學(xué)生如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)(續(xù))

鄭毓信 (南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

3 聚焦“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”(1)：加強(qiáng)思考

如果你將來(lái)不想成為數(shù)學(xué)家，甚至也不想從事任何與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的工作，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要意義又是什么？畢竟我們自入學(xué)以來(lái)已經(jīng)、并可能仍將在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，自然就應(yīng)認(rèn)真地思考如何才能通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得到真正的收獲，后者當(dāng)然不應(yīng)局限于一般所謂的“日常數(shù)學(xué)”，即日常生活中要用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)與技能．

在筆者看來(lái)，著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞的以下論述已為上述問(wèn)題提供了明確解答：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)．對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事，一個(gè)數(shù)學(xué)教師假如他在這方面取得了成績(jī)，那么他就真正為他的學(xué)生們(無(wú)論他們以后是做什么工作的)做了好事．能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情．”[8]

具體地說(shuō)，由于數(shù)學(xué)可以被看成“思維的科學(xué)”，因此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用就是有助于學(xué)生思維的發(fā)展，對(duì)此我們應(yīng)超出數(shù)學(xué)、從更一般的角度進(jìn)行理解，這也正是波利亞何以特別強(qiáng)調(diào)“思維習(xí)慣和常識(shí)”的主要原因．簡(jiǎn)言之，我們應(yīng)當(dāng)致力于通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步學(xué)會(huì)更清晰、更全面、更合理、更深入地進(jìn)行思考，或者說(shuō)，應(yīng)努力提升自已的思維品質(zhì)．因此，就如何學(xué)好數(shù)學(xué)而言，這就是最重要的一點(diǎn)，即加強(qiáng)思考．

在筆者看來(lái)，從同一角度我們可以更清楚地認(rèn)識(shí)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題，特別是“題海戰(zhàn)術(shù)”所造成的嚴(yán)重后果．因?yàn)椋^的“大運(yùn)動(dòng)量”事實(shí)上就是機(jī)械學(xué)習(xí)，希望學(xué)生單憑機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿(包括“解題活動(dòng)的程序化和算法化”)，就能在數(shù)學(xué)考試中取得較好成績(jī)．但是，即使上述做法確實(shí)對(duì)提升考試成績(jī)起到一定作用，但考慮到我們?yōu)榇烁冻龅木薮笈?，而這些除考試外又無(wú)任何真正的用處，那么，這顯然就是一種得不償失的行為．

另外，如果著力于解決問(wèn)題能力的提升，而不只是如何能在各種常規(guī)考試中取得較好成績(jī)，那么上述做法的效能也就大可質(zhì)疑．因?yàn)檎嬲摹皢?wèn)題解決”，無(wú)論這是指數(shù)學(xué)內(nèi)部或是數(shù)學(xué)以外，都應(yīng)視為一種創(chuàng)造性的工作，從而就不可能單純依靠現(xiàn)成的知識(shí)與技能(包括“解題策略”)的簡(jiǎn)單應(yīng)用就能實(shí)現(xiàn)．恰恰相反，由于問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性，更由于相應(yīng)思維活動(dòng)的非邏輯性，即不僅可能表現(xiàn)為純粹的靈感或頓悟，更必然有一定的或然性與個(gè)體性，因此，盡管我們應(yīng)當(dāng)充分肯定“題型分析”的重要性，努力提升學(xué)生的辨識(shí)能力，也應(yīng)高度重視“解題策略”的學(xué)習(xí)，從而在遇到困難時(shí)就可獲得一定啟示，但是單靠這些顯然還不足以保證解題活動(dòng)的成功，恰恰相反，我們應(yīng)由具體的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略轉(zhuǎn)向一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升．

特殊地，從上述角度我們也可以清楚地認(rèn)識(shí)并努力糾正這樣一種傾向，即對(duì)于“快”的片面追求．以下就是這方面的兩個(gè)實(shí)例：

其一，著名數(shù)學(xué)家姜伯駒先生在接受采訪時(shí)明確提及數(shù)學(xué)帶給他的最大收益是學(xué)會(huì)了長(zhǎng)時(shí)間的思考，而不是匆忙地處理問(wèn)題．

其二，我國(guó)最年輕的數(shù)學(xué)院士孫斌勇(2019年)在被問(wèn)及如何學(xué)好數(shù)學(xué)時(shí)給出的回答：“我從不要求快的，能用筆算的不口算．我和女兒也這么說(shuō)，穩(wěn)是最重要的．”

