整體與關(guān)聯(lián)理念導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)探析

陳吉標(biāo)

（大田縣第五中學(xué)，福建 大田 366199）

在教學(xué)實(shí)踐中，常有一部分中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到上升瓶頸。究其原因，是這些學(xué)生頭腦里沒(méi)有形成初中數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、知識(shí)體系、知識(shí)關(guān)聯(lián)和知識(shí)應(yīng)用的邏輯體系。這些學(xué)生頭腦里的定義、公式、定理法則等知識(shí)彼此是孤立的知識(shí)點(diǎn)，很難在不同單元、不同問(wèn)題中進(jìn)行知識(shí)遷移。而之所以會(huì)如此，與教師只重視數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授而忽略學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)有關(guān)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》指出：“為了實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，還要把握教學(xué)內(nèi)容主線與相應(yīng)核心素養(yǎng)發(fā)展之間的關(guān)聯(lián)?！币虼?，教師應(yīng)擁有整體視野，從關(guān)聯(lián)視角看待教材內(nèi)容、方法和思想，教學(xué)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)部存在的關(guān)聯(lián)性，將思想與方法進(jìn)行提煉、總結(jié)、歸類與融通。文章以2014 年北師大版初中數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容為例，就整體與關(guān)聯(lián)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行探索。

一、對(duì)初中數(shù)學(xué)“整體”與“關(guān)聯(lián)”的認(rèn)識(shí)

（一）整體、關(guān)聯(lián)概念的理解與導(dǎo)向意義

整體，是對(duì)初中數(shù)學(xué)中將代數(shù)或幾何知識(shí)某一部分內(nèi)容看成一個(gè)“整體”，教師在教學(xué)某一知識(shí)點(diǎn)時(shí)不是孤立地針對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行施教，而是站在“整體”的高度，對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)、施教，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的思維將這一知識(shí)點(diǎn)同以往學(xué)過(guò)的相關(guān)、相似、相異的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)一起學(xué)習(xí)。關(guān)聯(lián)，是對(duì)初中數(shù)學(xué)某一知識(shí)點(diǎn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)將相關(guān)、相似、相異的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)、施教；同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生自主查找相關(guān)、相似、相異的內(nèi)容，并在對(duì)比中進(jìn)行探究學(xué)習(xí)。

整體、關(guān)聯(lián)理念導(dǎo)向下的教學(xué)有利于學(xué)生建構(gòu)初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系、知識(shí)結(jié)構(gòu)和知識(shí)應(yīng)用。建構(gòu)知識(shí)的整體性、關(guān)聯(lián)性課堂就是要求教師在教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生整體、系統(tǒng)地研究問(wèn)題，用整體觀學(xué)習(xí)所學(xué)的內(nèi)容，用聯(lián)系的觀點(diǎn)將所學(xué)的內(nèi)容與其相近、相似內(nèi)容或似乎沒(méi)有關(guān)系的知識(shí)之間架起一座橋梁。這有利于學(xué)生自覺(jué)地進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)能力。

（二）整體、關(guān)聯(lián)理念導(dǎo)向下的教學(xué)關(guān)注點(diǎn)

1.關(guān)注數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，正確理解數(shù)學(xué)概念是理解運(yùn)用數(shù)學(xué)定理、公式、圖形、符號(hào)的前提。當(dāng)學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)概念越來(lái)越多時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解就可能出現(xiàn)混亂，影響了后續(xù)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。因此，在教學(xué)數(shù)學(xué)概念時(shí)要從整體、關(guān)聯(lián)上對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行施教，通過(guò)整體性的教學(xué)讓學(xué)生分清這個(gè)數(shù)學(xué)概念在某一個(gè)整體范圍內(nèi)其特殊性所在；通過(guò)關(guān)聯(lián)性的教學(xué)讓學(xué)生分清這個(gè)數(shù)學(xué)概念與其他相似數(shù)學(xué)概念的區(qū)別。

