知識結(jié)構(gòu)：“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”視野下的知識重組

姜紅俠 （江蘇省連云港市東海縣石梁河鎮(zhèn)第一中心小學(xué)）

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建基于學(xué)生對已有知識的重組。從某種意義上說，學(xué)生對已有知識重組得越好，就越利于新知的建構(gòu)。知識重組的目的是讓知識結(jié)構(gòu)化。知識結(jié)構(gòu)化，不僅要關(guān)注知識的前后縱向關(guān)聯(lián)，更要關(guān)注知識的左右橫向聯(lián)系。關(guān)注知識的縱向關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一種廣度；關(guān)注知識的橫向關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一種深度。知識重組，讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有立體性、開放性和生成性。一般來說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)通常經(jīng)歷兩個(gè)階段：其一是“立結(jié)構(gòu)”的階段；其二是“用結(jié)構(gòu)”的階段。通過這樣的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，不僅優(yōu)化學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，更促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成。實(shí)踐證明，基于“知識重組”的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，能有效提升學(xué)生學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、知識結(jié)構(gòu)：“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”視野下知識重組的原點(diǎn)和歸宿

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，往往是一種單向度的線性化教學(xué)。其教學(xué)結(jié)構(gòu)形態(tài)是“知識點(diǎn)”，其教學(xué)組織形態(tài)是“課時(shí)”。這樣的一種“線性化教學(xué)”，往往割裂了數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，讓整體性、統(tǒng)一性的數(shù)學(xué)知識變得支離破碎。單子化、碎片化、割裂化是學(xué)生數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的基本樣態(tài)。完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，一個(gè)重要的前提就是“知識結(jié)構(gòu)化”?！爸R結(jié)構(gòu)化”要求教師在教學(xué)中必須引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化重組。只有通過對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行結(jié)構(gòu)化重組，才能讓數(shù)學(xué)知識煥發(fā)出應(yīng)有的生命活力。

（一）從“點(diǎn)狀”到“線狀”

數(shù)學(xué)知識教學(xué)不能停留在知識“點(diǎn)”的層面上，而必須瞻前顧后，把握“知識點(diǎn)”的來龍去脈。只有把握“知識點(diǎn)”的來龍去脈、前世今生，才能將“知識點(diǎn)”串接成“知識鏈”。從“點(diǎn)狀”到“線狀”，是基于知識重組的結(jié)構(gòu)化教學(xué)的基礎(chǔ)。如“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”這一部分內(nèi)容，其知識學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是讓學(xué)生建立“整體”的概念。為此，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”中的相關(guān)內(nèi)容，深化學(xué)生對“整數(shù)1”的理解。因?yàn)?，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（一）”中的“關(guān)于分?jǐn)?shù)的定義”是“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識（二）”相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。不僅如此，還要將“一個(gè)物體”“一個(gè)計(jì)量單位”“許多物體組成的整體”串接起來，為后續(xù)五年級教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”中的“單位‘1’”的概念奠定基礎(chǔ)，為后續(xù)抽象、概括“分?jǐn)?shù)的意義”奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，教師還要有意識地引導(dǎo)學(xué)生將“分?jǐn)?shù)的意義”納入整個(gè)的“數(shù)的意義”系統(tǒng)之中，對比“整數(shù)的計(jì)數(shù)單位”“分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位”“小數(shù)的計(jì)數(shù)單位”等，從而深化學(xué)生對分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)內(nèi)涵的理解。從“點(diǎn)狀”到“線狀”，要自覺地叩問知識的本源。

（二）從“線狀”到“網(wǎng)狀”

知識重組，不僅需要進(jìn)行縱向的追溯、伏脈，更要進(jìn)行橫向關(guān)聯(lián)?！皺M向關(guān)聯(lián)”要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于“左顧右盼”，從而將相關(guān)的“知識鏈”“知識串”等集結(jié)成“知識網(wǎng)”。將數(shù)學(xué)的“線狀”知識勾連成“網(wǎng)狀”知識，不僅有助于學(xué)生建構(gòu)完整的知識體系，更有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解、應(yīng)用能“舉一反三”“觸類旁通”。如教學(xué)蘇教版五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”這部分內(nèi)容時(shí)，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生追溯知識的操作本源，從“異分母分?jǐn)?shù)加減法”追溯“通分”，從“通分”追溯“最小公倍數(shù)”等，更要引導(dǎo)學(xué)生將“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”的法則進(jìn)行對比，從而幫助學(xué)生建構(gòu)它們之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生提煉“大概念”——“計(jì)數(shù)單位相同”，讓學(xué)生認(rèn)識到“無論是整數(shù)加減法、小數(shù)加減法還是分?jǐn)?shù)加減法，都是要求只有計(jì)數(shù)單位相同才能直接相加或相減”。這種對整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法法則的概括、提煉、抽象，對于學(xué)生今后學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法乃至于無理數(shù)的加減法都具有重要的意義和價(jià)值。