養(yǎng)成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的習(xí)慣和能力有重要的普遍意義：“快思”占據(jù)主導(dǎo)的地位是人類(lèi)思維的一個(gè)重要特點(diǎn)，雖然這對(duì)于人們的工作和生活具有十分重要的作用，但也有明顯的局限性，特別是，經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致各種規(guī)律性的錯(cuò)誤．因此，作為自覺(jué)的努力，我們應(yīng)十分重視如何能夠逐步學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間思考”，從而切實(shí)提高自身的思維與認(rèn)識(shí)能力，包括有效克服與糾正“快思”可能導(dǎo)致的各種錯(cuò)誤，這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所應(yīng)發(fā)揮的一個(gè)重要作用(詳見(jiàn)文[9])．

以下就對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行思考做出具體分析，即我們應(yīng)當(dāng)圍繞哪些問(wèn)題進(jìn)行思考．

第一，“為什么？”這是指，學(xué)習(xí)中我們必須明確反對(duì)機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單模仿，而應(yīng)切實(shí)做好理解的工作．

這事實(shí)上也正是孫斌勇院士在接受采訪時(shí)提到的主要經(jīng)驗(yàn)：“我小時(shí)候看書(shū)特別仔細(xì)，我想這是唯一的不同．”“細(xì)到每一句話都能理解它什么意思．?dāng)?shù)學(xué)里每一個(gè)定理，比如不等式，我都能自己證明．”“我就是想搞明白，想學(xué)得清楚，不稀里糊涂地學(xué)習(xí)．很多人越學(xué)越糊涂，尤其是數(shù)學(xué)．”[1]

當(dāng)然，這并非一個(gè)全新的主張，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來(lái)強(qiáng)調(diào)理解，我們更應(yīng)將此很好地落實(shí)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)方面，如為什么要對(duì)概念做出相應(yīng)的定義，其合理性究竟何在？相關(guān)結(jié)論是否真的可靠，或者說(shuō)我們究竟為什么可以將此看成完全可靠的？在解決問(wèn)題的過(guò)程中為什么要采取相應(yīng)的方法，你又是如何想到的？等等．

應(yīng)當(dāng)提及的是，認(rèn)知科學(xué)的現(xiàn)代研究已為上述做法提供了直接的論據(jù)．具體地說(shuō)，這也是一篇綜合性的文章的直接主題[10]：“我們?cè)噲D定義一個(gè)研究支持下的建議子集……該子集……對(duì)課堂教學(xué)有清晰而直接的啟示．”這就是文中提到的第一條建議：“解釋性提問(wèn)．”“精心訊問(wèn)，簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是問(wèn)‘為什么’……包括‘為什么這是真的？’‘為什么……是合理的’……”這就是相關(guān)作者何以將此稱(chēng)為“解釋性提問(wèn)”的主要原因：“學(xué)習(xí)者可以通過(guò)向自己解釋來(lái)理解新知識(shí).”“使用解釋性提問(wèn)不僅促使學(xué)生回憶信息，而且促使他們綜合、闡述、生成、假設(shè)和解釋信息．從理論上來(lái)說(shuō)……這種提問(wèn)方式是讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程的一種方法．”(1)文中所提到的另外兩個(gè)建議分別是“范例的使用”和“元認(rèn)知策略的訓(xùn)練”

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，除去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身以外，上述方向的思考還具有更普遍的意義：這十分有益于我們學(xué)會(huì)理性思維，包括理性精神的養(yǎng)成，后者可以看成未來(lái)社會(huì)特別需要的一種品質(zhì)，即有助于我們糾正行事過(guò)于倉(cāng)促、過(guò)于任性這一常見(jiàn)的弊病，包括對(duì)于時(shí)髦潮流的盲目追隨．

第二，“如何發(fā)展和優(yōu)化？”這是指，除去單純的“為什么”，我們還應(yīng)十分重視更高層次的思考，即如何能對(duì)已獲得的結(jié)果作出推廣和發(fā)展？如何能夠通過(guò)新的抽象獲得更深刻的認(rèn)識(shí)？我們又如何能對(duì)已有的方法作出改進(jìn)？等等．另外，我們又如何能由已有工作得到更大的收獲？