2.關(guān)注公式、定理。初中數(shù)學(xué)有一定量的公式、定理法則，這些公式、定理法則不僅需要學(xué)生記住，更需要學(xué)生靈活運(yùn)用，但學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、定理法則時(shí)常出現(xiàn)記錯(cuò)、用錯(cuò)的現(xiàn)象。究其原因是對(duì)相似公式未能正確區(qū)別，對(duì)定理法則的意義及形成過(guò)程沒(méi)有正確理解。所以，對(duì)公式、定理法則的教學(xué)要加強(qiáng)對(duì)比，關(guān)聯(lián)相關(guān)、相似的公式定理法則，讓學(xué)生對(duì)所學(xué)的內(nèi)容用準(zhǔn)用好。

3.關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的靈魂，對(duì)于一些綜合性較強(qiáng)或難度較大的題目形成正確的數(shù)學(xué)思想方法是解題的關(guān)鍵。通過(guò)整體性和關(guān)聯(lián)性關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力提升一個(gè)臺(tái)階。

4.關(guān)注典型例題。數(shù)學(xué)能力的體現(xiàn)主要在于解題，而解題能力的培養(yǎng)離不開(kāi)對(duì)典型例題的教學(xué)。典型例題教學(xué)的目的是讓學(xué)生“做一題，會(huì)一類”。教材中有大量的例題、習(xí)題，這些例題、習(xí)題題目雖然各不相同，但解題思路、解題方法均有規(guī)律可循，并且有許多的規(guī)律是相近或相似的。所以例題教學(xué)不能孤立地就例題講例題，而要從這個(gè)例題的類別出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)的例題、習(xí)題進(jìn)行分析，找出異同點(diǎn)，總結(jié)出同一類別的題型解法。

二、整體、關(guān)聯(lián)理念在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用探析

（一）用整體、關(guān)聯(lián)理念進(jìn)行新知識(shí)教學(xué)

1.概念、公式的教學(xué)要重視相似或相異概念的關(guān)聯(lián)對(duì)比

數(shù)學(xué)概念相對(duì)比較抽象，這些數(shù)學(xué)概念有的用語(yǔ)言陳述，有的用式子表達(dá)。在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)一些學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征理解不到位，導(dǎo)致對(duì)概念的混淆錯(cuò)解。因而，若將所學(xué)的概念同相似或相異概念關(guān)聯(lián)對(duì)比則可減少學(xué)生對(duì)所學(xué)概念混淆錯(cuò)解現(xiàn)象的發(fā)生。例如，在教學(xué)二次函數(shù)概念一節(jié)，可同一次函數(shù)、反比例函數(shù)概念關(guān)聯(lián)對(duì)比，如下表：

通過(guò)本表的關(guān)聯(lián)對(duì)比，學(xué)生可以加深對(duì)用式子表達(dá)的數(shù)學(xué)概念的理解，從整體上把握初中三種函數(shù)的概念，并且能較好地區(qū)別這些函數(shù)的本質(zhì)特征。

2.定理、法則的教學(xué)要重視整體或縱向的關(guān)聯(lián)對(duì)比

定理、法則是證明的主要依據(jù)。在初中數(shù)學(xué)里，定理一般指平面幾何中的定理，這些定理主要分兩類：一類是判定定理，另一類是性質(zhì)定理。法則一般指代數(shù)中的運(yùn)算法則。一些學(xué)生對(duì)定理法則能背誦，也能理解其所表達(dá)的意義，但不能靈活運(yùn)用，主要原因是對(duì)定理法則的作用沒(méi)有弄清，沒(méi)有從定理法則的整體性去理解它的作用所在。所以對(duì)定理法則的教學(xué)不能孤立地講解，而要引導(dǎo)學(xué)生弄清定理法則的形成過(guò)程和它所在背景下的作用。教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生尋找定理法則背景的整體框架下的作用，并關(guān)聯(lián)相關(guān)的定理法則，讓學(xué)生弄清楚探究定理法則形成的意義和具體作用。例如，等腰三角形判定定理一節(jié)（八下P8）的教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下探究。

