淺析“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳珍瑜

(福建省漳浦縣佛曇中心學(xué)校東坂小學(xué) 福建 漳浦 363208)

在小學(xué)階段，學(xué)生進(jìn)入了高年級(jí)的學(xué)習(xí)，面對的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也越來越多，對于學(xué)生的挑戰(zhàn)性越來越大，學(xué)生在小學(xué)這個(gè)階段對于抽象知識(shí)的理解能力還不是很強(qiáng)，面對一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題時(shí)，無法對其進(jìn)行深入分析，這就使得學(xué)生們在數(shù)學(xué)的提升上進(jìn)步很小?！皵?shù)形結(jié)合”思想作為一種直觀的解題思想，能夠很好的解決學(xué)生對事物分析想象能力較弱的難題，學(xué)生們運(yùn)用這一種思想能夠?qū)⒁粋€(gè)問題用多角度去進(jìn)行分析，學(xué)生的解題思路也會(huì)隨著這個(gè)分析的過程，而一步步清晰。在一些書本上很重要的數(shù)學(xué)規(guī)律記憶上，不用再用以前的方法去進(jìn)行死記硬背，而是通過“數(shù)形結(jié)合”的方法，對規(guī)律性的知識(shí)進(jìn)行理解性的記憶，在以后的運(yùn)用起來也會(huì)更加的輕松，大幅度的提高解題的效率，學(xué)生們在小學(xué)階段就慢慢的培養(yǎng)起自己階梯式的“數(shù)形結(jié)合”思想，在以后遇到更復(fù)雜更難的數(shù)學(xué)題型時(shí)，也能有能力去應(yīng)對，學(xué)生的理解能力和分析能力可以得到很大提升。

1.養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合思想，解決數(shù)學(xué)問題

小學(xué)階段的高年級(jí)數(shù)學(xué)題，題型上面有很多，學(xué)生們對一類的數(shù)學(xué)題進(jìn)行充分了解后，就會(huì)作為這一類的數(shù)學(xué)題，而對于其他類別的數(shù)學(xué)題，在老師沒有講解過相同題型的情況下，也只會(huì)束手無策，這就限制了學(xué)生在數(shù)學(xué)題型上的解題能力。高年級(jí)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是題型中較為難的一類，很多出題的方式都是以生活中的一些問題而引申出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生們有的在閱讀完題型后，無法清晰的認(rèn)知到這道題所要運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法，這也就導(dǎo)致很多學(xué)生在看到一些復(fù)雜的文字和繁雜的條件下，無法鎖定到題目的重點(diǎn)，思想就會(huì)變得極為的混亂，腦海里無法聯(lián)系起以前所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)。而解決數(shù)學(xué)習(xí)題是學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力最直接的辦法之一，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的思想培養(yǎng)上著手，在教學(xué)中多引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)和形的有效結(jié)合，將題目中復(fù)雜的文字用圖形的方法呈現(xiàn)出來，再從圖形中去尋找條件中的聯(lián)系點(diǎn)和聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)，最后解決寫題目來就會(huì)變得得心應(yīng)手。學(xué)生們對于解題的思路清晰了，在面對以后，同等的情形中就可以舉一反三，靠自己去分析一道題型的始末和根本，再去理解性的找出解題方法。

