基于外部認(rèn)知負(fù)荷理論下數(shù)學(xué)符號(hào)邏輯認(rèn)知順序探究

張學(xué)林，任全紅

(綿陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院，四川綿陽(yáng) 621000)

0 引言

認(rèn)知負(fù)荷指學(xué)習(xí)者為了完成所給認(rèn)知任務(wù)，在工作記憶上進(jìn)行的心智活動(dòng)所需的全部心智能量.這個(gè)理論是由澳大利亞教育心理學(xué)家John Sweller等人在上世紀(jì)80年代提出的，他們將認(rèn)知負(fù)荷分為三種類(lèi)型：外在認(rèn)知負(fù)荷、內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷和相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷.內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷是元素間交互形成的負(fù)荷，它取決于所需學(xué)習(xí)的材料的本質(zhì)與學(xué)習(xí)者的學(xué)科知識(shí)之間的交互，教學(xué)設(shè)計(jì)是否得當(dāng)能不能對(duì)它產(chǎn)生直接的影響.而外部認(rèn)知負(fù)荷是超越內(nèi)部認(rèn)知負(fù)荷的額外負(fù)荷，它主要是由教師教學(xué)設(shè)計(jì)不當(dāng)引起的.“由教學(xué)設(shè)計(jì)引起的工作記憶稱(chēng)為外在認(rèn)知負(fù)荷，外在負(fù)荷是可以改變材料呈現(xiàn)方式來(lái)改變的”[1].因此學(xué)生在初學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式時(shí)教師教學(xué)一定要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)符號(hào)書(shū)寫(xiě)邏輯順序，有利于學(xué)生的主動(dòng)建構(gòu).為此，本文僅從數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)述、數(shù)學(xué)符號(hào)不規(guī)范和規(guī)范的書(shū)寫(xiě)順序的教學(xué)、建立和培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的教學(xué)策略建議等三個(gè)方面進(jìn)行論述,提高數(shù)學(xué)教學(xué)效果.

1 數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)述

(1)“數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性.”[2]

(2)“符號(hào)是文化與傳播數(shù)學(xué)思想的媒體，世界各國(guó)都有各自的語(yǔ)言，如漢語(yǔ)、英語(yǔ)、德語(yǔ)、法語(yǔ)……，但數(shù)學(xué)符號(hào)可以世界通用，全世界的人只要受過(guò)初等教育都認(rèn)識(shí)下列符號(hào)語(yǔ)言，不需翻譯如：2+3=5；(a+b)2=a2+2ab+b2;ΔABC∽ΔDEF……”.[3]

(3)“數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中用以表示數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)關(guān)系等的記號(hào).”數(shù)學(xué)符號(hào)包括幾何符號(hào)、代數(shù)符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、集合符號(hào)、特殊符號(hào)、推理符號(hào)、數(shù)量符號(hào)、關(guān)系符號(hào)、結(jié)合符號(hào)、性質(zhì)符號(hào)、省略符號(hào)、排列組合符號(hào)、離散數(shù)學(xué)符號(hào)等符號(hào)，各有各的表示.

為了讓學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)符號(hào)，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)符號(hào)是用來(lái)表示數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式、數(shù)量(式)間的關(guān)系及其運(yùn)算與推理，從而更方便解決實(shí)際問(wèn)題所用到的符號(hào).“建立符號(hào)意識(shí)，有助于學(xué)生理解符號(hào)的意義并進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.在解決問(wèn)題中，使學(xué)生經(jīng)歷符號(hào)化的過(guò)程.”[4]

2 培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號(hào)的意義

“符號(hào)意識(shí)作為數(shù)學(xué)重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.”[2]培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意義獲得能力是解決“數(shù)學(xué)難學(xué)”“數(shù)學(xué)枯燥”“聽(tīng)而不懂”“懂而不會(huì)”“會(huì)而不對(duì)”等教學(xué)難題的一種有效的、可行的、具有操作性的途徑和方法.對(duì)學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、提高邏輯推理能力、提升代數(shù)思維、培養(yǎng)學(xué)生建模能力等方面具有重要的意義，因此，初次教學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)一定要讓學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)符號(hào)的意義、出現(xiàn)的邏輯順序以及理解利用數(shù)學(xué)符號(hào)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的作用，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí).