（三）從“網(wǎng)狀”到“體狀”

對數(shù)學(xué)知識的重組，不僅要勾線成面，更要積面成體。相對于“知識網(wǎng)”，“知識體”更具有一種遷移、應(yīng)用的價(jià)值。當(dāng)學(xué)生能夠厘清數(shù)學(xué)“知識點(diǎn)”“知識線”“知識網(wǎng)”時(shí)，教師要著力引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“知識群”“知識塊”“知識體”。在數(shù)學(xué)學(xué)科知識中，只有“知識體”才是一個(gè)有機(jī)的知識整體。知識體是一個(gè)知識系統(tǒng)、知識結(jié)構(gòu)，它具有整體性、調(diào)整性、轉(zhuǎn)換性，是相對穩(wěn)定的一種知識結(jié)構(gòu)形態(tài)?？梢赃@樣說，“知識體”的構(gòu)成形態(tài)表征著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力的高低，表征著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力的品質(zhì)。如很多教師在教學(xué)“多邊形的面積”時(shí)，往往關(guān)注到“各個(gè)多邊形面積推導(dǎo)過程的關(guān)聯(lián)”；在推導(dǎo)圓柱體積時(shí)，往往關(guān)注到“圓柱的體積”與“長方體、正方體體積之間的關(guān)聯(lián)”。換言之，教師在教學(xué)中往往僅關(guān)注“平面圖形面積關(guān)聯(lián)”以及“立體圖形體積關(guān)聯(lián)”，卻很少關(guān)注“平面圖形與立體圖形之間的關(guān)聯(lián)”。事實(shí)上，教師在教學(xué)“立體圖形的體積”時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧“平面圖形的面積推導(dǎo)過程”，從而激發(fā)學(xué)生的類比性、合理性地猜想：既然“圓的面積”可以轉(zhuǎn)化成“長方形的面積”，那么，“圓柱的體積”是否可以轉(zhuǎn)化成“長方體的體積”呢？這樣的引導(dǎo)，會助推學(xué)生將“知識網(wǎng)”搭建成“知識體”。

二、結(jié)構(gòu)發(fā)生：“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”視野下知識重組的依據(jù)和條件

對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重組，意味著教師在結(jié)構(gòu)化教學(xué)中，無論是哪一個(gè)環(huán)節(jié)都要以“結(jié)構(gòu)化思想”“結(jié)構(gòu)化觀念”“結(jié)構(gòu)化思維”，去考量教材、數(shù)學(xué)知識本體等。教材、生活以及數(shù)學(xué)知識本體是學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的源泉，也是學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的重要依托。課時(shí)、單元以及數(shù)學(xué)知識本體是學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的組織載體、組織媒介。它們共同構(gòu)成了學(xué)生結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的依據(jù)和條件。深入研究學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的依據(jù)和條件，有助于學(xué)生將相關(guān)數(shù)學(xué)知識“勾連成體”。

（一）課時(shí)知識：知識重組的“發(fā)源地”

課時(shí)知識是學(xué)生展開結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的基本單位，學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)就是在一個(gè)個(gè)“課時(shí)知識”基礎(chǔ)上累積而成的。從這個(gè)意義上說，“課時(shí)知識”是學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重組的“發(fā)源地”。對課時(shí)知識的把握其實(shí)就是對數(shù)學(xué)知識要素的把握。課時(shí)知識的教學(xué)，不能僅停留在“陳述化”的水平上，而必須通過“程序化”的過程體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的理解。如“長方形的面積”這一部分內(nèi)容，涉及“面積和周長”“面積單位和長度單位”“面積計(jì)算公式與周長計(jì)算公式”等，當(dāng)這些基礎(chǔ)性的知識與情境相結(jié)合，就成為較為復(fù)雜的問題。面對這樣的一些問題，教師應(yīng)當(dāng)充分引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷用“面積單位”度量“面積對象”的過程。在教學(xué)中，教師要避免過早地將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識“形式化”，而是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷“擺方格”“數(shù)方格”“算方格”的過程。經(jīng)歷了這樣的過程，學(xué)生就能建立“面積計(jì)算”的基本模型，這種模型能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)的“多邊形的面積”奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）單元知識：知識重組的“集散地”