2.構(gòu)建題型想象空間，培養(yǎng)學(xué)生想象力

數(shù)學(xué)能力提升，離不開空間想象力的提升，學(xué)生在小學(xué)這個(gè)階段雖然所遇到的空間類型的題型不多，但是很多題型的解決也離不開學(xué)生對于題目的空間想象，很多題型光從表面的文字看不出這個(gè)題的本質(zhì)，學(xué)生也很難從問題中去分析出解決的方法。所以，在教學(xué)中教師可以多引導(dǎo)學(xué)生們將復(fù)雜的數(shù)字轉(zhuǎn)化成圖形，圖形都是學(xué)生們能夠理解的樣子，學(xué)生通過圖形就可以更加直觀清晰的了解到數(shù)學(xué)知識(shí)，以及怎樣去運(yùn)用，學(xué)生們通過圖形也能夠更加的了解到這道題到底在問什么？需要學(xué)生們?nèi)デ笫裁矗吭俑鶕?jù)題目的要求就能對癥下藥，找到最佳的解題方法。在數(shù)學(xué)題的實(shí)際應(yīng)用中，學(xué)生通過圖形將題目的內(nèi)容進(jìn)行轉(zhuǎn)換，然后根據(jù)圖形的內(nèi)容在腦海里構(gòu)建一個(gè)想象的空間，[2]學(xué)生們就可以根據(jù)想象的內(nèi)容對題目進(jìn)行思考，特別是對于那些幾何題型的題。學(xué)生們通過這種思想去進(jìn)行空間想象，分析一個(gè)問題的實(shí)質(zhì)，就能輕松的轉(zhuǎn)化為自己所掌握的知識(shí)，對于幾何規(guī)律的探知也會(huì)更加深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題思維能夠得到很好的提升。

例如，教師可以讓學(xué)生們動(dòng)手去進(jìn)行探索一個(gè)題，讓同學(xué)們?nèi)パ芯咳绾斡靡粡埻却笮〉募埣舫鲆粋€(gè)面積最大的三角形。教師可以提前為學(xué)生們準(zhǔn)備好幾張相同尺寸的紙張，這些紙張有的是長方形，有的是平行四邊形，然后分別分發(fā)給學(xué)生們，學(xué)生們根據(jù)老師所布置的任務(wù)去探索，如何裁剪出最大面積的三角形。在整個(gè)裁剪過程中，教師要充分重視學(xué)生的做法和裁剪方法，觀察學(xué)生在整個(gè)裁剪過程中的步驟，然后等學(xué)生們裁剪完畢后，教師就可以去問學(xué)生們?nèi)绾稳プC明自己說裁剪的三角形面積為最大。教室還可以接著為學(xué)生們設(shè)計(jì)更難一點(diǎn)的任務(wù)，讓學(xué)生們還是以那些紙張去剪出面積最大的直角三角形，等邊三角形和等腰三角形等。這個(gè)剪裁的步驟看起來雖然很簡單，只需要?jiǎng)觿?dòng)剪刀就能完成，但是其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)卻有很多，學(xué)生們在檢查的時(shí)候需要充分的認(rèn)識(shí)到三角形的性質(zhì)和有關(guān)的面積求法，然后在腦海里構(gòu)建一個(gè)剪裁的圖形，再去確定該以哪個(gè)角度去進(jìn)行剪裁。在進(jìn)行裁剪之前，教師可以讓學(xué)生們在紙上去設(shè)計(jì)一些圖形，根據(jù)圖形的角度再去剪裁紙張。學(xué)生們在紙上進(jìn)行剪裁的設(shè)計(jì)，能夠很好的在腦海中構(gòu)建一個(gè)空間圖形，學(xué)生也能夠根據(jù)圖形去運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算三角形的面積，進(jìn)而完成最佳的解題。通過這種教學(xué)方法，學(xué)生們在自主進(jìn)行探究的過程中，能夠很好的完成數(shù)形之間的充分轉(zhuǎn)換，[3]在腦海里用空間想象力去構(gòu)建整個(gè)題型的框架，有效的理清題目的思路，在做題中充分提升學(xué)生的空間想象能力和解題思維。