（1）探究背景：研究一個(gè)圖形兩邊相等或兩角相等的問(wèn)題可用全等三角形來(lái)解決。用這一方法我們得到等腰三角形的哪些性質(zhì)？

（2）探究元素：等腰三角形的判定所要的條件是兩邊相等還是兩角相等？

⑶定理類別：這個(gè)定理是判定定理，還是性質(zhì)定理？

（4）條件結(jié)論：定理的條件是什么？結(jié)論是什么？

（5）定理作用：這個(gè)定理可作為等腰三角形的判定方法之一，判定一個(gè)三角形是否為等腰三角形，從邊看需要具備什么條件（定義判定）？從角看需要具備什么條件（定理判定）？

（6）定理關(guān)聯(lián)：與這個(gè)定理相關(guān)聯(lián)的定理有哪些？它們之間有何區(qū)別？

（7）定理延伸：用研究等腰三角形的判定、性質(zhì)的方法研究等邊三角形、有一角為30°的直角三角形的判定、性質(zhì)。

學(xué)生在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下，不僅探究了等腰三角形的一個(gè)判定定理，而且還能區(qū)別等腰三角形判定定理與性質(zhì)定理的不同，運(yùn)用整體和關(guān)聯(lián)的思維，站在一個(gè)較高的點(diǎn)來(lái)學(xué)習(xí)等腰三角形的判定定理就顯得輕松自如，對(duì)定理的運(yùn)用問(wèn)題也迎刃而解。

（二）用整體、關(guān)聯(lián)理念進(jìn)行解題教學(xué)

1.典型例題教學(xué)要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的整體運(yùn)用

例題是教材的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)概念、公式、定理法則的具體運(yùn)用。例題的解答蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法，初中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、圖形運(yùn)動(dòng)思想、數(shù)學(xué)模型思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有待定系數(shù)法、配方法、換元法、消元法、構(gòu)造法、圖象法等。一個(gè)例題或習(xí)題的解答一般都會(huì)蘊(yùn)含著一種或幾種數(shù)學(xué)思想方法。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握來(lái)自例題的學(xué)習(xí)和完成一定量的練習(xí)。其中通過(guò)例題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法是重要的途徑。因此，例題教學(xué)不能只滿足幫助學(xué)生分析題目的解答過(guò)程，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生挖掘解答過(guò)程所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)學(xué)生掌握了解題的數(shù)學(xué)思想方法，例題教學(xué)才能實(shí)現(xiàn)“做一題，會(huì)一類”的目標(biāo)。例如在“確定二次函數(shù)的表達(dá)式”一節(jié)例2（九下P44），如果直接講解例題的解答過(guò)程，學(xué)生也能理解，或者學(xué)生自學(xué)也能看懂，但是這種沒(méi)有“深挖”的學(xué)習(xí)，很難達(dá)到舉一反三的目的，題目稍微變一下學(xué)生就無(wú)從下手了。要讓學(xué)生學(xué)到例題中的精髓，就要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，為學(xué)生設(shè)計(jì)整體、關(guān)聯(lián)的深度學(xué)習(xí)“腳手架”。

題目：已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)（-1，10），（1，4），（2，7）三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)。

問(wèn)題引領(lǐng)：

（1）求函數(shù)的表達(dá)式這類題型，前面有學(xué)過(guò)哪些例題？這些例題的解法叫什么方法？（九下P42 例1，八上P127 例）

（2）什么情況下可以用待定系數(shù)法？用待定系法解題的主要步驟有哪些？嘗試解答此題。

（3）本題為何可用待定系數(shù)法？有無(wú)其它方法可求出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式？

（4）本題求二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，用到了什么方法？請(qǐng)用兩種以上的方法求解。

學(xué)生在這些問(wèn)題的引領(lǐng)下進(jìn)行自主學(xué)習(xí)，雖然學(xué)習(xí)的是一個(gè)例題，但掌握的是解決這類問(wèn)題的通用方法。

