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    “模型”少一點 “積累”多一層

    2022-11-18 14:26:15陳建洲李玉榮江蘇省南京金陵中學河西分校210019
    中學數(shù)學月刊 2022年6期
    關鍵詞:正方形線段定理

    陳建洲 李玉榮 (江蘇省南京金陵中學河西分校 210019)

    文[1]由一道幾何試題引發(fā)深度思考,給出了9個問題的解題分析,其中對問題1—3的求解引發(fā)了筆者的進一步思考:為何要那樣求解?有沒有更自然、適切的解法?深度思考的意義何在?在此與作者商榷.

    問題1如圖1,在矩形ABCD中,CD=3,AD=4,在AD邊上取點E,H,在AC上取點F,作正方形EFGH,連結AG,點E′是點E關于AG的對稱點,AE′交BC于點P,則PC的長為.

    圖1

    圖1

    圖2

    又∠PAM=∠DAG=∠M,所以PA=PM,設PA=x,則BP=7-x.

    圖3

    解法4如圖4,延長GF交AB于點M,交AP于點N,則∠NAG=∠HAG=∠AGN,所以NA=NG.

    圖4

    評注 解法1—4添加的都是樸實的輔助線,構造出“角平分線+平行線=等腰三角形”等與角平分線有關聯(lián)的基本圖形,使用了面積法、勾股定理、相似三角形等基本計算工具,貼近學生思維發(fā)展區(qū),解法自然、適切.

    問題2如圖5,正方形ABCD中,AB=6,E是BC邊中點,將△ABE沿AE對折,使得點B與點F重合,AF與對角線BD交于點G,求線段GF的長.

    圖5

    分析 此題文[1]是利用之前探究的結論求解的,筆者以為作為解答題顯然不妥.有更自然的求解方法嗎?要求線段GF的長,只需求線段AG的長,需借助△AGB或△AGD求解,但條件暫時不足.注意到∠AFE=90°,于是有兩個基本思路:一是構造“一線三等角型”相似三角形;二是構造“雙垂直共角型”相似三角形,最后借助“X型”相似三角形求解.

    解法1如圖5,過點F作MN⊥AD于點M,交BC于點N,則MN=AB=6,AM=BN.

    解法2如圖6,延長AF,BC交于點H.

    圖6

    設FH=k,則BH=2k,EH=2k-3,AH=6+k,所以6+k=2(2k-3),解得k=4,所以AH=10,BH=8.

    解法3如圖7,延長AF交DC于點H,連結CF.

    圖7

    因為EF=BE=EC,所以∠EFC=∠ECF,可得∠HFC=∠HCF,所以CH=FH.

    解法4[2]如圖8,延長AE,DC交于點H,延長AF交DC于點M.

    圖8

    易證△ABE≌△HCE,可得CH=AB=6,DH=12,∠BAE=∠EHC=∠HAM,所以AM=HM.

    評注 筆者分別給出了問題1、問題2的4種解法,或許還有更多的解法可以探索,這不遠比套“公式”求解更能啟迪思維?

    圖9

    評注 這個解法無需添加輔助線,更無需套什么“公式”或“模型”,獨具匠心.

    不知從何時起,應對考試的“模型”充斥數(shù)學課堂教學,如“豬蹄”模型、“手拉手”模型、“12345”模型……讓人眼花繚亂,教學年歲較長的教師甚至聞所未聞、莫名其妙.《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》明確指出:“課程內容的組織要重視過程,處理好過程與結果的關系.”基于此理念,曾經耳熟能詳?shù)纳溆岸ɡ?、相交弦定理、垂徑定理等重要定理在教材上都已刪去,那我們還有什么理由去編制所謂的模型(充其量也只能算基本圖形)讓學生去記憶、套用?解題是數(shù)學教師的最常見活動,學生學習數(shù)學更離不開解題,建立數(shù)學模型,對模型進行分析、求解,最終達到解決問題的目的無可厚非,甚至極為重要,但模型不能泛化,數(shù)學解題不能依賴并不常用的所謂“模型”或“結論”,更不宜在初中解題教學中大肆渲染一些遠離教材的“模型”甚至是超標的內容,美其名曰“拓展延伸”,實際上是加重了學生的學業(yè)負擔.泛化的模型等同于“拿來主義”:拿現(xiàn)成的“模型”去解難度大、思維含量高的數(shù)學題,表面上看解題過程簡化了,但失去的是更有價值的數(shù)學思維,實在得不償失.解題方法的教學理應遵循教材知識,執(zhí)行課程標準,探尋貼近學生的發(fā)展區(qū)的自然解法,機械的“模型”或“結論”慎教、慎用,著力點應是強化過程性教學,讓學生更多地思考、探究,體驗獲取知識的樂趣,促進數(shù)學思維能力的提升,增效減負才能真正落到實處.

    完稿之余,恰好看到廣東省2021年中考數(shù)學試卷第23題:

    如圖11,邊長為1的正方形ABCD中,點E為AD的中點.連結BE,將△ABE沿BE折疊得到△FBE,BF交AC于點G,求CG的長.

    圖11

    此題與問題2極為相似,考生該用什么樣的思路來求解呢?讀者自有分辨.

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