比較：讓學生的概念認知趨于結(jié)構(gòu)化比較：讓學生的概念認知趨于結(jié)構(gòu)化
——以“分數(shù)的意義”為例

◎陳 城

(南京市百家湖小學，江蘇 南京 210000)

心理學家布魯納指出,學習的實質(zhì)在于主動形成認知結(jié)構(gòu).認知結(jié)構(gòu)化是指教師整體布局，學生認知經(jīng)歷比較、關聯(lián)，化零碎認識為整體認知結(jié)構(gòu).從布魯納提倡的建立“學科基本結(jié)構(gòu)”理念，到奧蘇泊爾提出的所學與認知結(jié)構(gòu)相聯(lián)系的有意義學習理論，都與筆者研究的“結(jié)構(gòu)”存在聯(lián)系.比較作為一種學習方法，常常用于對知識的整體性的認識和建構(gòu)，通過比較，學生在“不同”中看到“聯(lián)系”，在“解構(gòu)”中進行“建構(gòu)”.概念認知是指學習主體對概念形成自己的認知與理解.讓學生對數(shù)學概念產(chǎn)生結(jié)構(gòu)化的認知，是數(shù)學教師追求的目標，若想達成這一目標，教師有必要根據(jù)概念實質(zhì)，引導學生在學習過程中進行比較.下面，筆者結(jié)合蘇教版五年級下冊的“分數(shù)的意義”，展開結(jié)構(gòu)化研究：

一、比較的緣由

“分數(shù)的意義”是蘇教版五年級下冊內(nèi)容，在此之前，學生已經(jīng)在三年級學習了“認識一個物體的幾分之幾”與“認識一些物體的幾分之幾”，初步了解了分數(shù)的意義，并系統(tǒng)學習了除法、倍數(shù)等相關聯(lián)的知識.學生五年級學習這一課的時候，已經(jīng)積累了足夠的前概念和生活經(jīng)驗，但這些知識與經(jīng)驗都零散地存放于學生的腦海里，等待在進一步的學習中，通過比較產(chǎn)生關聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化.這里，需要教師注意以下這幾個地方：一是對單位“1”的概念認知，“1”是學生幼兒時就接觸的數(shù)，概念內(nèi)涵豐富，這里的單位“1”與過去學過的“1”有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？學生通過比較后，能夠感悟單位“1”是一種倍比關系中的比較標準，而不是數(shù)的組成中的計數(shù)單位.二是對分數(shù)的概念認知，分數(shù)既可以表示“量”，也可以表示“率”，但核心還是在“率”，理解分數(shù)的關鍵在于理解分數(shù)表示了兩個數(shù)量之間的倍比關系，與所學的除法、倍數(shù)存在著很大的關聯(lián).理解到這一點，學生才能感悟到分數(shù)的實質(zhì)，有利于他們接下來學習假分數(shù)、帶分數(shù)等一系列的概念，而這需要教師在課堂教學中，通過設置相應的比較環(huán)節(jié)，讓學生自主發(fā)現(xiàn)并理解.

二、具體策略

(一)在沖突處比較，讓“1”的概念認知趨于結(jié)構(gòu)化

這里的沖突是指認知的沖突，新知識和學生原有知識發(fā)生矛盾，進而打破學生的認知平衡，對學生的認知進行調(diào)整、整合，從而建立新的認知平衡.在教學實踐中，學生經(jīng)常會遇到知識的沖突，這時，教師要引導學生在沖突處比較，在比較中厘清概念的發(fā)展，讓認知趨于結(jié)構(gòu)化.例如以下環(huán)節(jié)：

師:看到“1”你能想到什么？

生：一個人，一棵樹.

師：你們想到的“1”，都是指數(shù)量.如果把○看作1，那○○○○是？

生：4.

師：如果把○○看作1，那這里的○○○○是？

生：是2.因為把○○看作1組，○○○○就有2組，所以是2.

師：如果把○○○○○○○○看作1，那○○○○是多少？

生1：因為每組下面的那個“1”都是不一樣的.

生2：第一組的“1”表示1個，第二組的“1”表示1份，2個，第三組的“1”表示一份，8個.

生3：1可以看作一個整體.

師：看來，“1”不再是我們以前單純認為的數(shù)量1，可以說它表示1份、一個整體，那從剛才比較的過程來看，這里的“1”相當于？

生：比較的標準.

學生在一年級時就認識了“1”，建立了無論1棵數(shù)，還是1個人，只要在數(shù)量是1，都可以用1表示.二年級的時候，學生學習了乘法，初步感知1份、1組的概念，但對“1”的認識更多地停留在指數(shù)量1上.本環(huán)節(jié)，教師應引導學生在沖突處進行比較，學生的目光聚焦到“1”上，在比較中關注到“1”的不同，對“1”的概念的認知也從數(shù)量1，上升到更概括的認知——1份或1組，由此可見，這里的“1”實際上相當于一種比較的標準.至此，學生對“1”的概念認知愈加趨于結(jié)構(gòu)化，也為后面理解分數(shù)意義、分數(shù)的基本性質(zhì)、倍率與分率的關系打下基礎.

