摭談“尺規(guī)作圖”問題的育人價(jià)值*

鐘珍玖 張煒鈺 (江蘇省江陰市第一初級(jí)中學(xué) 214432)

1 尺規(guī)作圖問題概述

所謂“尺規(guī)作圖”就是限定作圖工具為沒有刻度的直尺和圓規(guī)來畫幾何圖形．最為著名的是三大幾何作圖問題：化圓為方、三等分任意角、倍立方.這三大“尺規(guī)作圖”問題在數(shù)學(xué)史上引起了很多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者的興趣，直到1673年，笛卡爾創(chuàng)建解析幾何以后，通過“證偽”說明了三大作圖問題的不可能性，問題才得以解決．但是，人們對(duì)尺規(guī)作圖問題研究的步伐還在延續(xù)．

2 尺規(guī)作圖問題的特征

尺規(guī)作圖問題由于其鮮明的歷史背景，決定了其特有的文化意蘊(yùn)，在尺規(guī)作圖的發(fā)展歷程中充滿了故事．解決尺規(guī)作圖問題的過程就是畫圖探究的過程，通過分析推理，探索把問題轉(zhuǎn)化為何種基本尺規(guī)作圖問題．作圖問題的方法不唯一，因此作圖方法具有開放性．

2.1 尺規(guī)作圖問題的文化性

尺規(guī)作圖起源于古希臘人對(duì)于幾何作圖問題的研究，公元前5世紀(jì)時(shí)數(shù)學(xué)史上的三大作圖問題被提出．此后的二千多年中很多的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者都對(duì)三大作圖問題產(chǎn)生了濃厚的興趣，直到1873年萬芝爾在研究阿貝爾定理的化簡(jiǎn)時(shí)才證明了三等分任意角和倍立方體的尺規(guī)作圖不可能問題．這些經(jīng)典的數(shù)學(xué)故事,可以極大地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史的了解，更好地傳播數(shù)學(xué)文化．尺規(guī)作圖問題不僅提供了存在性的證明方法，還產(chǎn)生了“證偽”的思維方式，推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，具有豐富的文化價(jià)值．

2.2 尺規(guī)作圖問題的探究性

尺規(guī)作圖問題雖然作圖條件給定，作圖結(jié)果也確定，但是尺規(guī)作圖問題并不等同于一般的幾何演繹推理問題，尺規(guī)作圖問題所要作的圖形結(jié)果是未知的，需要學(xué)生借助分析法逆向思考，不斷探究才能作出符合條件的圖形，有時(shí)作圖的方法也具有多樣性，并且有的作法不容易發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖的問題充滿著探究的味道．

2.3 尺規(guī)作圖問題的創(chuàng)新性

很多尺規(guī)作圖問題，其構(gòu)圖方法具有多樣性，往往需要借助直觀猜想，結(jié)合邏輯推理進(jìn)行廣泛的聯(lián)想，不僅要求作圖者思維縝密，更要能突破思維的局限，敢于和善于創(chuàng)新才能解決問題．從形式上看尺規(guī)作圖問題是作圖方式上的創(chuàng)造，實(shí)質(zhì)上是思維方式的創(chuàng)新，創(chuàng)新性是尺規(guī)作圖問題的最為重要的特征．

3 尺規(guī)作圖問題的育人價(jià)值及教學(xué)建議

尺規(guī)作圖問題的結(jié)果是作出符合條件的圖形，但僅有畫圖技能是不能解決問題的，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力和探究意識(shí)，還需要思維靈活、縝密、創(chuàng)新．從尺規(guī)作圖問題的特征來看，尺規(guī)作圖問題有如下的育人價(jià)值.

3.1 培養(yǎng)學(xué)生探究與推理融匯的意識(shí)

從教學(xué)實(shí)踐來看，很多一線教師僅僅把尺規(guī)作圖看成是畫圖技能的訓(xùn)練，不重視畫圖原理的教學(xué)，從而失去培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力的寶貴機(jī)會(huì)．實(shí)際上，數(shù)學(xué)教材中的尺規(guī)作圖問題也是培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)和探究能力的很好素材，教師要設(shè)計(jì)好呈現(xiàn)方式和呈現(xiàn)的順序，讓學(xué)生學(xué)會(huì)在推理中探究畫圖方法，在多樣性的畫圖方法探究中增強(qiáng)推理意識(shí)和推理能力．

案例1蘇科版八年級(jí)上冊(cè)“用直尺和圓規(guī)畫線段AB的垂直平分線”．

在學(xué)習(xí)了垂直平分線的性質(zhì)和判定定理的基礎(chǔ)上，蘇科版教材編排了用直尺和圓規(guī)畫線段AB的垂直平分線，這樣的安排從知識(shí)的應(yīng)用和思維的順暢來看比較自然合理，但是失去了畫線段的垂直平分線的“探究味”．筆者嘗試在學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)之后，再要求學(xué)生用尺規(guī)作圖畫線段AB的垂直平分線，這樣的安排需要學(xué)生充分領(lǐng)會(huì)尺規(guī)作圖的特點(diǎn)，問題具有很強(qiáng)的探究性、開放性、發(fā)散性.學(xué)生得到以下兩種畫法.