3 初次教學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)出現(xiàn)不規(guī)范的書(shū)寫(xiě)順序及矯正

“在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)盡可能減少外部認(rèn)知負(fù)荷，注意學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)方式和教學(xué)設(shè)計(jì)水平有關(guān)，呈現(xiàn)形式越合理，越符合學(xué)習(xí)者的認(rèn)知水平，學(xué)習(xí)者的信息加工的干擾因素越少，外在負(fù)荷就越低，有利于學(xué)習(xí).”[5]學(xué)生在沒(méi)有主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)符號(hào)的意義情況下初學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)，要特別注意書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)符號(hào)順序，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯性，否則會(huì)增加學(xué)生的外在認(rèn)知負(fù)荷，教師在教學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)順序，如采用漢字從左自右的順序，易造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)、知識(shí)理解困難，缺乏邏輯.因此學(xué)生初學(xué)時(shí)數(shù)學(xué)教師一定要按照數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)書(shū)寫(xiě)數(shù)學(xué)符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)，初步形成數(shù)感，感受數(shù)學(xué)符號(hào)的作用，初步養(yǎng)成樂(lè)于思考、勇于質(zhì)疑、實(shí)事求是等良好品質(zhì)，不能采取漢字從左自右的書(shū)寫(xiě)順序，避免學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)不理解，先后的邏輯混亂，造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)產(chǎn)生厭倦，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)知負(fù)荷.

(1)學(xué)生在學(xué)習(xí)加法時(shí)，教學(xué)生運(yùn)用加法符號(hào)“+”時(shí)，比如“3與2的和”列數(shù)學(xué)算式時(shí)：不應(yīng)該從左自右的順序：書(shū)寫(xiě)3+2；應(yīng)該先寫(xiě)3與2，再寫(xiě)中間的“+”.同理其它幾種運(yùn)算符號(hào)也應(yīng)該這樣列式書(shū)寫(xiě)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的邏輯思維.一般的老師教學(xué)時(shí)是按照從左自右的順序書(shū)寫(xiě)算式或解析式.

(2)在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)該先寫(xiě)分子、分母，最后寫(xiě)分?jǐn)?shù)線，一般的老師教學(xué)時(shí)是按照分?jǐn)?shù)線、分母、分子的順序書(shū)寫(xiě)，缺乏邏輯性.

(3)在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)時(shí)，讓學(xué)生真正弄懂百分?jǐn)?shù)的同時(shí)，明確百分?jǐn)?shù)的書(shū)寫(xiě)順序，比如82%.按照邏輯順序應(yīng)該是先寫(xiě)%，再寫(xiě)82，不應(yīng)該是先寫(xiě)82，再寫(xiě)%.

(5)在學(xué)習(xí)絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，應(yīng)該先寫(xiě)數(shù)或表示數(shù)的字母(或代數(shù)式)，再寫(xiě)絕對(duì)值符號(hào)，比如求-5的絕對(duì)值的書(shū)寫(xiě)順序，應(yīng)該是先寫(xiě)-5，再寫(xiě)絕對(duì)值符號(hào)，即：-5→||.不應(yīng)該按照||→-5的順序.

圖1 示意圖Fig.1 Schematic

圖2 示意圖Fig.2 Schematic

(8)在初學(xué)某些乘法公式時(shí)，也要注意書(shū)寫(xiě)順序，如在學(xué)習(xí)和的完全平方公式時(shí)，其書(shū)寫(xiě)順序?yàn)椋?a+b)2=a2+2ab+b2，右邊的書(shū)寫(xiě)順序?yàn)椋篴2、b2、+、2ab，這與語(yǔ)言文字“兩數(shù)和的完全平方等于兩書(shū)的平方和再加上兩數(shù)積的兩倍”相一致.

(9)注意極限符號(hào)的引入，比如在計(jì)算山高AC的長(zhǎng)度時(shí)，運(yùn)用“化整為零、積零成整”的數(shù)學(xué)思想，首先將曲線山坡化為首尾相接線段L1、L2、……、Ln，AC=h1+h2+......+hn=L1Sinα1+L2Sinα2+……+

其認(rèn)知順序應(yīng)該是：

的邏輯認(rèn)知順序或書(shū)寫(xiě)順序如圖2.

4 培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)符號(hào)邏輯認(rèn)知意識(shí)教學(xué)策略

“突出知識(shí)的形成過(guò)程.課程內(nèi)容的組織要重視過(guò)程，處理好過(guò)程與結(jié)果的關(guān)系；課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性.符號(hào)意識(shí)是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的基礎(chǔ).”[2]培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)書(shū)寫(xiě)邏輯順序是突出知識(shí)的形成過(guò)程的一種表象.

4.1 讓學(xué)生進(jìn)一步明確數(shù)學(xué)符號(hào)的真正含義

對(duì)中小學(xué)生來(lái)說(shuō)運(yùn)用符號(hào)不是一件很容易的事，這是因?yàn)榉?hào)化有一個(gè)從具體—表象—抽象—符號(hào)化的過(guò)程.為此，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)符號(hào)的教學(xué)，逐步培養(yǎng)中小學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)邏輯思維能力.