具體地說(shuō)，這正是“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”的一項(xiàng)基本涵義，即數(shù)學(xué)家們通常并不滿足于簡(jiǎn)單的“問(wèn)題解決”，而是力圖通過(guò)提出新的問(wèn)題和進(jìn)一步的研究不斷取得新的進(jìn)步，如我們能否對(duì)已獲得的結(jié)果作出推廣？在各種看上去并無(wú)聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍性的理論？他們也總是希望達(dá)到更大的簡(jiǎn)單性和精致性，如能否找到更簡(jiǎn)單的證明？又能否對(duì)于相應(yīng)的表述方式(包括符號(hào)等)作出改進(jìn)？等等．

再者，這可以看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在：這主要地不是指知識(shí)和技能的單純積累，也不是指不斷的糾錯(cuò)，而是一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程，包括認(rèn)識(shí)的深化與方法的改進(jìn)等．

鑒于我們的立場(chǎng)，筆者特別強(qiáng)調(diào)“入”和“出”這樣兩個(gè)關(guān)鍵詞，我們不僅應(yīng)當(dāng)十分重視“理解”的工作，如通過(guò)自己的思考使得相應(yīng)的過(guò)程和方法真正成為“可以理解的和可以學(xué)到手的”，而且也應(yīng)高度重視如何能夠?qū)Υ俗鞒鐾茝V，包括超出數(shù)學(xué)發(fā)揮更大的作用．例如，從上述角度我們可以更好地理解以下主張的合理性，即就日常的解題活動(dòng)而言，我們不應(yīng)滿足于順利地解決問(wèn)題，而應(yīng)由單純的“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”(王華語(yǔ))．

更一般地說(shuō)，這就是筆者何以特別強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)的主要原因，即我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一些思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用：“序”的思想與思維的清晰性，“聯(lián)系的觀點(diǎn)”與思維的深刻性，“變化的思想”與思維的靈活性，“總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)”與思維的自覺(jué)性．(詳見(jiàn)文[11])

最后，正如前面已提及的，我們也應(yīng)十分重視個(gè)體的特殊性：“適合自己的才是最好的．”當(dāng)然，我們不應(yīng)將此理解成學(xué)習(xí)上的固步自封，恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)努力做好“創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性”之間的適當(dāng)平衡．

第三，強(qiáng)調(diào)思考并不意味著對(duì)其他各種學(xué)習(xí)形式的絕對(duì)排斥，恰恰相反，這正是所謂的“多元表征理論”(可參見(jiàn)文[12])給予我們的一個(gè)重要啟示，即人們的思維活動(dòng)往往與其他一些活動(dòng)密切相關(guān)，后者對(duì)此具有重要的促進(jìn)作用．

例如，就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，所謂的“動(dòng)手實(shí)踐”就是特別重要的一個(gè)方面，特別是，鑒于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，這甚至可以看成不可或缺．當(dāng)然，就這方面的具體工作而言，我們應(yīng)堅(jiān)持這樣一個(gè)原則：不應(yīng)為動(dòng)手而動(dòng)手，而應(yīng)更加注重“以動(dòng)促思”，即以動(dòng)手促進(jìn)自己的思考．

在此筆者特別強(qiáng)調(diào)“畫(huà)圖”的重要性．從理論的角度看，這也同樣涉及到了“內(nèi)”與“外”之間的關(guān)系，只是其重點(diǎn)并非“活動(dòng)的內(nèi)化”，而是思維的“顯性化”或“可視化”．由以下論述我們可以很好地認(rèn)識(shí)“思維外化”(具象化)的重要性，盡管其直接論及的只是“編程思維”：“通過(guò)把原本抽象的程序具象化，我們可以對(duì)其進(jìn)行全局審視和局部聚焦，不斷地進(jìn)行修改和完善……如果一個(gè)想法只是裝在我們的腦子里，我們往往會(huì)認(rèn)為自己對(duì)它足夠熟悉，而很少會(huì)對(duì)它進(jìn)行不同角度的審視和思考，也就很難發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題和缺陷．可是一旦把它寫(xiě)出來(lái)(畫(huà)出來(lái)——注)，我們就能梳理清楚它的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，仔細(xì)斟酌并完善其中的每個(gè)細(xì)節(jié)．在這個(gè)過(guò)程中，我們還可以讓更多的人加入進(jìn)來(lái)，利用集體的智慧來(lái)避免個(gè)人認(rèn)知和視角的局限．”[13]