“單元”是一個(gè)有意義的組織集合。數(shù)學(xué)教材中的“單元”往往是一類數(shù)學(xué)知識的“集散地”，不善于結(jié)構(gòu)化教學(xué)的教師往往只是看到一個(gè)個(gè)“知識點(diǎn)”，而善于結(jié)構(gòu)化教學(xué)的教師看到的是“知識群”“知識塊”。以“單元知識”為載體，不僅可以依賴于教材的單元編排，而且可以重組單元、創(chuàng)生單元。換言之，盡管教材單元呈現(xiàn)的知識是一種客觀性的形態(tài)，但不同的教師“眼中的單元”是不同的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師還要善于打破單元的壁壘，將相關(guān)的單元知識集結(jié)，從而以諸多個(gè)“小單元”構(gòu)建一個(gè)“大單元”，或者構(gòu)建一個(gè)“主題單元”。如教學(xué)“分?jǐn)?shù)乘法”這一單元時(shí)，教師要著力引導(dǎo)學(xué)生尋找關(guān)鍵句中的單位“1”的量，著力引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析數(shù)量關(guān)系；同樣，在“分?jǐn)?shù)除法”這一單元教學(xué)中，教師還是要引導(dǎo)學(xué)生尋找關(guān)鍵句中的單位“1”的量，引導(dǎo)學(xué)生畫圖分析數(shù)量關(guān)系。因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生比較，尤其是要讓學(xué)生抓住“分?jǐn)?shù)乘法”和“分?jǐn)?shù)除法”單元學(xué)習(xí)中的“共同點(diǎn)”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算”這一單元，對“稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題”進(jìn)行自主分析。不僅如此，教師在教學(xué)中還要將學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容對比，凸顯這一類問題的共同的分析思路、數(shù)學(xué)方法與思想等。

（三）本體知識：知識重組的“生發(fā)地”

無論是課時(shí)知識還是單元知識，都是由編者有意編排而成的。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)來說，數(shù)學(xué)學(xué)科的本體性知識才是知識重組的“生發(fā)地”“生長地”，也是“生成地”。從數(shù)學(xué)學(xué)科的本體性知識出發(fā)，要求教師引導(dǎo)學(xué)生“面向數(shù)學(xué)學(xué)科本身”，以“陌生化”的眼光來打量。關(guān)注數(shù)學(xué)知識本體，要注重結(jié)構(gòu)、體系等的完善。關(guān)注數(shù)學(xué)知識本體，不僅要讓知識呈現(xiàn)出“結(jié)構(gòu)態(tài)”，更要讓數(shù)學(xué)的思想方法等也呈現(xiàn)出“結(jié)構(gòu)態(tài)”。如“認(rèn)識厘米”“角的度量”“時(shí)分秒”這樣的一些內(nèi)容，就分屬于不同的知識領(lǐng)域、單元。面向數(shù)學(xué)知識本身，這些有關(guān)“量與計(jì)量”方面的內(nèi)容，都有一個(gè)共同的特征，即“都屬于包含除”?！坝?jì)量”從本質(zhì)上來說，都是“看計(jì)量對象中包含有多少個(gè)計(jì)量單位”。為此，在教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)已學(xué)習(xí)內(nèi)容，然后讓學(xué)生猜想，引導(dǎo)學(xué)生將已經(jīng)學(xué)習(xí)的“測量”方面的知識、方法、思想等進(jìn)行遷移、應(yīng)用。這樣的一個(gè)過程，其實(shí)也就是教師引導(dǎo)學(xué)生“學(xué)知識結(jié)構(gòu)”“立知識結(jié)構(gòu)”“用知識結(jié)構(gòu)”的過程。

三、發(fā)生實(shí)踐：“結(jié)構(gòu)化教學(xué)”視野下知識重組的路徑和策略

建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，從根本上說就是為了改變知識“碎片化”“重復(fù)化”“無序化”的低效弊病。結(jié)構(gòu)化的教學(xué)要通過對知識的重組，通過建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，來建構(gòu)、完善、優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。通過認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化、完善，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)知識遷移、應(yīng)用的能力。在這個(gè)過程中，自然能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。

