問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)探究問題驅(qū)動下的線性代數(shù)教學(xué)探究

◎張文彬

(廣州華商學(xué)院，廣東 廣州 511300)

一、引言

線性代數(shù)作為高等院校經(jīng)管類、理工類各專業(yè)的三大數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課程之一，其概念、方法具有較強(qiáng)的抽象性與邏輯性，它著力培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力與計(jì)算能力.但根據(jù)筆者多年在應(yīng)用型本科院校的教學(xué)實(shí)踐得到的反饋，線性代數(shù)抽象性的特點(diǎn)往往令學(xué)生望而生畏.學(xué)生在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中普遍感到困惑，不知道教材中的概念公式從何而來又能用在何處，導(dǎo)致在學(xué)習(xí)過程中無法提起興趣.此外，學(xué)生在學(xué)完線性代數(shù)課程后往往只會套用公式，無法了解線性代數(shù)的實(shí)用性.事實(shí)上，線性代數(shù)的不少理論知識與方法，在自然科學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，學(xué)生之所以產(chǎn)生不會用的現(xiàn)象，主要是因?yàn)榫€性代數(shù)教學(xué)存在以下幾個問題.

1.教學(xué)模式少有更新.在傳統(tǒng)的教學(xué)觀念里，教師講解概念、推導(dǎo)公式定理、演示計(jì)算與證明，更側(cè)重于解題方法的訓(xùn)練，容易忽視線性代數(shù)問題產(chǎn)生的實(shí)際背景以及在其他領(lǐng)域的應(yīng)用，與社會生產(chǎn)生活脫節(jié).并且現(xiàn)行的大部分線性代數(shù)教材都過多地講述理論，缺少問題背景和豐富的應(yīng)用實(shí)例.

2.課堂教學(xué)手段和方法較為單一.目前線性代數(shù)課堂多數(shù)以理論知識的講解與灌輸為主，突出理論知識的重要性，輕視對學(xué)生主動思考能力、主動探索能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生的主觀能動性難以在學(xué)習(xí)過程中提升，反而會漸漸降低，甚至無法喚醒.

3.教學(xué)課時(shí)比較少.大部分高等院校的線性代數(shù)課程的設(shè)置是2學(xué)分，共計(jì)32學(xué)時(shí)或36學(xué)時(shí)，教學(xué)內(nèi)容包括：行列式、矩陣、線性方程組的解.教學(xué)課時(shí)不充足，教師在講解線性代數(shù)時(shí)，往往會有緊迫感.很多教師為了完成教學(xué)任務(wù)，通常是單刀直入地講主要內(nèi)容，不會深入挖掘內(nèi)容的背景與應(yīng)用.這就不可避免地影響了學(xué)生對線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣.

4.學(xué)生的思維惰性嚴(yán)重，同時(shí)期望跟教師學(xué)到有價(jià)值的知識.但在長期的應(yīng)試教育影響下，學(xué)生獨(dú)立思考解決問題的能力較差，對教師的依賴程度極高，缺乏學(xué)習(xí)的自覺性.但現(xiàn)在的學(xué)生是在飛速發(fā)展的高科技時(shí)代成長起來的，會接觸大量信息技術(shù)知識，使用了不少高科技產(chǎn)品，比如，刷臉支付、機(jī)器人、無人機(jī)等.他們的思想活躍、興趣廣泛，也渴望從教師那里獲取更有價(jià)值的知識.

為改善目前的教學(xué)問題，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，我們試著采用問題驅(qū)動教學(xué)法進(jìn)行教學(xué).問題驅(qū)動是以實(shí)際問題為出發(fā)點(diǎn)，融合計(jì)劃講解的教學(xué)知識點(diǎn)，利用以前所學(xué)的內(nèi)容解決問題.它以學(xué)生為主體，讓學(xué)生圍繞著問題探索解決方案，而教師在此過程中扮演問題提出、教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)的角色.

二、問題驅(qū)動的教學(xué)設(shè)計(jì)注意事項(xiàng)

教師以問題驅(qū)動的方式進(jìn)行教學(xué)，在問題設(shè)計(jì)時(shí)需要注意以下幾個方面：

1.所引用的實(shí)例，要盡可能從學(xué)生熟悉的實(shí)例出發(fā)，選用日常生活中經(jīng)常接觸的問題.如果教師引用的實(shí)例是純數(shù)學(xué)的或者是大部分學(xué)生沒有接觸過的，那么不僅不利于學(xué)生理解知識點(diǎn)，還會抑制學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.因此，在設(shè)計(jì)問題時(shí)，教師要考慮大部分學(xué)生的認(rèn)知水平.在課堂教學(xué)中引入的實(shí)際問題，還需要考慮不同班級學(xué)生的水平差異，避免造成學(xué)生學(xué)習(xí)困難.