顯然，由以上論述我們也能引出這樣一個(gè)結(jié)論：相對(duì)于“直觀性”而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視圖形對(duì)于思維的輔助和促進(jìn)作用，這也是指，相對(duì)于一般所謂的“直觀圖”或“幾何圖形”而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視“流程圖”和“概念圖”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用．由此我們可以更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍意義，因?yàn)?，?shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯然十分有益于我們很好地掌握所說(shuō)的方法，后者可以、并且事實(shí)上已在各個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用．

總之，我們既應(yīng)高度重視各種學(xué)習(xí)方式的綜合應(yīng)用，又應(yīng)很好地落實(shí)這樣一個(gè)要求，即應(yīng)以各種方式促進(jìn)思維，而不應(yīng)喧賓奪主．

最后，為了避免錯(cuò)誤的解讀，筆者特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：

其一，我們是否可以完全不去考慮考試成績(jī)的提高？恰恰相反，上述建議事實(shí)上也可以看成為我們?nèi)绾文軌蛱嵘约航鉀Q問(wèn)題的能力，從而也就能在各種考試中取得較好成績(jī)提供了一條“正道”，這也是指，與機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿相對(duì)照，我們應(yīng)當(dāng)更加重視思維策略的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，特別是自身思維品質(zhì)的提升．

例如，類(lèi)比聯(lián)想顯然有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn)，包括通過(guò)將事物聯(lián)系起來(lái)加以考察我們即可獲得更深入的認(rèn)識(shí)；通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓覀兛梢愿玫貙?shí)現(xiàn)“化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，包括逐步學(xué)會(huì)從不同的角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題；再者，借助“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”我們可以實(shí)現(xiàn)更大的自覺(jué)性，特別是，使相應(yīng)的思維過(guò)程對(duì)于自身而言真正成為“可以理解的，可以學(xué)到手和可以推廣應(yīng)用的”．

其二，如果自已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感到十分輕松，如對(duì)教師課堂上的講授一聽(tīng)就懂，做作業(yè)時(shí)也沒(méi)有任何特別的困難，上面所講的對(duì)我而言是否就不具有任何意義？事實(shí)上，這也正是筆者的一個(gè)親身體驗(yàn)：盡管在校學(xué)習(xí)期間自己的成績(jī)一直不錯(cuò)，卻只是在走上工作崗位的多年以后才認(rèn)識(shí)到了未能盡早思考更重要的一些問(wèn)題所造成的嚴(yán)重后果，甚至更可說(shuō)因此而浪費(fèi)了大量的時(shí)間和精力．還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，就如何更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)而言，上面的論述也有重要的啟示意義．相信讀者由下一節(jié)的論述可以更好地體會(huì)到這樣一點(diǎn)，因?yàn)?，這些方面在現(xiàn)實(shí)中常常未能獲得人們的足夠重視，但它們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上也非常重要．

4 聚焦“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”(2)：其他一些重要的方面

第一，總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)．

不同于一般所謂的反思，即我們?nèi)绾文軌蚯宄卣J(rèn)識(shí)與有效糾正自己的缺點(diǎn)與錯(cuò)誤，數(shù)學(xué)中所說(shuō)的反思具有更廣泛的涵義，并與再認(rèn)識(shí)有著直接的關(guān)系，這也是指，我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)進(jìn)一步的分析思考，包括更高層次的抽象等，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的不斷深化．

這事實(shí)上也可以看成數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式：除去“由少到多、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”這一明顯的趨勢(shì)以外，存在相反方向上的發(fā)展，即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)深入研究很好地實(shí)現(xiàn)“化多為少、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”．例如，我們應(yīng)從這一角度更好地理解數(shù)學(xué)的高度抽象性，包括人們?yōu)槭裁磿?huì)將此稱(chēng)為“自反抽象”，并因此而認(rèn)定數(shù)學(xué)發(fā)展主要?dú)w結(jié)為“縱向的發(fā)展”，而不只是同一層次上的擴(kuò)展．

又如華羅庚先生的以下論述所清楚表明的，上述的辯證運(yùn)動(dòng)也可以看成我們?nèi)绾文軌蛘嬲龊脤W(xué)習(xí)的關(guān)鍵，盡管他使用的語(yǔ)言并不完全相同：“由薄到厚是學(xué)習(xí)、接受的過(guò)程，由厚到薄是消化、提煉的過(guò)程.”“經(jīng)過(guò)‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過(guò)程，對(duì)所學(xué)的東西做到懂，徹底懂，經(jīng)過(guò)消化的懂，我們的基礎(chǔ)就算是真正打好了．”[14]不難想到，這里所說(shuō)的“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”事實(shí)上也可以看成我們很好地實(shí)現(xiàn)“消化”與“提煉”的基本途徑．