2.典型例題教學(xué)要關(guān)注題型解法的橫向關(guān)聯(lián)變式

初中數(shù)學(xué)的例題往往是針對(duì)本節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)的，綜合性不大，有的例題也較難體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法。如果只是就題講題，學(xué)生的收獲僅局限于這一例題所包含的知識(shí)點(diǎn)，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力和解題能力的培養(yǎng)。整體、關(guān)聯(lián)理念導(dǎo)向下的例題教學(xué)可以將例題進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)變式，即對(duì)例題所涉及的知識(shí)點(diǎn)尋找其更大范圍的知識(shí)體系進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)變式，特別是在總復(fù)習(xí)中所設(shè)計(jì)的例題更需要進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)變式，讓例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法更加凸顯，使例題增加更多的“附加值”。例如，關(guān)于一次函數(shù)單元復(fù)習(xí)，我們可設(shè)計(jì)如下例題并進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)變式。

例題：已知一次函數(shù)y=kx+b 的圖象經(jīng)過(guò)A（-3，-2），B（1，6）兩點(diǎn)，求此函數(shù)的解析式。（復(fù)習(xí)待定系數(shù)法、二元一次方程組的解法）

變式1：當(dāng)m、n 為何值時(shí)，函數(shù)y=（2m-1）x+（3n+2）是一次函數(shù)？當(dāng)m、n 為何值時(shí)，此函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在x 軸的下方？（復(fù)習(xí)一次函數(shù)的概念、一元一次不等式的解法）

變式2：若函數(shù)y=（2m-1）x+2 是一次函數(shù)，當(dāng)m 為何值時(shí)，y 的值隨x 的增大而增大？當(dāng)m 為何值時(shí)，y的值隨x 的增大而減小？當(dāng)m 為何值時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）？（復(fù)習(xí)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)、分類討論方法、一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系）

變式3：若y-1 與x+2 成正比例且x=0 時(shí)，y=3，寫出y 與x 之間的關(guān)系式。（復(fù)習(xí)成正比例的概念、待定系數(shù)法）

變式4：畫出函數(shù)y=2x+4 的圖象，并回答：當(dāng)x 為何值時(shí)，y>2？當(dāng)x 為何值時(shí)，-3

變式5：若直線y=kx+b 平行直線y=3x-1 且過(guò)點(diǎn)（-2，1），求k、b 的值。（復(fù)習(xí)兩直線的位置關(guān)系、數(shù)形結(jié)合方法）

變式6：若一次函數(shù)y=2x+b 的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是16，求b 的值。（代數(shù)、幾何相結(jié)合，復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合方法、分類討論方法。）

在解題教學(xué)中，整體性、關(guān)聯(lián)性的變式教學(xué)在總復(fù)習(xí)中運(yùn)用廣泛，一個(gè)例題講解完后將它所在的整體背景知識(shí)和相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行變式，可大大提高復(fù)習(xí)效率。本例中進(jìn)行6 個(gè)變式，可讓學(xué)生對(duì)一次函數(shù)的主要內(nèi)容作了一次較全面的復(fù)習(xí)，同時(shí)復(fù)習(xí)了一些數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，提高了學(xué)生的解題能力。

（三）用整體、關(guān)聯(lián)理念進(jìn)行單元教學(xué)

初中數(shù)學(xué)的一個(gè)章節(jié)，一般就是一個(gè)單元，但對(duì)一個(gè)章節(jié)的教學(xué)不等于是單元教學(xué)，單元教學(xué)是從一個(gè)整體的角度去把握全章知識(shí)的教學(xué)，對(duì)每一知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)既有其獨(dú)立性，又有其聯(lián)系性。教材中一個(gè)章節(jié)知識(shí)的呈現(xiàn)一般分為兩類：遞進(jìn)式和并列式。遞進(jìn)式的章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的面越來(lái)越大，后面的知識(shí)總是以前面的知識(shí)為基礎(chǔ)；并列式的章節(jié)知識(shí)點(diǎn)并列獨(dú)立呈現(xiàn)，呈現(xiàn)的方法相似。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生分析章節(jié)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，“先總后分，前后聯(lián)系”，從整體出發(fā)搭建單元知識(shí)結(jié)構(gòu)并引以學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生進(jìn)入單元深度學(xué)習(xí)。例如，“特殊平行四邊形”（九上第一章）的教學(xué)可以進(jìn)行如下單元設(shè)計(jì)。

