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    對(duì)一道平面向量??碱}的探究與思考

    2022-11-18 14:26:15華志遠(yuǎn)江蘇省無錫市第一中學(xué)214031
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年6期
    關(guān)鍵詞:本題運(yùn)算平面

    華志遠(yuǎn) (江蘇省無錫市第一中學(xué) 214031)

    在無錫市2021年秋學(xué)期高三期中考試中,第20題是一道以三角形為背景的平面向量試題.統(tǒng)計(jì)表明,該題難度系數(shù)僅為0.15,得滿分者更是寥若晨星.從題面上看,試題內(nèi)容看似平實(shí),實(shí)則內(nèi)涵極為豐富;試題呈現(xiàn)方式簡(jiǎn)潔,提出問題逐級(jí)深入;涉及知識(shí)綜合有度,方法靈活多樣;具有較強(qiáng)的探索性,深度檢測(cè)了數(shù)學(xué)素養(yǎng),充分體現(xiàn)了新高考評(píng)價(jià)體系的精神,即把關(guān)鍵能力作為高考評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素.從題干上看,本題從三角形的基本量和點(diǎn)線的位置關(guān)系出發(fā),通過引入向量語言,使數(shù)與形有機(jī)結(jié)合.第(1)問是求兩條線段的比值,屬于幾何問題;第(2)問是求兩個(gè)向量數(shù)量積的最小值,屬于代數(shù)問題,從而使試題具有較強(qiáng)的探索性和開放性,學(xué)生可以從平面向量的多個(gè)維度尋找解題突破口,并利用向量共線定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化,而數(shù)量積的最值可利用基本不等式或求導(dǎo)獲得答案.由于學(xué)生解答情況較差,因此我們對(duì)本題作重新研究、評(píng)估和反思.本文試圖通過探索該題的命題背景,嘗試一般的解題策略,依托數(shù)學(xué)思想方法,引領(lǐng)學(xué)生走出思維誤區(qū),以發(fā)展學(xué)生的能力和素養(yǎng).

    1 試題及背景分析

    圖1

    從建系維度去分析,根據(jù)三角函數(shù)定義,應(yīng)以A為原點(diǎn),AB為x軸,這樣有利于寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),從而將向量問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算.

    2 解法探究

    圖2

    3 解法評(píng)價(jià)

    數(shù)學(xué)解題中,不同的思維視角對(duì)解題的長(zhǎng)度、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算產(chǎn)生較大影響,其中確立思維的起點(diǎn)最為重要.以《平面向量》一章為例,通??梢詮膸缀畏?、基向量法、坐標(biāo)法、數(shù)量積等作為思維的開啟,在解題目標(biāo)的驅(qū)使下作合理的選擇、調(diào)整和實(shí)施.如本題若從圖形上加以整體分析,則利用平面幾何知識(shí),可使解題顯得一氣呵成、簡(jiǎn)潔明了,這對(duì)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)提出了要求;若從向量角度思考,則要選好基向量,并通過其線性運(yùn)算,結(jié)合向量的共線找到其中的內(nèi)在聯(lián)系,但由于本題圖形中涉及的點(diǎn)線較多,許多學(xué)生解題時(shí)產(chǎn)生了“原地打轉(zhuǎn)”的現(xiàn)象,思維缺乏進(jìn)階;若從坐標(biāo)法去分析思考,則關(guān)鍵要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo),同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的目的性、條理性及準(zhǔn)確性提出了較高的要求.由此可見,只有讓學(xué)生形成大單元的視野,掌握主干知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系,依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法,才能自然地找到思維的起點(diǎn),并在思維導(dǎo)圖的引領(lǐng)下,實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo).從考試卷面上看,首先眾多學(xué)生面對(duì)問題無所適從,因而零分率超過60%,說明在復(fù)習(xí)教學(xué)中,學(xué)生的認(rèn)知體系構(gòu)建存在不足;其次是解題的目標(biāo)意識(shí)不強(qiáng),在探尋結(jié)論與條件的關(guān)系時(shí),找不到中間轉(zhuǎn)化的量(線段長(zhǎng)、向量或坐標(biāo)),從而使思維受挫;再次是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)有待進(jìn)一步提高,尤其是利用坐標(biāo)法求解的學(xué)生,無論從坐標(biāo)系的建立,還是運(yùn)算的正確率都有待加強(qiáng).

    4 走出解題困境

    著名數(shù)學(xué)及教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中,將數(shù)學(xué)解題分為四個(gè)步驟,即審題聯(lián)想、擬定計(jì)劃、實(shí)施解答和回顧反思.審題聯(lián)想是從宏觀上要求解題者理解題意,弄清條件與結(jié)論,并產(chǎn)生有效聯(lián)想,從而找到解題目標(biāo),其中包括信息的獲取與檢索、題目與知識(shí)的關(guān)聯(lián)性以及思維起點(diǎn)的確立等;擬定計(jì)劃是從中觀上要求解題者在明晰方向后,形成具有可操作性的解題步驟,即從條件與結(jié)論的聯(lián)系出發(fā),運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法作引領(lǐng),盡量將復(fù)雜的、陌生的問題化歸為簡(jiǎn)單的、熟悉的問題;實(shí)施解答是從微觀層面上動(dòng)手操作,要求解題者利用數(shù)學(xué)知識(shí)和通性通法,進(jìn)行有條理的推理和演算,并在解題過程中加以監(jiān)控、調(diào)整和優(yōu)化;回顧反思則是指既要總結(jié)解題成功的經(jīng)驗(yàn),又要反思解題失敗的教訓(xùn),并從認(rèn)識(shí)論、方法論、價(jià)值論的維度加以提煉,促進(jìn)解題者理性思維的發(fā)展,從而不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高“元認(rèn)知”能力.以這道模擬考題為例,如果我們從這一解題理論去指導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題,那么對(duì)學(xué)生構(gòu)建《平面向量》一章的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、優(yōu)化思維品質(zhì)、提升關(guān)鍵能力,都會(huì)起到積極的引領(lǐng)作用.

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