當(dāng)然，我們不應(yīng)將所說(shuō)的“縱向發(fā)展”與“橫向發(fā)展”簡(jiǎn)單對(duì)立起來(lái)，而應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)兩者之間的辯證關(guān)系，特別是，相對(duì)于單純的積累而言(無(wú)論就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，或是“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”而言)，我們更加重視如何能夠通過(guò)“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”很好實(shí)現(xiàn)由“局部性認(rèn)識(shí)”向“整體性把握”的過(guò)渡，包括逐步建立結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)，真正做好“突出重點(diǎn)，以主帶次”．

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，即使就日常的學(xué)習(xí)活動(dòng)而言，后一方面的思考也有十分重要的意義．例如，如果我們?cè)诮忸}過(guò)程中遇到了很大困難，這時(shí)就不應(yīng)始終局限于單一方向上的思考，乃至唯一集中于如何能夠盡快地解決問(wèn)題，而應(yīng)跳出這一框架從更大的范圍進(jìn)行分析思考，如什么是近期學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？什么是要解決的主要問(wèn)題？主要的難點(diǎn)是什么？什么又可以看成突破難點(diǎn)的主要手段或方法？等等——盡管這些思考似乎已在一定程度上偏離了當(dāng)前的任務(wù)，但又正如“居高臨下”這一成語(yǔ)所清楚表明的，相關(guān)思考往往會(huì)對(duì)我們順利地解決所面對(duì)的問(wèn)題有很大的幫助．

最后，上述分析更清楚地表明了學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間思考”的重要性，因?yàn)樯钊氲姆治鏊伎?、特別是“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”都不可能單純依靠“快思”得到完成，這更可以看成真正的數(shù)學(xué)工作(乃至一般性創(chuàng)造性工作)的一個(gè)重要特征．

第二，努力提升自身提出問(wèn)題的能力．

這事實(shí)上可以看成中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的一個(gè)特征，即教師特別善于通過(guò)適當(dāng)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行思考，從而在充分發(fā)揮引領(lǐng)作用的同時(shí)，也能很好地落實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位．顯然，依據(jù)這一分析我們可以清楚認(rèn)識(shí)“學(xué)會(huì)提問(wèn)”對(duì)于學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的特殊重要性：屆時(shí)我們就可由主要是在教師引領(lǐng)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)適當(dāng)提問(wèn)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)上的自我引領(lǐng)，也即真正成為學(xué)習(xí)的主人．

由“元認(rèn)知”在解題活動(dòng)中作用的分析相信讀者對(duì)此有更好的認(rèn)識(shí)．具體地說(shuō)，所謂“元認(rèn)知”，是指解題者對(duì)于自身正在從事的解題活動(dòng)(包括解題策略的選擇、整個(gè)過(guò)程的組織、目前所從事的工作在整個(gè)解題過(guò)程中作用等)能夠始終保持清醒的自我意識(shí)，并能通過(guò)自我分析和評(píng)估及時(shí)作出必要調(diào)整．顯然，元認(rèn)知水平的提升十分有助于我們有效地防止與糾正“盲目干”這樣一個(gè)現(xiàn)象，后者既包括解題者不加思考地就投入到某一方向之中，也是指其始終未能作出及時(shí)的評(píng)估與調(diào)整，而是“一股勁地走到頭”，但卻未能取得任何的進(jìn)展，或是盡管取得了某些結(jié)果但卻對(duì)于最終解決問(wèn)題毫無(wú)作用．進(jìn)而，這又可以看成我們?nèi)绾文軌蛴行嵘陨碓J(rèn)知水平最重要的一個(gè)途徑，即在平時(shí)的解題活動(dòng)中應(yīng)當(dāng)經(jīng)常問(wèn)自己這樣三個(gè)問(wèn)題：我正在做什么？為什么要這樣做？這樣做了究竟產(chǎn)生了怎樣的效果？

另外，依據(jù)先前的分析可以發(fā)現(xiàn)：適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)也是我們真正做好“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的關(guān)鍵．又因?yàn)闊o(wú)論是后者或是“元認(rèn)知”都清楚地表明了主體是否在學(xué)習(xí)活動(dòng)中表現(xiàn)出了較大自覺(jué)性，由此我們可以更清楚地認(rèn)識(shí)“學(xué)會(huì)提問(wèn)”對(duì)于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的特殊重要性．