(二)在回顧處比較，讓單位“1”的概念趨于結(jié)構(gòu)化

學生是帶著自己原有的理解與認識來到課堂的，因此，教師一定要充分了解學生原有的舊知與經(jīng)驗，充分利用學生的舊知，以舊知為生長點，讓學生進行新舊知的比較，實現(xiàn)認知的同化或順應，促使新舊認知結(jié)合，讓知識趨于結(jié)構(gòu)化.例如，單位“1”的概念，很多教師只是告知學生什么是單位“1”，這樣簡單的告知，剝奪了學生的認知體驗，不利于學生形成結(jié)構(gòu)化的認識，筆者在教學中是這樣處理的：

師：我們知道“1”代表一種比較的標準，在以往學過的知識里，你覺得有哪些知識也表示比較的標準？

生1：長度單位，比如1 cm，1 dm，1 m.

生2：面積單位，比如1 cm2.

師：我們把1 cm請出來，這是1 cm，那這條線段的長度是？

生：將它和1 cm比較，有幾個1 cm就是幾厘米.

師：如果這個圖形的面積是1 cm2，那右邊圖形的面積怎么求？

生：將其和1 cm2比，我發(fā)現(xiàn)幾個1 cm2合起來就是幾平方厘米.

師：長度單位、面積單位，它們都是計量單位.看來，剛剛我們說的這個比較的標準，其實是單位，那么我們之前說的1，可以叫作單位“1”.

師：回顧剛才講的關于○的題，每組是把什么看作了單位“1”？

生：先是把一個○看作了單位“1”，然后是把一些○，相當于一個整體看作了單位“1”.

師：是的，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)，可以把什么看作單位“1”？

生：一個物體、一個整體，還有計量單位，它們都可以看作單位“1”.

師：比較一下原來學過的“單位”，和今天學的“1”和單位“1”，你們有什么想說的？

生1：把單位，還有“1”合起來，就是我們學的單位“1”.

生2：單位“1”和單位類似是一種比較的標準.

師：數(shù)學上把平均分的對象，比如一個物體、一個計量單位或由許多物體組成的一個整體，都可以用自然數(shù)1來表示，通常，我們把它叫作單位“1”.

師：(指著圖中橢圈內(nèi)的一個實心圓)這個實心圓可以用自然數(shù)1表示嗎？(生：能！)那在這里它能表示單位“1”嗎？為什么？

生：不能，因為這里分的并不是它，分的是這6個圓，單位“1”是6個圓組成的整體.

生：要把平均分的對象看作單位“1”.

師：現(xiàn)在，你們感受到自然數(shù)1和單位“1”的區(qū)別了嗎？

單位“1”的本質(zhì)還是單位，是一種比較的標準.但學生在理解與歸納的過程中，更多的時候只關注了“1”，而忽略了其中的“單位”二字.什么是單位？單位是測量比較中的標準量，沒有比較，也就沒有單位，確立的單位，必然被視為“1”.教師讓學生回顧舊知：還有哪些學過的知識，也是一種比較的標準？學生的認知一下子被打開，能夠自主激活認知結(jié)構(gòu)中的舊知，原有的長度單位、面積單位、重量單位等舊知迅速被提取出來.這里，教師注重引導學生將新舊知進行對比，學生對單位“1”不再陌生，有了舊知“單位”和新知“1”的支撐，教師在揭示單位“1”的概念后，又出示一幅圖，讓學生感受一個實心圓可以用數(shù)1來表示，但是不可以用單位“1”表示，單位“1”是在比較中產(chǎn)生的，而這幅圖是將整體進行平均分，因而要把6個圓組成的一個整體看作單位“1”，讓學生徹底弄清數(shù)“1”和單位“1”的聯(lián)系與區(qū)別，從而形成結(jié)構(gòu)化的認識.

(三)在遷移處比較，讓分數(shù)的概念認知趨于結(jié)構(gòu)化

遷移是一種學習對另一種學習的影響.學習之所以能發(fā)生遷移是因為知識間存在某些共同的元素，這些共同的元素恰恰是知識的本質(zhì)與關鍵所在.教師不僅要創(chuàng)設條件促使學生的遷移得以發(fā)生，更重要的是要引導學生在遷移的過程中進行比較，從而淡化外在形式，抓住關鍵本質(zhì).在概念教學中，學生經(jīng)歷在遷移中比較后，更容易概括出概念的本質(zhì)，在大腦中逐步形成一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).例如以下分數(shù)概念的學習：

師：如果把6個梨看作單位“1”，這2個梨怎么表示？

師：如果把這3段線段看作單位“1”，這一段是？

生：把單位“1”平均分成n份，取m份.