3.掌握數(shù)學(xué)解題思路，拓寬學(xué)生思維

學(xué)生在小學(xué)這個(gè)階段，如果只是一味的去做太多的題，在數(shù)學(xué)能力上并不能得到有效的提升，并且學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)，即使進(jìn)入了高年級(jí)，但是對于題目的理解仍然存在很多的困難，因?yàn)閷ο嚓P(guān)的題型接觸太少，核對相關(guān)的概念公式，記得不太深刻，都會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在實(shí)際解題的時(shí)候，思路不清晰，無法很好的應(yīng)用所學(xué)過的知識(shí)。數(shù)學(xué)作為理科中的學(xué)科，題目都是具有邏輯連貫性，學(xué)生們靠死記硬背定理并不能很好的去進(jìn)行解答題目，更重要的是能夠?qū)︻}型進(jìn)行分析，找到解題的思路，思路清晰了，整個(gè)解題過程也會(huì)行云流水，學(xué)生在今后面對不同類型的題目，就能冷靜的去分析思考的辦法，找到解題的突破口，從而提升解題的效率和質(zhì)量?！皵?shù)形結(jié)合”思想對于學(xué)生思維能力的提升有很大的效果，也是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思想，在解題過程中具有很高效的實(shí)用性。在拿到一個(gè)題目后，學(xué)生們通過轉(zhuǎn)換題目中的數(shù)據(jù)為圖形的形式，然后順著圖形之間的條件關(guān)系來進(jìn)行思考，學(xué)生從眾多的條件關(guān)系中就能很好的找到整個(gè)題目的突破之處，然后順著自己的解題思路，一步步的去寫出解題的方法。

例如，小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)題型中有這樣的一個(gè)題目：在一個(gè)班級(jí)中，同學(xué)們分別喜歡一些項(xiàng)目，其中喜歡籃球的學(xué)生有30個(gè)人，喜歡足球的有15個(gè)人，而喜歡乒乓球的一共有20個(gè)人，經(jīng)過充分的調(diào)查發(fā)現(xiàn)，既喜歡乒乓球又喜歡籃球的一共有12個(gè)學(xué)生，而同時(shí)喜歡這三種項(xiàng)目的一共有6個(gè)學(xué)生，那么請問這一個(gè)班級(jí)一共有多少個(gè)學(xué)生？學(xué)生們一聽到這種問題，可能會(huì)覺得比較驚訝，題目中所給的條件有那么多，該從哪一個(gè)方向進(jìn)行思考，哪些條件是有用條件，哪些條件又不是沒有條件，學(xué)生們也不是很清晰。教師就可以讓學(xué)生們通過“數(shù)形結(jié)合”的思想來解決這種問題，教師可以引導(dǎo)學(xué)生們在紙上借助畫圓餅圖的形式來表示題目中的條件，每一類喜歡的學(xué)生分別畫一個(gè)圓圈，并在里面標(biāo)注喜歡的人數(shù)，如果有同時(shí)喜歡兩種項(xiàng)目的人數(shù)，就在兩個(gè)圓圈的重疊部分標(biāo)注上，喜歡這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，有喜歡三種運(yùn)動(dòng)的人，也相應(yīng)的在三個(gè)圓圈的重疊之處標(biāo)注上喜歡三種運(yùn)動(dòng)的人數(shù)，學(xué)生們通過這種圖形的方式，就能很好的將題目中的條件全都結(jié)合在一個(gè)圖形中，最后進(jìn)行分析的時(shí)候，也會(huì)對題目中的條件更加清晰。學(xué)生們對題目中的條件進(jìn)行充分的分析后，就能清晰的找到每一種項(xiàng)目所喜歡的人數(shù)，[4]然后學(xué)生對題目進(jìn)行思考，找出應(yīng)該用哪一種方法進(jìn)行解決。老師在學(xué)生們思考的過程中，可以引導(dǎo)學(xué)生們不要光從題目的表面去思考問題，而是以其他的角度去進(jìn)行思考，讓學(xué)生們可以參照圓餅圖，將要求的人進(jìn)行設(shè)置未知數(shù)，然后根據(jù)圓餅圖的條件列出相應(yīng)的方程，最后解出方程來完成題目的解答。通過這種“數(shù)形結(jié)合”思想來幫助學(xué)生解決問題，可以很好的代替以前傳統(tǒng)的刷題模式，學(xué)生從圖形中能夠更好的理清題目的思路，然后從圖形中去拓展自己的思路，發(fā)散自己的思維，從而找到題目的根本解決方法，學(xué)生最后解決起來效率也會(huì)更高。