分析：本章為并列式知識(shí)章節(jié)，分別陳述三種特殊的平行四邊形，即菱形、矩形、正方形，每種圖形的主要內(nèi)容均為三個(gè)：定義、性質(zhì)、判定。這三種圖形的共同點(diǎn)都是平行四邊形，都具有平行四邊形的性質(zhì)。三種圖形特殊在哪里，有哪些性質(zhì)，怎么判定？可用問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)。

1.對(duì)特殊平行四邊形定義的探究

（1）一個(gè)平行四邊形的邊如何特殊就變成菱形？角如何特殊就變成矩形？邊和角都如何特殊則變成正方形？

（2）畫圖分別說(shuō)明菱形、矩形、正方形的定義。

（3）菱形的內(nèi)角如何特殊化就變成正方形？矩形的邊如何特殊化就變成了正方形？是否可以說(shuō)正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形？

2.對(duì)特殊平行四邊形性質(zhì)的探究

（1）從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面研究菱形、矩形、正方形與一般的平行四邊形對(duì)比各有哪些特殊性質(zhì)？

（2）分別寫出菱形、矩形、正方形的性質(zhì)定理并畫出圖形，用幾何語(yǔ)言表示。

3.對(duì)特殊平行四邊形判定的探究

（1）用定義如何判定一個(gè)平行四邊形是菱形？矩形？正方形？請(qǐng)用幾何語(yǔ)言表示。

（2）從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面研究，一個(gè)平行四邊形加上什么條件就可判定為菱形？矩形？正方形？如果是一個(gè)四邊形則需要加上什么條件才可判定為菱形？矩形？正方形？

（3）分別寫出菱形、矩形、正方形的判定定理，并用幾何語(yǔ)言表示。

4.特殊平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理有何區(qū)別？在具體運(yùn)用中關(guān)鍵看什么？

從教材的安排上看，本章的教學(xué)一般需要10 課時(shí)，如果用整體、關(guān)聯(lián)理念按上述導(dǎo)學(xué)任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，一般只要6 課時(shí)，而且可以較大地提高教學(xué)效果：第一課時(shí)先由教師布置本單元學(xué)習(xí)任務(wù)，展示導(dǎo)學(xué)問(wèn)題，介紹學(xué)習(xí)方法；第二課時(shí)讓學(xué)生展示1、2項(xiàng)學(xué)習(xí)成果（特殊平行四邊形的定義、性質(zhì)），教師答疑指導(dǎo)；第三課時(shí)讓學(xué)生展示3、4 項(xiàng)學(xué)習(xí)成果（特殊平行四邊形的判定及與性質(zhì)的區(qū)別），教師答疑指導(dǎo)；第四、第五課時(shí)是知識(shí)運(yùn)用、拓展和補(bǔ)充，規(guī)范學(xué)生解題格式，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題總結(jié)和關(guān)聯(lián)對(duì)比；第六課時(shí)對(duì)本章進(jìn)行總結(jié)復(fù)習(xí)。

本章的單元教學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生抓主兩條主線：一條是研究?jī)?nèi)容的主線，即定義、性質(zhì)、判定；另一條是研究方法的主線，即從平行四邊形的邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行研究。雖然探究的有三種圖形，但探究的“套路”都相同，易于學(xué)生學(xué)習(xí)。這種引導(dǎo)學(xué)生從整體、關(guān)聯(lián)角度去進(jìn)行單元學(xué)習(xí)的方法，有利于學(xué)生站在知識(shí)結(jié)構(gòu)的高度和抓住知識(shí)間的聯(lián)系把握一個(gè)章節(jié)的重難點(diǎn)，能較好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。