最后，我們也應(yīng)超出學(xué)習(xí)、并從更一般的角度認(rèn)識(shí)學(xué)會(huì)提問(wèn)的重要性，特別是這直接關(guān)系到了創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因?yàn)樘岢鰡?wèn)題的能力應(yīng)當(dāng)說(shuō)比解決問(wèn)題的能力更加重要．再者，這當(dāng)然也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)事實(shí)，即中國(guó)學(xué)生往往不善于提出問(wèn)題，從而就應(yīng)切實(shí)地加強(qiáng)．

例如，從教學(xué)的角度看，我們應(yīng)當(dāng)十分重視保護(hù)學(xué)生的提問(wèn)積極性，而不要因?yàn)橐恍┎磺‘?dāng)?shù)淖龇ㄊ顾麄冎鸩阶兊貌桓覇?wèn)、不愛(ài)問(wèn)、不善問(wèn)．當(dāng)然，作為問(wèn)題的另一方面，我們也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn)：正如解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，提出問(wèn)題能力的提升同樣主要依賴(lài)于后天的學(xué)習(xí)．因此，片面強(qiáng)調(diào)“學(xué)生所提的問(wèn)題都是合理的”只會(huì)起到誤導(dǎo)的作用，恰恰相反，無(wú)論是教師或?qū)W生都應(yīng)在這方面作出更大的努力，包括將這一思想很好地滲透于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之中．例如，這事實(shí)上也正是數(shù)學(xué)發(fā)展的又一重要特征，即每個(gè)數(shù)學(xué)分支都有自己的基本問(wèn)題，相關(guān)理論就是圍繞這些問(wèn)題逐步得到建立的．因此，我們應(yīng)將問(wèn)題的清楚界定與適當(dāng)表征看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，并通過(guò)這一途徑逐步提升自身提出問(wèn)題的能力．

第三，學(xué)會(huì)合作．

由以下論述我們可以清楚地認(rèn)識(shí)到學(xué)會(huì)合作的重要性：“到了21世紀(jì)，我們大部分人將與他人一同協(xié)作，相互提供服務(wù)……我們必須意識(shí)到，工作的固有尊嚴(yán)來(lái)自人與人的關(guān)系，而非人與物的關(guān)系．我們必須意識(shí)到，好的工作就是與他人溝通交流，理解他們的期許與需求……”[3]

當(dāng)然，相對(duì)于這種一般性的論述，我們應(yīng)深入地思考“學(xué)會(huì)合作”對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)、特別是促進(jìn)自身思維發(fā)展的特殊重要性，包括我們?nèi)绾尾拍芎芎玫貙?shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo)．

例如，相對(duì)于“大聲地說(shuō)，清楚地表達(dá)”這種一般性要求而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視“想清楚了再講”，即應(yīng)當(dāng)在表達(dá)前先對(duì)自己頭腦中的想法作出認(rèn)真的自我梳理、審視與必要的調(diào)整；再例如，相對(duì)于“仔細(xì)地聽(tīng)”這一要求，我們應(yīng)更加重視比較與分析的工作，因?yàn)槠渌说目捶ɑ蜃龇槲覀冞M(jìn)行深入思考提供了重要背景，我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)不同想法或主張(包括主體原有想法)的比較分析實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的不斷優(yōu)化．

當(dāng)然，作為必要的平衡，我們也應(yīng)“學(xué)會(huì)獨(dú)處”，而這不僅可以看成是由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的性質(zhì)所直接決定的(這主要依賴(lài)于主體的獨(dú)立思考)，也可以看成這樣一個(gè)主張的必然要求，即我們應(yīng)當(dāng)努力養(yǎng)成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的習(xí)慣和能力，特別是具有較強(qiáng)的反省意識(shí)，包括超出數(shù)學(xué)、并從更一般的角度進(jìn)行分析思考．