4.簡化題目運(yùn)算過程，增強(qiáng)學(xué)生解題能力

數(shù)學(xué)題型中少不了題目特別長的題，這種題目里面的數(shù)字和信息比較多，學(xué)生第一眼看就覺得要把每一個(gè)數(shù)據(jù)算清楚，才是問題的解題思路，但是事實(shí)并非如此，每一個(gè)題目都是圍繞一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行出發(fā)的，所以要解答出一個(gè)復(fù)雜題型，就是要找出這個(gè)問題的本質(zhì)和問題的出發(fā)點(diǎn)。學(xué)生在小學(xué)這個(gè)階段缺乏對于數(shù)學(xué)問題的分析能力，只會(huì)從直觀上進(jìn)行出發(fā)，所以教師在教學(xué)過程中要適當(dāng)?shù)娜ヅ囵B(yǎng)學(xué)生對于問題的一個(gè)整合能力，能夠從一個(gè)問題的表面上去看清楚問題的實(shí)質(zhì)，才能從本質(zhì)上去增強(qiáng)學(xué)生的解題思路學(xué)生以后遇到更復(fù)雜的題，就會(huì)對題目有一種敏感，從題目中找到可以去利用的信息從而去進(jìn)行解題。圖形無疑是在小學(xué)階段更好幫助學(xué)生解題的一個(gè)有效工具，題目過于復(fù)雜，學(xué)生就可以在圖形中將這些復(fù)雜的數(shù)字進(jìn)行一個(gè)匯總，將題目的意思或者要?jiǎng)?chuàng)建的一個(gè)模型，用圖形的形式畫出來，并且在圖形中標(biāo)明出可以利用的信息和數(shù)字，然后再一步步的去結(jié)合題目和要問的問題進(jìn)行一個(gè)分析，問題自然而然就能解答出來。

例如在教學(xué)小學(xué)課本中《比例》這一節(jié)的內(nèi)容時(shí)，課后習(xí)題中出現(xiàn)了這樣一個(gè)問題：有一個(gè)建筑呈現(xiàn)三角形，并且在這個(gè)三角形建筑的中間部分有一條橫杠，是的，這個(gè)三角形建筑被分為了上邊為三角形，下邊為梯形的一個(gè)形態(tài)，并且在這個(gè)建筑當(dāng)中，建筑左右兩邊被橫杠分為4:6兩個(gè)部分，這個(gè)建筑當(dāng)中，三角形的底邊和梯形的下底邊的比也是4：6，整個(gè)大三角形的周長是20米，大三角形和小三角形都為等邊三角形，那么這個(gè)橫杠的長度是多少？這就是數(shù)學(xué)問題中比較典型的復(fù)雜問題，學(xué)生們一看到這個(gè)題目，題目很長，讀起來也很費(fèi)力，那么既然是題目中涉及到圖形的問題，學(xué)生就可以借助塑形結(jié)合的這種思想來幫助自己解題。讀完這個(gè)題目后，學(xué)生可以首先在紙上畫一個(gè)大三角形，然后在中間差不多4:6的一個(gè)部分畫一道橫杠，并且在上面附著相應(yīng)的比值，最后問題是問這個(gè)橫杠的長度，如果沒有用圖形的問題，學(xué)生們按照題目進(jìn)行硬算，首先想到的肯定就是一條一條的求邊，按照這個(gè)比值去進(jìn)行求邊，先求大三角形的邊，然后再去求小三角形的邊，最后就能知道這個(gè)橫杠的長度，這樣的計(jì)算必然是復(fù)雜的。學(xué)生通過圖形的結(jié)合分析可以知道兩個(gè)三角形，其實(shí)在圖形的構(gòu)建上是差不多的，雖然他們的面積不一樣，但是它們的邊長之間存在一種比值關(guān)系，既然都是等邊三角形邊長之間的比值一樣，那么整個(gè)周長之間的比值也是一樣，所以就可以由邊長的比值來引申到周長的比值，利用整個(gè)大三角形的周長的值乘以小三角形的邊長占大三角形邊長的比，就能求出小三角形的邊長，從而算出橫杠的長度。利用圖形進(jìn)行分析，學(xué)生能夠從圖形之中直觀的看到題目信息中的關(guān)聯(lián)，根據(jù)這個(gè)信息的關(guān)聯(lián)性去找到和簡化計(jì)算，幫助學(xué)生更好的進(jìn)行解題，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