2.根據(jù)知識點(diǎn)設(shè)計(jì)的問題，要注意問題層次性.教師不能期望一個問題能將所有的知識點(diǎn)全部囊括進(jìn)去.在設(shè)計(jì)時(shí)，教師可逐步增加問題的難度，把知識的各個層面一一包含.特別是對于難度比較大、抽象程度高的知識點(diǎn)，在設(shè)計(jì)問題時(shí)，教師更應(yīng)該將其拆解成多個簡單易懂的問題，以逐步遞進(jìn)的方式解決.同時(shí)，學(xué)生通過問題的逐個解決，也能形成自主學(xué)習(xí)、自我探索、總結(jié)歸納的能力.在這個過程中，教師需要盡量引導(dǎo)學(xué)生自主思考和作答.

3.設(shè)計(jì)的問題，盡量與專業(yè)背景相關(guān).為了盡可能地調(diào)動學(xué)生的主觀能動性和參與程度，也為了提高線性代數(shù)課程的應(yīng)用價(jià)值，教師所設(shè)計(jì)的問題還要注意結(jié)合學(xué)生所學(xué)的專業(yè)，以此促進(jìn)各個學(xué)科的交叉融合.

4.只針對線性代數(shù)核心知識點(diǎn)進(jìn)行精細(xì)的問題設(shè)計(jì).由于線性代數(shù)課程知識點(diǎn)、定理、公式繁多，再加上教學(xué)課時(shí)少,如果教師對所有問題都進(jìn)行問題驅(qū)動教學(xué)，勢必會影響教學(xué)進(jìn)度，但教師可以將部分問題的設(shè)計(jì)放到線下，在學(xué)生已經(jīng)對問題驅(qū)動教學(xué)模式熟悉后，由學(xué)生自主學(xué)習(xí)，然后在課堂上輔助解答學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)所遇到的問題.

三、問題驅(qū)動下的教學(xué)示例

本部分內(nèi)容，我們給出矩陣乘法和逆矩陣兩個教學(xué)示例，來闡述問題驅(qū)動教學(xué)的使用方法.

(一)矩陣乘法

矩陣是線性代數(shù)的重要基礎(chǔ)內(nèi)容之一，而矩陣乘法在矩陣運(yùn)算中更是有著至關(guān)重要的地位，它對初學(xué)者而言，非常抽象，學(xué)習(xí)難度大.為提高矩陣乘法的實(shí)用性，降低其抽象性，也為了讓學(xué)生參與課堂，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，筆者以問題驅(qū)動的方式，結(jié)合實(shí)際背景和學(xué)生的水平與需求，由淺入深地對矩陣乘法進(jìn)行展開教學(xué)，充分調(diào)動學(xué)生的思維，以此幫助學(xué)生掌握矩陣乘法運(yùn)算.

首先，教師可用問題吸引學(xué)生，使得學(xué)生感受到所學(xué)的知識是來源于實(shí)際生活.其次，教師可將知識融入問題中，用問題來啟發(fā)學(xué)生思考，并用問題將矩陣乘法所需要滿足的運(yùn)算規(guī)則呈現(xiàn)出來.最后，教師可用具體的問題驅(qū)動矩陣乘法的教學(xué).

問題1：假設(shè)甲學(xué)生購買了一些文具，其中簽字筆6支，每支1.5元；文件袋4個，每個3元；練習(xí)本10本，每本2.5元；涂改液1瓶，每瓶3元.總共花了多少錢？

這個問題當(dāng)然可以用小學(xué)的方法來計(jì)算，但是我們知道矩陣可以用來存儲數(shù)據(jù)，所以我們用矩陣來表示問題中的數(shù)據(jù)，設(shè)文具價(jià)格矩陣為P，購買文具數(shù)量矩陣為N，則

可算出總共花的錢：1.5×6+3×4+2.5×10+3×1=49(元).

但我們可以用兩個矩陣相乘的方法來表示，即PN.

從中，我們可以發(fā)現(xiàn)行矩陣和列矩陣的乘法規(guī)則：

①行矩陣和列矩陣元素個數(shù)一樣多；

②行矩陣和列矩陣相乘是對應(yīng)坐標(biāo)相乘再相加，實(shí)際上與我們向量的數(shù)量積運(yùn)算一樣.

現(xiàn)在把問題做些許推廣，如下.

問題2：假設(shè)乙學(xué)生也購買了相同品種的文具，其中簽字筆8支，文件袋3個，練習(xí)本8本，涂改液2瓶，每種文具的單價(jià)與問題1相同，求兩個學(xué)生分別花了多少錢.

仿照問題1的做法：

=(1.5×6+3×4+2.5×10+3×1 1.5×8+3×3+2.5×8+3×2)=(49 47).

