高考數(shù)學(xué)對(duì)球體考查的新動(dòng)向

西安市經(jīng)開第一中學(xué) 侯麗莎

2022年高考數(shù)學(xué)學(xué)科的命題在踐行立德樹人為根本教育任務(wù)的同時(shí)，新情境、數(shù)學(xué)文化、知識(shí)交匯等成為一道亮麗的風(fēng)景線.高考試題情境緊密聯(lián)系生活實(shí)際，突出數(shù)學(xué)文化的引領(lǐng)作用，不同模塊的知識(shí)交匯成為新的命題動(dòng)向.

以往高考中與球體有關(guān)的考查，主要以確定球心位置和球半徑為背景，以球體的體積和表面積計(jì)算為主要考查內(nèi)容，涉及柱體、椎體的切、接問(wèn)題，考查方式以選擇、填空題為主.隨著新高考的改革，球體與臺(tái)體的切、接問(wèn)題已成為基礎(chǔ)考點(diǎn)，在考查球體基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)了結(jié)合學(xué)科內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，側(cè)重于知識(shí)交匯的命題設(shè)計(jì)[1].既對(duì)球體基礎(chǔ)知識(shí)的考查達(dá)到必要的深度，又把不同模塊的數(shù)學(xué)知識(shí)交匯融合，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的類比、聯(lián)想、遷移和應(yīng)用，體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的綜合理解與靈活應(yīng)用.

1 球體與集合的交匯

例1(2022·北京卷·9)已知正三棱錐P-ABC的六條棱長(zhǎng)均為6，S是△ABC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T={Q∈S|PQ≤5}，則T表示的區(qū)域的面積為( ).

分析：本題考查以P為球心，5為半徑的球被底面ABC所截，求得截面圓的半徑后再求區(qū)域的面積.

圖1

故選：B.

2 球體與不等式的交匯

例2(2022·全國(guó)乙卷·文12理9)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，其高為( ).

故選：C.

3 球體與旋轉(zhuǎn)體的結(jié)合

例3(2020·新課標(biāo)Ⅲ·文16理15)已知圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為.

圖2

4 球體與多面體的結(jié)合

A.100πB.128π

C.144πD.192π

分析：本題考查球的表面積計(jì)算公式.根據(jù)題意可以利用正三角形性質(zhì)求出正三棱臺(tái)上下底面外接圓的的半徑，根據(jù)球心距、底面外接圓的半徑以及球的半徑之間的關(guān)系建立等式，可以求出正三棱臺(tái)外接球的半徑，從而求得球的表面積.

故選：A.

高中數(shù)學(xué)課程知識(shí)以單元或模塊的形式呈現(xiàn)，兩個(gè)(或多個(gè))知識(shí)為什么會(huì)產(chǎn)生交匯，關(guān)鍵是要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，突破知識(shí)界限，活躍思維方式，感受數(shù)學(xué)是一個(gè)整體.

那么引起知識(shí)交匯的原因又有哪些呢？筆者從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析.

①數(shù)學(xué)文化的滲透，可以從不同的角度拓展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，開闊學(xué)生思維，促使學(xué)生去創(chuàng)新，去思考，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)人文精神，繼承傳統(tǒng).因此，數(shù)學(xué)文化成為多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)交匯融合的一種載體.

②核心知識(shí)如集合、函數(shù)、不等式等在各自的發(fā)展過(guò)程中相互聯(lián)系，始終是貫穿高中數(shù)學(xué)知識(shí)的主線，揭示了知識(shí)與知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系能使我們運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)知識(shí)解決同一個(gè)問(wèn)題.因此，核心知識(shí)的應(yīng)用是眾多知識(shí)交匯的焦點(diǎn).

③思維導(dǎo)圖，可讓各模塊之間的聯(lián)系更加緊密，焦點(diǎn)集中，層次分明，節(jié)點(diǎn)相連，把零散的知識(shí)有機(jī)整合，形成系統(tǒng).因此，思維導(dǎo)圖為眾多知識(shí)交匯牽線搭橋.

④思維方式的不同，解題時(shí)捕捉到的題目信息與大腦中原有的信息有效結(jié)合方式不同，所產(chǎn)生的的解題思想就不同.把握數(shù)學(xué)解題中的通性通法，科學(xué)有效地構(gòu)建解題思維鏈，數(shù)學(xué)思維方法的應(yīng)用是眾多知識(shí)交匯的核心.

總之，2022年高考數(shù)學(xué)對(duì)球體知識(shí)的考查多以球體為背景，創(chuàng)設(shè)命題情境，突破知識(shí)界限，更巧妙、更新穎地交匯命題，是2022年高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)新動(dòng)向.一線數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中應(yīng)予以重視.