4.2 在教學(xué)中注重材料的呈現(xiàn)及數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)習(xí)的探究過(guò)程

教學(xué)中特別要注重有關(guān)數(shù)學(xué)符號(hào)材料的呈現(xiàn)方式及探究過(guò)程，“工作記憶負(fù)荷不僅受學(xué)生活動(dòng)的影響，還受材料的內(nèi)在本質(zhì)材料呈現(xiàn)形式的影響.”[6]比如在呈現(xiàn)“一只青蛙四條腿，二只青蛙八條腿，三只青蛙十二條腿，問(wèn)十只青蛙幾條腿？”時(shí)，應(yīng)該以詩(shī)詞的方式呈現(xiàn)學(xué)生容易理解：

(利用表格形式進(jìn)行探究降低學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷)

一只青蛙四條腿，

二只青蛙八條腿，

三只青蛙十二條腿，

……

問(wèn)十只青蛙幾條腿？

同時(shí)特別注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)的探究過(guò)程，英國(guó)著名教育家豪森(A.G.Howson)所指出：“沒(méi)有必要引入任何符號(hào)或縮寫(xiě)，除非學(xué)生自己已經(jīng)深深感受到這樣做的必要性，以致于他們自己提出這個(gè)方面的建議，或至少當(dāng)老師提供給他們時(shí)他們能夠充分體會(huì)到它的優(yōu)越性”.[7]因此在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)符號(hào)的形成過(guò)程，讓學(xué)生真正能感受到引入數(shù)學(xué)符號(hào)的必要.比如學(xué)生在學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)時(shí)，從特殊到一般進(jìn)行探究，在上述例子中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究：n只青蛙幾條腿？一條直線有一個(gè)點(diǎn)有兩條射線，兩個(gè)點(diǎn)有幾條射線？n點(diǎn)有幾條射線？如果改為線段呢？應(yīng)該列出表格，引導(dǎo)學(xué)生探究.在學(xué)習(xí)am·an=am+n時(shí)要讓學(xué)生明確乘方的意義，將乘方改為乘法，由不完全歸納法猜出同底冪的乘法公式后，再由am=a×a×a×……×a(m個(gè)a相乘)乘法和乘方互相轉(zhuǎn)化進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯證明.

4.3 鼓勵(lì)學(xué)生利用模型思想中的數(shù)學(xué)符號(hào)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題

要鼓勵(lì)學(xué)生習(xí)慣使用數(shù)學(xué)符號(hào)解決生活實(shí)際問(wèn)題，提高效率，特別是數(shù)學(xué)建模的有關(guān)問(wèn)題，使用數(shù)學(xué)符號(hào)尤為重要.“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的素養(yǎng).數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.”[8]

圖3 數(shù)學(xué)計(jì)算模型Fig.3 Mathematical calculation model

例 A地有蔬菜300噸，B地有蔬菜400噸，現(xiàn)要把蔬菜運(yùn)往C、D兩市；如果從A城運(yùn)往C、D兩市運(yùn)費(fèi)分別為每噸25元和30元，從B地運(yùn)往C、D兩市運(yùn)費(fèi)分別為每噸20元和32元；現(xiàn)已知C地需要320噸，D地需要380噸.如果某個(gè)體戶(hù)承包了這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)，怎樣的運(yùn)輸方案花錢(qián)最少？

分析：引導(dǎo)學(xué)生利用字母、箭頭、方框圖等數(shù)學(xué)符號(hào)表示的數(shù)學(xué)模型將生活中的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再利用數(shù)學(xué)符號(hào)列出解析式，建立數(shù)學(xué)模型，從而求解.

y=25x+30(300-x)+20(320-x)+32(80+x),即y=7x+17 960.

由題意得，x≥0,(300-x)≥0,(320-x)≥0,(80+x)≥0;解得0≤x≤300,當(dāng)x=0時(shí)，ymin=17 960.

教師這樣進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)就大大地降低了學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷.

4.4 通過(guò)練習(xí)加以強(qiáng)化數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，進(jìn)一步強(qiáng)化數(shù)學(xué)符號(hào)的意義

4.5 遵循學(xué)生的認(rèn)知能力，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)

5 結(jié)語(yǔ)

總之，教師在面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，初次教學(xué)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)一定要仔細(xì)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)，根據(jù)邏輯結(jié)構(gòu)確定數(shù)學(xué)符號(hào)的書(shū)寫(xiě)順序，讓學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)認(rèn)知順寫(xiě)，減少學(xué)生外在認(rèn)知負(fù)荷，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高數(shù)學(xué)教育教學(xué)效果.