例如，著名學(xué)者周?chē)?guó)平先生就曾指出：“怎樣才能使靈魂豐富呢？欣賞藝術(shù)，欣賞大自然，情感的經(jīng)歷和體驗(yàn)，這些都很重要．除此以外……要養(yǎng)成過(guò)內(nèi)心生活的習(xí)慣．人應(yīng)該留一點(diǎn)時(shí)間給自己，和自己的靈魂在一起，靜下來(lái)，想一想人生的問(wèn)題，想一想自己的生活狀況……我承認(rèn)交往是一種能力，但獨(dú)處是一種更重要的能力，缺乏這種能力是更大的缺陷．”[15]更一般地說(shuō)，這也正是現(xiàn)代人必須具備的又一基本素養(yǎng)：“世界變化得越快……對(duì)我們生活方方面面改變得越多，每個(gè)人就越需要放慢速度……當(dāng)你按下一臺(tái)機(jī)器的暫停鍵時(shí)，它就停止運(yùn)轉(zhuǎn)了．但是，當(dāng)一個(gè)人給自己暫停一下的時(shí)候，他就重新開(kāi)始了．你開(kāi)始反思，你開(kāi)始重新思考你的假設(shè)前提，你開(kāi)始以一種新的角度重新設(shè)想什么是可能做到的，而且，最重要的是，你內(nèi)心開(kāi)始與你內(nèi)心深處最堅(jiān)定的信仰重新建立聯(lián)系……”[3]

最后，筆者愿意再次強(qiáng)調(diào)“學(xué)會(huì)自律、自立”的重要性，這不僅是因?yàn)檫@兩者應(yīng)被看成“做好合作”的必要前提，更重要的是，上述各項(xiàng)要求就總體而言為我們?nèi)绾文軌驅(qū)W好數(shù)學(xué)指明了努力方向，但是，假如我們不能在這些方面做出切實(shí)努力，特別是通過(guò)自律、自立不斷取得新的進(jìn)步，那么所說(shuō)的一切顯然就都只是純粹的空談．

另外，上面的論述當(dāng)然也不應(yīng)看成已經(jīng)窮盡了所有重要的方面，恰恰相反，我們應(yīng)通過(guò)積極實(shí)踐和深入思考作出進(jìn)一步的分析思考．這事實(shí)上也應(yīng)看成一個(gè)十分重要的方面，即辯證思維的指導(dǎo)，特別是，我們應(yīng)處理好這樣一些辯證關(guān)系：“學(xué)生取得自己的樂(lè)趣與滿足教師的要求”“創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性”“內(nèi)在的思維活動(dòng)與外部的活動(dòng)或表現(xiàn)”“合作與獨(dú)處”，等等．

當(dāng)然，對(duì)于后者我們也應(yīng)聯(lián)系自己的學(xué)習(xí)作出進(jìn)一步的分析總結(jié)．例如，我們應(yīng)當(dāng)如何處理“快與慢”之間的關(guān)系，特別是，我們不應(yīng)單純從時(shí)間的維度上去進(jìn)行理解，而應(yīng)更加注重相應(yīng)的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題，在學(xué)習(xí)中應(yīng)“當(dāng)快則快，當(dāng)慢則慢”，特別是，既不應(yīng)在形式等方面花費(fèi)過(guò)多時(shí)間，又應(yīng)舍得花時(shí)間進(jìn)行深層次思考，特別是做好總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)的工作．再者，這也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視的一點(diǎn)，就是既要十分重視方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，又要始終保持頭腦的開(kāi)放性和批判性，特別是，要清楚認(rèn)識(shí)各種方法都有一定的適用范圍或局限性，并努力做到“以正合，以奇勝．”

5 結(jié)語(yǔ)

盡管以上論述主要針對(duì)學(xué)生而言，但對(duì)教師如何做好數(shù)學(xué)教學(xué)顯然也有重要的啟示意義．建議相關(guān)讀者還可聯(lián)系以下兩個(gè)問(wèn)題與相關(guān)的解答對(duì)此作出進(jìn)一步的思考：

第一，“‘你為什么要當(dāng)教師？’才當(dāng)教師的時(shí)候，我可能只是想以此謀生．隨著時(shí)間的推移，現(xiàn)在的我愿意這樣回答：‘我當(dāng)老師，是想讓一些人有所改變．’”[16]

第二，“從過(guò)程看，文化的實(shí)質(zhì)就是找到美好的、值得追求的東西，然后用這樣的東西去影響人、改變?nèi)耍谷俗兊妹篮茫盵17]

簡(jiǎn)言之，作為一名教師，作為一名文化繼承者，我們應(yīng)經(jīng)常地捫心自問(wèn)：自己是否真的為學(xué)生提供了最好的東西？