（一）梳理與統(tǒng)整

對數(shù)學(xué)知識的重組，首先要對相關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行梳理，在梳理的基礎(chǔ)上進(jìn)行整合，即所謂的“知識統(tǒng)整”。知識統(tǒng)整不是知識的簡單加減，而是一種深度的融合。梳理側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與關(guān)聯(lián)，而統(tǒng)整側(cè)重于引導(dǎo)學(xué)生的遷移和應(yīng)用。只有通過梳理與統(tǒng)整，數(shù)學(xué)知識才能具有一種內(nèi)在的“活性”。如在教學(xué)“小數(shù)的認(rèn)識”這一部分內(nèi)容時(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識小數(shù)的計(jì)數(shù)單位以及小數(shù)的數(shù)位、位數(shù)等相關(guān)概念之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生將“整數(shù)的數(shù)位順序表”引入其中，從而將“整數(shù)的數(shù)位順序表”與“小數(shù)的數(shù)位順序表”進(jìn)行整合，建構(gòu)了一個(gè)全新的“數(shù)位順序表”。在“數(shù)位順序表”中，整數(shù)、小數(shù)的數(shù)位、計(jì)數(shù)單位以及各個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率一目了然。梳理與統(tǒng)整，不僅溝通了數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，更培養(yǎng)了學(xué)生分析、推理、綜合等思維能力，讓學(xué)生感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識的和諧之美、統(tǒng)一之美。

（二）勾連與突破

勾連相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的突破。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，勾連相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，不僅要依據(jù)數(shù)學(xué)知識本身的特質(zhì)，更要關(guān)照學(xué)生的具體學(xué)情，包括學(xué)生的認(rèn)知、年齡、心理等特征、特質(zhì)。勾連相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，要站在不同的視角，讓知識結(jié)構(gòu)成為一個(gè)開放性、立體性、生成性的動態(tài)結(jié)構(gòu)。勾連相關(guān)的數(shù)學(xué)知識能助推學(xué)生突破固有的認(rèn)知慣習(xí)。如教學(xué)“多邊形的面積”之后，很多教師都用“梯形的面積”來統(tǒng)攝其他圖形，如長方形、正方形、平行四邊形、三角形等的面積。如“三角形可以看成是上底為0的梯形的面積”“平行四邊形可以看成上下底相等的梯形的面積”，等等。有了這樣的勾連，學(xué)生在比較“圓”與“多邊形”的面積時(shí)，能形成認(rèn)知的突破。有學(xué)生認(rèn)為，圓環(huán)可以看成是上底為內(nèi)圓周長、下底為外圓周長、高位兩圓之間的距離的梯形。這樣的一種認(rèn)知，顯然突破了曲線圖形與直線圖形的天然鴻溝，將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識整合起來。

（三）拓展與延伸

對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重組要進(jìn)行適度地拓展與延伸。一直以來，很多教師的數(shù)學(xué)教學(xué)往往局限于教材、鎖定于課堂，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識教學(xué)狹窄。拓展與延伸，就是要教師通過知識重組，打破一些知識壁壘、生活壁壘、經(jīng)驗(yàn)壁壘，從而拓展、延伸學(xué)生的認(rèn)知觸須。如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”“圓柱的體積”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者就將“長方體和正方體的側(cè)面積”“長方體和正方體的體積”等相關(guān)知識引入其中，從而引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“直柱體的側(cè)面積”“直柱體的體積”。借助多媒體課件對直柱體的側(cè)面積、直柱體的體積等的直觀生成演示，讓學(xué)生深刻感悟“底面周長乘高”“底面積乘高”。通過數(shù)學(xué)知識重組、提煉、升華，將學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知拓展、延伸至“三棱柱”“四棱柱”等的側(cè)面積、體積計(jì)算。這樣的一種知識重構(gòu)，讓學(xué)生在更為一般性的意義上建構(gòu)了直柱體的側(cè)面積、體積計(jì)算等相關(guān)知識。

數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)科的“骨架”，也是“血肉”。作為教師，必須秉持一種“結(jié)構(gòu)化視角”，對相關(guān)的數(shù)學(xué)課時(shí)知識、單元知識，以及數(shù)學(xué)本體性知識等進(jìn)行整理、集結(jié)。結(jié)構(gòu)化教學(xué)有助于學(xué)生掌握結(jié)構(gòu)化知識，結(jié)構(gòu)化知識能有效助推學(xué)生的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)。