shè)計(jì)了一種快速全局滑??刂破?,建立了穩(wěn)定的數(shù)字仿真模型,并對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行了仿真。該控制方案有效地緩解了不確定性因素對(duì)SBW系統(tǒng)控制的影響,提高了控制系統(tǒng)的魯棒性,削弱了滑??刂葡到y(tǒng)的抖振現(xiàn)象。