我們發(fā)現(xiàn)在乘法左邊行矩陣元素的個數(shù)與乘法右邊矩陣每一列的元素個數(shù)相等的條件下，所得到的矩陣是一個1×2的矩陣.

接著，繼續(xù)把問題做些許改動，如下.

問題3：在問題1的基礎(chǔ)上，假設(shè)丙學(xué)生在文具店和網(wǎng)店都購買了相同品種、相同數(shù)量的文具，文具店價(jià)格與問題1一致，但是網(wǎng)店價(jià)格有所不同.網(wǎng)店價(jià)格：簽字筆每支1.2元，文件袋每個2.5元，練習(xí)本每本4元，涂改液每瓶3元；購買數(shù)量方面，丙購買了簽字筆5支，文件袋3個，練習(xí)本6本，涂改液2瓶.求丙在文具店和網(wǎng)店各花了多少錢.

仿照問題1、2，將價(jià)格矩陣和購買數(shù)量矩陣寫出，如下：

則

這時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)在乘法左邊矩陣每一行元素的個數(shù)與乘法右邊矩陣的元素個數(shù)相等的條件下，所得的矩陣是一個2×1的矩陣.

從問題2和問題3，我們可以總結(jié)矩陣乘法的又一個規(guī)則：兩個矩陣相乘所得的矩陣，其行數(shù)與乘法左邊矩陣的行數(shù)相同，列數(shù)與乘法右邊矩陣的列數(shù)相同.

現(xiàn)在把問題一般化.

問題4：假設(shè)某牛奶工廠生產(chǎn)四種牛奶，向三家超市供應(yīng).那么供應(yīng)的數(shù)量可以用如下矩陣來表示：

其中aij為牛奶工廠向第i家超市供應(yīng)的第j種牛奶的數(shù)量(i=1,2,3；j=1,2,3,4).

這四種牛奶的單價(jià)及單件重量也可列成矩陣

其中bi1為第i種牛奶的單價(jià)，bi2為第i種牛奶的單件重量.求這家牛奶工廠向三家超市供應(yīng)的牛奶總值和總重量.

分析：供應(yīng)的總值=供應(yīng)的數(shù)量×單價(jià)，供應(yīng)的總重量=供應(yīng)的數(shù)量×單件重量；用ci1表示第i家超市供應(yīng)牛奶的總值，用ci2表示第i家超市供應(yīng)牛奶的總重量，其中i=1,2,3.則

類似地，可以寫出c21,c22,c31,c32.

所以，得到

在完成以上的四個問題后，教師要確保學(xué)生領(lǐng)會兩個矩陣相乘的必要條件，兩個矩陣相乘的步驟，兩個矩陣相乘的維度等基本知識和運(yùn)算規(guī)則.這樣，得到矩陣乘法的定義如下.

定義1設(shè)A=(aij)是一個m×s矩陣，B=(bij)是一個s×n矩陣，則矩陣A與B的乘積C=(cij)是一個m×n矩陣，并且

教師通過導(dǎo)入與學(xué)生日常學(xué)習(xí)相關(guān)的四個問題，調(diào)動學(xué)生們的注意力，吸引學(xué)生參與問題的討論和解決，一步一步引出矩陣乘法的運(yùn)算法則.這個過程也能充分地讓學(xué)生體會到解決問題的愉悅，從而進(jìn)一步提高課堂學(xué)習(xí)效率.

在給出矩陣乘法的定義之后，可以繼續(xù)提出以下問題：

①矩陣的乘法和數(shù)的乘法有哪些不同點(diǎn)？

②你能否設(shè)計(jì)出兩個不為零的矩陣，它們相乘之后是零矩陣？(需要引導(dǎo)提示學(xué)生從簡單的矩陣入手)

教師通過這兩個問題，繼續(xù)調(diào)動學(xué)生參與課堂的興趣，幫助學(xué)生理解矩陣乘法的特點(diǎn).其中問題②難度較大，教師可以將其留作課后思考題.

(二)逆矩陣

逆矩陣的概念是線性代數(shù)中矩陣的重要內(nèi)容，對初學(xué)者而言不容易掌握.在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時(shí)候，教師可引入矩陣密碼通信問題.

問題1：在古代戰(zhàn)爭中，乘馬、驛站是主要的遠(yuǎn)距離傳遞戰(zhàn)爭信息的方式.但到了近現(xiàn)代，戰(zhàn)爭信息的傳遞方式也發(fā)生了很大變化.很多的戰(zhàn)爭電影和諜戰(zhàn)影視劇里，都會經(jīng)常出現(xiàn)與信息的加密和解密相關(guān)的精彩片段.那么這些信息的加密和解密是如何進(jìn)行的呢？

問題2：如果要你以數(shù)字的形式發(fā)送“back home”這條信息，你會怎么發(fā)送？

我們可以將26個英文字母以及一個空格與數(shù)字進(jìn)行一一對應(yīng)(如表1)，這樣就可以將信息數(shù)字化.