師：數(shù)學上，我們可以說是平均分成若干份.

師：那你覺得，到底什么是分數(shù)？

生：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，叫分數(shù).

師：沒錯，把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)，就叫分數(shù)，表示其中一份的數(shù)，叫作分數(shù)單位.比較單位“1”和分數(shù)單位，它們的意思一樣嗎？

生：不一樣，雖然都有單位兩個字，把誰平均分，誰就是單位“1”.分數(shù)單位只是其中的一份.

師：是的，分數(shù)單位就如同過去學的計數(shù)單位，通過累積，得到對應的幾分之幾.而單位“1”是比較的標準，通過把單位“1”平均分，得到對應的幾分之幾.

(四)在變式中比較，讓概念的關系認知趨于結(jié)構(gòu)化

變式是認識概念本質(zhì)的一種教學手段，教師可以在教學過程中保留概念的本質(zhì)特征，改變非本質(zhì)特征，讓學生對概念的本質(zhì)特征形成更深刻的認識.在教學中，教師不僅要讓學生感受到變式，更應引導學生在變式中進行比較，感受變中的“不變”，從而抓住關鍵與本質(zhì).在“分數(shù)意義”這一課的教學中，很多教師沒有幫助學生厘清分數(shù)的概念實質(zhì)，沒有溝通分數(shù)與倍數(shù)的關系，導致學生無法將分數(shù)與之前的知識產(chǎn)生關聯(lián)，無法形成結(jié)構(gòu)化的認知.以下的做法值得借鑒：

(師出示下圖)

師：如果把第一排的1個圓看作單位“1”，下面兩排分別用什么數(shù)表示？

生：兩個單位“1”，用2表示，最后一排用4表示，因為是4個單位“1”，相當于第一排的4倍.

師：為什么都用了整數(shù)來表示？

生：下面兩排都相當于幾個單位“1”.

師：如果把第三排4個黑圓看作單位“1”，上面第一、第二排用什么數(shù)表示？

師：這次為什么都用分數(shù)表示？

生：因為4個黑圓是單位“1”，上面的兩排表示把單位“1”平均分.

師：如果把第二排兩個○看作單位“1”，第一、第三排分別用什么數(shù)表示？

師：為什么第一排用分數(shù)表示，第三排用整數(shù)表示呢？

生：2個○是單位“1”時，上面一排表示平均分，把單位“1”平均分成2份，取其中一份.而下面4個黑圓相當于2個單位“1”，用2表示.

(師出示下圖)

師：下面分析一下上述我們解決的問題中，有什么不同點和相同點？先獨立思考，再小組討論.

生：有的是把1個○看作單位“1”，有的是把2個○或4個○看作單位“1”.

生：同一排，比如第二排，表示的形式不一樣.

師：是的，將同一個量和不同的單位“1”進行比較，會有不同的表示形式.

師：那有什么相同點呢？

生：有的用整數(shù)表示幾倍，不是整倍數(shù)的就用分數(shù)表示.

師：是的，這里不管是用整數(shù)還是用分數(shù)，都表示了它與單位“1”的倍比關系.

教師出示三組富有變式的問題，即每次改變單位“1”的對象，但不變的是分數(shù)、整數(shù)與單位“1”之間的關系，從而突出本質(zhì).第一問把第一排看作單位“1”，求下面兩排，學生在比較中意識到幾個單位“1”用整數(shù)幾來表示；第二問把第三排4個黑圓看作單位“1”，求上面兩排，學生在比較中意識到把單位“1”平均分，表示這樣的幾份用分數(shù).最后，把第二排的2個圓看作單位“1”，求其余兩排.通過變式的比較，學生能夠清晰地建立分數(shù)、整數(shù)倍、單位“1”三者的關系，當教師拋出問題“比較一下上述我們解決的問題，有什么不同點和相同點？”時，學生能在比較中得出，不管用整數(shù)還是用分數(shù)，都表示它與單位“1”的倍比關系，從而認識分數(shù)的本質(zhì)，并與已經(jīng)學過的倍數(shù)關系產(chǎn)生了關聯(lián)，構(gòu)建了完整的倍比關系知識網(wǎng)絡，形成了完整的認知結(jié)構(gòu).另外，這里的以圓進行比較，不再是部分與整體的比較，而是兩個獨立量之間的比較，這樣的比較有利于學生在接下來的學習中再一次突破自己的認知結(jié)構(gòu)，更好地理解并接納假分數(shù)的概念.