基于數(shù)學核心素養(yǎng)對高考真題的深度探究
——以2022年新高考Ⅱ卷第22題為例

甘肅 劉延明

高考命題往往設置綜合性的問題和較為復雜的情境，重視基于數(shù)學核心素養(yǎng)的關鍵能力的考查，而以函數(shù)、導數(shù)與數(shù)列不等式結合為載體的綜合問題則是高考命題考查的重點和熱點，往往處于解答題壓軸題的位置.2022年新高考Ⅱ卷的第22題就是基于數(shù)學核心素養(yǎng)與關鍵能力考查的一道綜合試題，該試題將函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列與不等式等知識有機結合，考查學生靈活應用函數(shù)、不等式思想解決復雜問題的能力，對抽象概括能力和推理論證能力有較高的要求，無論是在數(shù)學知識層面、數(shù)學能力層面，還是在創(chuàng)新思維層面都很好地體現(xiàn)了基于數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學關鍵能力的考查.為此，本文以該試題為母題，從解法和變式等不同視角進行深度探究.

一、母題呈現(xiàn)

【例】(2022·新高考Ⅱ卷·22)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

二、母題分析

該母題是以高考中高頻次出現(xiàn)的基本函數(shù)“ex”為背景的導數(shù)應用試題，其中第(3)問是數(shù)列不等式的證明問題，解答這一小問的基本思路是：逆向“執(zhí)果”分析，尋求與目標不等式等價的不等式→構造函數(shù)，由導數(shù)知識證明或推理得到函數(shù)的基礎不等式結論→將結論通過賦值轉換為數(shù)列的不等關系→運用數(shù)列中諸如裂項、累加等方法或結合“放縮法”的應用→數(shù)列不等式得以證明.

三、母題解答

(1)當a=1時，f(x)=xex-ex，所以f′(x)=(x+1)ex-ex=xex.

所以當x≥0時，f′(x)≥0；當x<0時，f′(x)<0，

故f(x)在[0，+∞)上單調遞增，在(-∞，0)上單調遞減.

(2)解法1:令g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1(x>0)，

則由f(x)<-1，得g(x)0恒成立.

又g′(x)=eax+axeax-ex，所以g′(0)=0.

令h(x)=g′(x)=eax+axeax-ex，

則h′(x)=aeax+a(eax+axeax)-ex，h′(0)=2a-1.

點評：解法1直接轉化，構造函數(shù)，借助導數(shù)定義在分析和推理論證的基礎上求解，落實了數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

解法2：由題意可知f′(x)=(1+ax)eax-ex，f′(0)=0.

令g(x)=f′(x)=(1+ax)eax-ex，則g′(x)=(2a+a2x)eax-ex，g′(0)=2a-1.

所以g(x) 在(0，x0)上單調遞增，又g(0)=0，所以g(x)>0在(0，x0)上恒成立，

則h(0)=-1，

點評：解法2首先對函數(shù)求導，然后構造函數(shù)，借助“二階”導數(shù)在分析和推理論證的基礎上求解，落實了數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

(3)證法1(分析法)：令Sn=ln(n+1)，

故不等式得證.

點評：證法1首先將所證數(shù)列不等式逆向分析、轉化，發(fā)現(xiàn)其結構形式、特點，然后換元、構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性證明不等式結論，從而利用該不等式結論證得不等式.

所以τ(x)在(0，+∞)上單調遞增，所以當x>0時，τ(x)>τ(0)=0.

點評：證法3直接利用對數(shù)均值不等式來證明，過程簡潔，十分巧妙.這里需要說明的是，在考試中對數(shù)均值不等式不可以直接應用，需要先進行證明.

四、考查模式

導數(shù)及其應用是高考考查的核心內容，其解答題常處于高考壓軸題的位置.在導數(shù)及其應用解答題中融入數(shù)列不等式證明問題，不僅體現(xiàn)了高考命題知識間的交匯、綜合，也使得“導數(shù)題”起到了高考“把關定向”的作用.在高考中，數(shù)列不等式的證明往往設置在導數(shù)及其應用解答題的最后一問考查，先由導數(shù)知識證明或推理得到函數(shù)的基礎不等式結論，然后將結論通過賦值轉換為數(shù)列的不等關系，再運用數(shù)列中如裂項、求和、累加等知識或方法并結合“放縮法”的應用，使得數(shù)列不等式得以證明.

五、母題變式

若只改變母題的題設中的函數(shù)形式，數(shù)列不等式不變，可有：

(1)解關于x的不等式f(x)>0；

所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減.

又f(1)=0，所以f(x)>0的解集為(0，1).

當n≥2且n∈N*時，由(1)可知，

然后賦值、累加證得不等式，下同母題第(3)問證法2.

若母題的題設中的函數(shù)形式不變，改變第(3)問所證明的數(shù)列不等式，可有：

【變式2】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：(1)，(2)見母題的解析.

若母題的題設中的函數(shù)形式，深度改變第(3)問所證明的數(shù)列不等式，可有：

【變式3】已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當x>0時，f(x)<-1，求a的取值范圍；

解析：第(1)，(2)問解析見母題的解析.

(3)因為Sn=2n-1，

所以當n=1時，a1=S1=21-1=1，

當n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，當n=1時，等式成立.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1.

所以bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2(n-1+1)=2n，

證法1：從不等式左邊式子是分式連乘積的形式等結構特點，聯(lián)想到運用累乘法，首先研究、變形“通項”，然后運用累乘法來證明.

上述各式左、右兩邊分別相乘，得

點評：證法1由不等式左邊式子的特點，聯(lián)想累乘法，通過“放縮”變形左邊連乘積的分式的“通項”，運用累乘法證得不等式.

所以cn+1>cn，所以數(shù)列{cn}是單調遞增數(shù)列.

所以cn>c1>1，

點評：證法2首先通過構造數(shù)列，推證數(shù)列的單調性，利用數(shù)列的單調性證明不等式成立.在推證不等式的過程中運用了“分母擴大，分式縮小”的放縮技巧，值得重視.

證法3：由于所證不等式是與正整數(shù)n有關的數(shù)列不等式，所以考慮運用數(shù)學歸納法來證明.

則當n=k+1(k∈N*)時，

所以當n=k+1時，不等式也成立.

點評：證法3運用數(shù)學歸納法證明不等式，思路清晰、自然，但有兩點值得注意：一是由n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立，務必要用歸納假設；二是在n=k+1在證明不等式時，用到配方、分離、放縮等代數(shù)式的變形技巧.

六、方法規(guī)律

通過上面母題和變式題的解析可以看出，解答函數(shù)、導數(shù)與數(shù)列不等式結合的綜合問題的關鍵是數(shù)列不等式的證明，在證明數(shù)列不等式的過程中往往需要用到 “放縮法”.“放縮法”靈活多變、技巧性強，如何把握放縮的“度”，使得放縮“恰到好處”，這正是“放縮法”的精髓和關鍵所在.在解題中要多觀察、分析、思考和體會，深入剖析問題特征，抓住規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s，從而順利完成數(shù)列不等式的證明.在數(shù)列不等式證明時，用到的“放縮法”主要有：

1.裂項放縮證明數(shù)列不等式

2.分式放縮證明數(shù)列不等式

3.添舍項放縮證明不等式

根據(jù)數(shù)列不等式的特點，將數(shù)列不等式的一邊添項或舍項進行放縮以達到解決問題的目的.如變式2.許多時候是多種方法共用，比如測試題或經(jīng)過多次放縮后才能達到證明不等式的目的.

七、教學啟示