表1 空格和字母與數(shù)字間的對應(yīng)

這樣，被發(fā)送的信息“back home”就對應(yīng)著一串?dāng)?shù)字“213110815135”.但這樣的一串?dāng)?shù)字，接收方能正確識別嗎？我們有什么辦法將一串?dāng)?shù)字“213110815135”按照我們想要的方式進(jìn)行分隔呢？

問題3：如何將問題2中的數(shù)字信息以矩陣的形式發(fā)送？

問題4：如果我們希望自己發(fā)送的信息不那么容易被不懷好意的人破解，該怎么辦？

對信息進(jìn)行加密，是我們自然而然的想法.我們選取一個密碼矩陣X，并且設(shè)

用X左乘A，則得到

即發(fā)送方將加密后的矩陣B發(fā)送出去.

問題5：接收方在接收到矩陣B之后，如何解密？也就是如何將實(shí)際信息對應(yīng)的矩陣A求出來？

作為合法的接收方自然知道密碼矩陣X.問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋阂阎獌蓚€矩陣的乘積，以及已知這兩個矩陣中的其中一個，如何求另一個矩陣？這個運(yùn)算就是矩陣乘法的逆運(yùn)算.

由此，教師通過五個現(xiàn)實(shí)問題，提高學(xué)生的注意力，用層層遞進(jìn)的方式，調(diào)動全體學(xué)生積極思考，以解決問題為目標(biāo)，引出逆矩陣的概念和運(yùn)算.

在熟悉逆矩陣的概念和運(yùn)算后，我們可以接著問題5，繼續(xù)進(jìn)行提問：

問題6：上面的加密過程中用密碼矩陣X左乘A，還有沒有其他的加密方式？

設(shè)置這個問題的目的主要是鼓勵學(xué)生主動探索其他加密方式.但這個過程需要教師的提示：X可以從左邊乘A，也可以從右邊乘A，還可以在A的左、右兩邊同時(shí)乘可逆的密碼矩陣X和X′.這樣，問題就轉(zhuǎn)變?yōu)樵赬和X′可逆條件下，求解矩陣方程：

XA=B，AX=B，XAX′=B.

如此，矩陣密碼通信問題就滲透了逆矩陣概念和運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程.讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中感受到學(xué)習(xí)的新知識是為了解決問題而學(xué)習(xí)，同時(shí)也能解決問題，可以很好地提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增加課堂的效率.

可以接著問題6，繼續(xù)進(jìn)行提問：

①發(fā)送的信息是不是必須寫成方陣的形式？

②為了使信息發(fā)送出去后，增加被不法用戶破譯的難度，密碼矩陣該如何選擇？

將上述兩個問題作為課后思考題，學(xué)生可以帶著問題進(jìn)入課后復(fù)習(xí)，鞏固課堂內(nèi)容階段，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

四、結(jié)束語

文章以矩陣乘法和逆矩陣為例闡述基于問題驅(qū)動的線性代數(shù)教學(xué)，用實(shí)際例子吸引學(xué)生，以問題驅(qū)動學(xué)生積極思考，在思考的過程中運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題，感受到理論與實(shí)踐相結(jié)合，從而提升教學(xué)質(zhì)量.事實(shí)上，線性代數(shù)的很多章節(jié)內(nèi)容都可以引入實(shí)際問題，以解決問題為驅(qū)動來實(shí)現(xiàn)知識和思維方式的傳授.比如，教師在講解二階行列式時(shí)，可以結(jié)合平行四邊形面積公式給出二階行列式的幾何意義；在講解向量組的線性表示時(shí)，可以引入混凝土的調(diào)配問題；在講解向量組的線性相關(guān)性和最大線性無關(guān)組時(shí)，可以引入中成藥藥方配制問題；在講解線性方程組解的判定時(shí)，可以結(jié)合營養(yǎng)配方問題，導(dǎo)出線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu).

教學(xué)實(shí)踐表明，以問題驅(qū)動的方法教學(xué)，不但可以讓學(xué)生了解線性代數(shù)的應(yīng)用，而且可以提高學(xué)生的課堂參與度，達(dá)到我們預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).同時(shí)，問題驅(qū)動的教學(xué)模式，需要任課教師對課程的知識結(jié)構(gòu)體系掌握得非常清晰，對課程的重難點(diǎn)也要準(zhǔn)確把握.此外，任課教師還要了解時(shí)事熱點(diǎn)與社會動態(tài)，方便搜集編寫出符合時(shí)代潮流的問題.而這就要求任課教師不斷地學(xué)習(xí)與課程相關(guān)的拓展和延伸知識.