5.增加學(xué)生圖形感觸，熟悉圖形用法

圖形不管是在數(shù)學(xué)還是生活中的應(yīng)用，都比較的廣泛，在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)接觸到的圖形有梯形扇形以及正方形長方形等等，這些都是生活中比較常見的圖形，隨著學(xué)生深入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生們還會(huì)學(xué)習(xí)到折線圖，散點(diǎn)圖等等，這些都是圖形，圖形的意義無非就是幫助我們更好的去整合數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)的對比中找到我們想要利用的關(guān)系和規(guī)律。圖形中不可或缺的就是數(shù)據(jù)學(xué)生對數(shù)據(jù)有敏感性，才能更好的從數(shù)據(jù)的捕捉之中去了解到數(shù)據(jù)對于解題中的應(yīng)用。教師在教學(xué)過程中可以讓學(xué)生多去接觸一些圖形，讓學(xué)生能夠知道各種圖形之間的用法，使學(xué)生能夠今后在學(xué)習(xí)和生活中多去用圖形幫助解決更多的困難。圖形在小學(xué)的應(yīng)用中最簡單直接的用法就是比較大小，所以教師可以按照數(shù)據(jù)的大小比較這一塊進(jìn)行教學(xué)讓學(xué)生們能夠清楚簡單圖形的使用方法。

例如在教學(xué)《百分?jǐn)?shù)》這一節(jié)的內(nèi)容時(shí)，會(huì)遇到這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：小明和小芳去兩個(gè)不同的商店購物，買同樣一個(gè)東西，碰巧遇到兩家商店都在做活動(dòng)，商品的原價(jià)都是100元，小明去甲商店打8折，小芳去乙商店打6折。學(xué)生看到這樣一個(gè)題，單純想到的去計(jì)算的就是小明和小芳去買同樣的一個(gè)物品，分別花了多少錢不能看到兩者之間的差異性，那么這個(gè)時(shí)候教師就可以讓學(xué)生們?nèi)ダ脠D形幫助自己去深入了解這樣一個(gè)題目。教師可以讓學(xué)生們在網(wǎng)格紙上去畫一個(gè)柱狀圖，以柱狀圖的一邊為這個(gè)商品的原價(jià)100元，然后進(jìn)行網(wǎng)格上的填充，首先在80元的位置畫一道紅色的橫線，表示小明買這個(gè)商品需要花費(fèi)80元，然后在60元的這個(gè)位置，畫一道黑色的橫線。通過這樣一個(gè)圖形，學(xué)生們就可以清晰的了解到題目中的對比性，比如可以從圖形清楚的了解到小芳此次買物品省的錢是小明的兩倍，小芳花的錢是小明省的錢的三倍，小明花的錢是小芳省的錢的兩倍。這些都是需要通過計(jì)算才能得到的，但是通過一個(gè)圖形就可以清晰的看到兩者之間的不同信息之間的對比，學(xué)生也能夠從這次的使用圖形中去了解到圖形給自己帶來的解題收益。通過這種教學(xué)方法，可以培養(yǎng)學(xué)生對于圖形的感觸，學(xué)生多去在數(shù)學(xué)中接觸圖形，就能更加了解到圖形的用法，使圖形能夠更有效幫助學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和生活。

