例析三道四點(diǎn)共面問(wèn)題

廣東 龍 宇 黃玉平

而我們?cè)诮忸}或命題的過(guò)程中，常常忽略掉四點(diǎn)共面這一要求，從而導(dǎo)致求解失誤.接下來(lái)本文以三道易錯(cuò)的四點(diǎn)共面問(wèn)題為例，分析其錯(cuò)解的根源.

圖1

【錯(cuò)解】如圖2，將四棱錐P-ABCD的側(cè)面展開(kāi)成平面，連接AA′，則AA′的值即為截面四邊形AEFG周長(zhǎng)的最小值.計(jì)算過(guò)程如下：

因?yàn)镻-ABCD為正四棱錐，故可得∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA′，設(shè)∠APB=θ.

【錯(cuò)解辨析】本題的解題關(guān)鍵在于將四邊形AEFG的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為平面圖形中兩點(diǎn)間的距離，解題錯(cuò)誤在于將四棱錐P-ABCD展開(kāi)時(shí)，四邊形AEFG的各邊能否形成一條直線.等價(jià)于在圖2中，若將展開(kāi)圖還原為正四棱錐P-ABCD時(shí)，由線段AA′形成的四邊形AEFG是否在同一個(gè)平面內(nèi)呢？答案是否定的，由此可知上述解答過(guò)程是錯(cuò)誤的.

其理由如下：假設(shè)在圖2的條件下，圖1中的四邊形AEFG在同一個(gè)平面內(nèi).在圖2中易知PF⊥EF，PF⊥GF，由此可知在圖1中PC⊥平面AEFG.

由題可知△PAC為等邊三角形，由此可得PF=1(即F為PC的中點(diǎn))，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接PO，設(shè)PO與AF的交點(diǎn)為M，易知M為△PAC的重心，從而可得PM∶MO=2∶1.

【試題2】如圖3，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E=4，C1F=3，求幾何體EFC1-DBC的體積.

【分析】因?yàn)檠娱L(zhǎng)BF，DE與CC1的交點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)，即可得幾何體不是臺(tái)體.為此需通過(guò)割補(bǔ)的思想來(lái)進(jìn)行求解.

【解法一】如圖4-1，連接DF，DC1，則幾何體EFC1-DBC被分割成三棱錐D-EFC1及四棱錐D-CBFC1，則可得VEFC1-DBC=VD-EFC1+VD-CBFC1=66.

【解法二】如圖4-2，連接BE，BC1，則幾何體EFC1-DBC被分割成三棱錐B-EFC1及四棱錐B-CDEC1，則可得VEFC1-DBC=VB-EFC1+VB-CDEC1=72.

【錯(cuò)解辨析】為什么兩種解法的結(jié)論不同呢？其根源在于點(diǎn)E，F(xiàn)，B，D不在同一個(gè)平面內(nèi)，四邊形EFBD為空間四邊形.通過(guò)不同的割補(bǔ)方法使得空間四邊形EFBD在幾何體EFC1-DBC中出現(xiàn)的部分不同，導(dǎo)致計(jì)算的結(jié)果有差異.

在2019年人教A版必修二教材中對(duì)于多面體的定義為：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.在本題中，幾何體EFC1-DBC由四個(gè)平面多邊形和一個(gè)空間四邊形構(gòu)成，不符合多面體的概念.按照高中的定義，該幾何體所指的圖形意義不明確，題干出現(xiàn)了歧義.

為了保證幾何體EFC1-DBC為體積可計(jì)算的幾何體，需使得點(diǎn)E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面.在正方體中，平面A1B1C1D1//平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面等價(jià)于EF//BD，即需滿足C1E=C1F，方可計(jì)算幾何體EFC1-DBC的體積，此時(shí)該幾何體為棱臺(tái)，利用相關(guān)公式計(jì)算即可.

【問(wèn)題修正】如圖3，在棱長(zhǎng)為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在C1D1與C1B1上，且C1E=C1F=4，求幾何體EFC1-DBC的體積.

【答案】此時(shí)即可利用棱臺(tái)的公式求解，答案為76.

【試題3】圖5為四棱錐A-DEFG的側(cè)面展開(kāi)圖(點(diǎn)G1，G2重合為點(diǎn)G)，其中AD=AF，G1D=G2F，E是線段DF的中點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出四棱錐A-DEFG中一對(duì)一定相互垂直的異面直線：________.

【分析】在本題中，因?yàn)锳D=AF，E是線段DF的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥DF，所以將圖5還原成四棱錐A-DEFG時(shí)，可得AE⊥平面DGFE，結(jié)合G1D=G2F可得四邊形DGFE為“箏形”.其圖形如圖6，符合題干條件的答案就包括：AE與GF，AE與GD.本題考查線面垂直的性質(zhì)定理，以及翻折圖形在變化過(guò)程中的不變性，思維的難度并不大.但在求解的過(guò)程中，學(xué)生提出如下質(zhì)疑，在圖5的條件下，其能否圍成一個(gè)四棱錐呢？等價(jià)于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)是否在一個(gè)平面內(nèi)呢？

設(shè)∠AFG=θ，∠EFG=α，在△AFG中利用余弦定理可得，z2=AF2+FG2-2AF·FGcosθ；

在△EFG中利用余弦定理可得EG2=EF2+FG2-2EF·FGcosα；