圖1 圖2

3.2 培養(yǎng)直觀猜想與推理論證結(jié)合的習(xí)慣

尺規(guī)作圖問題的特征決定了其必然為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，在解答時(shí)需要有科學(xué)的思維方式，以分析法為基礎(chǔ)，借助邏輯推理解決問題，或者以直觀猜想為思維的突破口，再進(jìn)行推理論證，驗(yàn)證猜想的正確性．

案例2如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6,4)．

圖3

(1)請(qǐng)用直尺(不帶刻度)和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等．(作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡)

(2)問：(1)中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請(qǐng)說明理由；若不唯一，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．[1]

此問題的兩個(gè)小題實(shí)質(zhì)是同一個(gè)問題，命題者為了使試題有一定的梯度，降低試題的難度設(shè)置了兩個(gè)問題．所作直線AC要求滿足∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等兩個(gè)限制條件，即使用分析法假設(shè)直線AC已經(jīng)作好，因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)C都是動(dòng)點(diǎn)，很難確定點(diǎn)A,C的位置，由∠ABC=90°直觀地猜想，當(dāng)四邊形OABC是矩形時(shí)，顯然也滿足△ABC與△AOC的面積相等，從而問題(1)就很容易解決．問題(2)的解決依然依賴幾何直觀，因?yàn)閱栴}中只有點(diǎn)O和點(diǎn)B是定點(diǎn)，當(dāng)AC是線段OB的垂直平分線時(shí)，OA=AB，OC=BC，由等邊對(duì)等角易得∠ABC=∠AOC=90°，△ABC與△AOC的面積也相等．

從這兩個(gè)問題的解決過程來看，由特殊情形入手，通過直觀猜想發(fā)現(xiàn)問題的解決策略，再運(yùn)用邏輯推理證明猜想的正確性，從而解決復(fù)雜的尺規(guī)作圖問題，這種方法貫穿于整個(gè)幾何的學(xué)習(xí)過程中.教師在教學(xué)過程中，要有意識(shí)加強(qiáng)示范和引導(dǎo)，更多地創(chuàng)設(shè)有利于培養(yǎng)學(xué)生直覺思維的情境，潛移默化地讓學(xué)生形成把直觀猜想與推理論證相結(jié)合的習(xí)慣，為學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

3.3 培養(yǎng)科學(xué)思辨與創(chuàng)新思維的精神

尺規(guī)作圖問題的結(jié)果是確定的幾何圖形，但是實(shí)現(xiàn)結(jié)果的方法往往是多樣的，表現(xiàn)出較大的靈活性，構(gòu)圖方法創(chuàng)新性強(qiáng)，解決問題的過程伴隨著分析、推理、判斷等思維活動(dòng)，能夠通過作圖認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，辨別思維的對(duì)錯(cuò)與優(yōu)劣．

案例3用尺規(guī)作圖作圓的內(nèi)接正三角形．

蘇科版九年級(jí)下冊(cè)“正多邊形與圓”一節(jié)中，教材“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”問題設(shè)置：用尺規(guī)作圖畫圓的內(nèi)接正六邊形，再讓學(xué)生畫圓的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正十二邊形．把問題直接改編為用尺規(guī)作圖作圓的內(nèi)接正三角形，缺少了作正六邊形的思維腳手架，解決問題需要有創(chuàng)新構(gòu)圖能力和創(chuàng)新思維的方法．

方法1 如圖4，在⊙O上任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點(diǎn)B，再以點(diǎn)B為圓心、OA為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)C，以此方法依次作點(diǎn)D,E，則△ACE為⊙O的內(nèi)接正三角形．

圖4 圖5 圖6

方法2 如圖5，經(jīng)過圓心O作任意一條直徑AB，以點(diǎn)A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點(diǎn)C，以點(diǎn)B為圓心、CB為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)D，則△BCD就是所要作的⊙O的內(nèi)接正三角形．

方法3 如圖6，經(jīng)過圓心O作任意一條直徑AB，以點(diǎn)A為圓心、OA為半徑畫弧與⊙O交于點(diǎn)C,D，則△BCD為⊙O的內(nèi)接正三角形．

方法2先畫了60°的圓周角，從而可以構(gòu)造120°的圓心角，然后利用在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，作出圓的內(nèi)接等邊三角形．方法1是把問題先轉(zhuǎn)化為畫圓的內(nèi)接正六邊形，然后間隔一個(gè)頂點(diǎn)連結(jié)就完成作圖，其本質(zhì)依然是構(gòu)造120°的圓心角，利用圓的性質(zhì)來作正多邊形．方法3也是構(gòu)造120°的圓心角，從整體的視角出發(fā)構(gòu)圖，畫法簡(jiǎn)潔，思維的創(chuàng)新度高．通過畫法的對(duì)比，可以有效提高學(xué)生的思辨能力和思維方式．在尺規(guī)作圖問題教學(xué)中，建議教師對(duì)教材中的問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幓蛘吒淖兂尸F(xiàn)的方式，鼓勵(lì)學(xué)生思維創(chuàng)新，在思維的比較和碰撞中提高思辨能力，提升核心素養(yǎng)．

尺規(guī)作圖問題不僅能培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，在培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識(shí)和理性精神方面也有其獨(dú)特的作用，同時(shí)還能傳播數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，值得數(shù)學(xué)教育者的深入研究和探討，希望此文能引起同行更為深入的研究．