6.借助圖形進(jìn)行聯(lián)想，開闊學(xué)生思維

數(shù)學(xué)習(xí)題中有很多的題都有多種解題方法，這需要學(xué)生去不斷的開闊自己的思維，俗話說萬變不離其宗，一道題可以聯(lián)想出多種解題方法，但是也是要根據(jù)一個(gè)點(diǎn)去進(jìn)行聯(lián)想。學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是在多種題型中慢慢的培養(yǎng)和建立起來了，每一個(gè)人的思維模式都可能不一樣，但是重要的是學(xué)生要從不同的題型中有所收獲，有所感觸，聯(lián)想就是一種幫助學(xué)生進(jìn)行開闊思路的有效方法。學(xué)生在解題的過程中，光依靠題干的信息去進(jìn)行聯(lián)想反面有所困難，畢竟題干的信息那么多，聯(lián)想起來范圍不容易集中，這個(gè)時(shí)候借助圖形來結(jié)合題目的數(shù)字就可以更好的幫助學(xué)生達(dá)到聯(lián)想的目的學(xué)生通過在圖形中寫下題目中的數(shù)據(jù)，然后根據(jù)這些數(shù)據(jù)的特點(diǎn)進(jìn)行發(fā)散，將自己可以聯(lián)想到的想法，在相應(yīng)的數(shù)據(jù)后面寫出來，解決學(xué)生在解題中遇到思路不清晰或者解題過程中出現(xiàn)問題的情況。學(xué)生根據(jù)自己的聯(lián)想成果，利用不同的方法去解答，或許能夠找到一個(gè)題目的最簡單方法，也能夠去培養(yǎng)學(xué)生的解題榮譽(yù)感。

例如，在解答混合運(yùn)算相關(guān)的題型時(shí)，會(huì)遇到整數(shù)小數(shù)分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)同時(shí)出現(xiàn)的題目，這樣的題目也算是小學(xué)運(yùn)算過程中最難的題型之一，學(xué)生剛遇到這種問題肯定會(huì)比較茫然，畢竟只有同種類型的數(shù)字才能進(jìn)行加減乘除的運(yùn)算，這種多類型的數(shù)字無法直接進(jìn)行預(yù)算，這時(shí)候?qū)W生就可以在草稿紙上建立一個(gè)圖形的框架。在框架之中，學(xué)生可以一次寫入一道題中不同類型的數(shù)據(jù)，比如整數(shù)就占一個(gè)方框，分?jǐn)?shù)占一個(gè)方框，小數(shù)也占一個(gè)方框，然后每個(gè)方框之間要有一個(gè)間隔的圓圈。學(xué)生就可以圍繞這幾種不同的數(shù)字去展開自己的聯(lián)想，學(xué)生可以聯(lián)想到將這些數(shù)據(jù)全部變?yōu)樾?shù)進(jìn)行計(jì)算，在不是小數(shù)的那些數(shù)據(jù)后，寫出他們變成小數(shù)后的數(shù)據(jù)，然后再結(jié)合先乘除后加減的運(yùn)算順序，用框框圈出，首先要進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)據(jù)。同理，學(xué)生也可以將這些數(shù)據(jù)變?yōu)檎麛?shù)或者分?jǐn)?shù)的形式運(yùn)算主要就是對題目進(jìn)行聯(lián)想和分析，判斷哪一種解法最為簡便。通過這樣一種教學(xué)方法，可以很好的鍛煉學(xué)生的聯(lián)想能力和數(shù)據(jù)整合能力，幫助學(xué)生拓展自己的思路，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

7.總結(jié)

數(shù)形結(jié)合作為重要的數(shù)學(xué)思想，該思想打破了單向思路解題的弊端，實(shí)現(xiàn)了數(shù)字信息與幾何信息的高效整合。該教學(xué)方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透符合當(dāng)前教改的根本需求，也符合小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。教師要將其作為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，使學(xué)生快速在數(shù)與形之間轉(zhuǎn)化，逐步提高其數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力，進(jìn)而提升其學(xué)科素養(yǎng)。