幾類廣義凸函數(shù)的等價(jià)刻畫

韓淑霞， 韓志斌， 黃永忠

(華中科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，武漢 430074)

1 引 言

一般數(shù)學(xué)分析教材都對(duì)凸函數(shù)(也是本文中的AA-凸函數(shù))給出了其等價(jià)刻畫的性質(zhì)，比如教材[1]和文獻(xiàn)[2-3]中給出了割線刻畫、切線刻畫、一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性刻畫和二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)刻畫、區(qū)間端點(diǎn)的凸函數(shù)性態(tài)等等. 文獻(xiàn)[4]介紹了凸函數(shù)較全面的等價(jià)刻畫.

廣義凸函數(shù)(見下面定義2)多年來受到持續(xù)關(guān)注，主要研究在于各類不等式方面，其中各種平均值不等式具有非常重要且廣泛的應(yīng)用，文獻(xiàn)很多，不在此列舉[5-7]. 受文獻(xiàn)[5-10]的啟發(fā)，本文主要關(guān)注廣義凸函數(shù)的等價(jià)刻畫. 文獻(xiàn)[9]給出了f(x)在區(qū)間(a,b)(b>a>0)上是HA-凸函數(shù)(稱為調(diào)和算術(shù)凸函數(shù))的充分必要條件是函數(shù)xf(x)在區(qū)間(a,b)上是凸函數(shù)，而文獻(xiàn)[10]中給出了其充分必要條件是函數(shù)f(x-1)在區(qū)間(b-1,a-1)上是凸函數(shù). 由等價(jià)關(guān)系的傳遞性，xf(x)在區(qū)間(a,b)上是凸函數(shù)等價(jià)于f(x-1)在區(qū)間(b-1,a-1)上是凸函數(shù),首先，在命題1中對(duì)這個(gè)等價(jià)性給出了直接證明. 由于HG-凸函數(shù)通過對(duì)數(shù)運(yùn)算化為HA-凸函數(shù)，HH-凸函數(shù)通過倒數(shù)運(yùn)算化為HA-凹函數(shù)，所以由命題1就推出了HG-凸函數(shù)和HH-凸函數(shù)的各自等價(jià)刻畫(推論1和推論2). 其次，通過引理1給出了GA-凸函數(shù)的等價(jià)刻畫，并與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的兩個(gè)不同結(jié)果一起構(gòu)成命題2中的GA-凸函數(shù)等價(jià)刻畫. 類似于推論1和2的建立思想，給出GG-凸函數(shù)和GH-凸函數(shù)的等價(jià)刻畫(推論3和推論4).

用經(jīng)典凸函數(shù)來等價(jià)刻畫廣義凸函數(shù)，既能豐富判別各種廣義凸函數(shù)的手段，又能促進(jìn)我們從不同角度對(duì)各種廣義凸函數(shù)有更深刻的認(rèn)識(shí).

2 一些記號(hào)和定義

首先根據(jù)要研究的各種凸性，給出平均數(shù)和凸函數(shù)的概念.

定義1[10]對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b∈(0,+∞)，?t∈[0,1]，定義a,b的算術(shù)平均為

At(a,b)=(1-t)a+tb，

(1)

a,b的幾何平均為

Gt(a,b)=a1-tbt，

(2)

a,b的調(diào)和平均為

(3)

定義2[10]設(shè)區(qū)間I?(0,+∞)，函數(shù)f∶I→(0,+∞)，并設(shè)對(duì)任意x,y∈I和任意t∈[0,1]，Mt(x,y)和Nt(x,y)均表示式(1)-(3)中的某種平均數(shù). 若f滿足

f(Mt(x,y))≤Nt(f(x),f(y)),

(4)

則稱f為I上的MN-凸函數(shù)，并統(tǒng)稱它們?yōu)閺V義凸函數(shù). 若將“≤”改為“<”，則稱f為I上的嚴(yán)格MN-凸函數(shù).

當(dāng)將“≤”改為“≥”時(shí)，則稱f為I上的MN-凹函數(shù)，并統(tǒng)稱它們?yōu)閺V義凹函數(shù). 若將“≥”改為“>”，則稱f為I上的嚴(yán)格MN-凹函數(shù).

注1 若M，N都為A(算術(shù)平均)，則f為通常所見到的凸函數(shù)(為避免混淆，本文某些地方稱其為經(jīng)典凸函數(shù))； 若M為H(調(diào)和平均)、N為G(幾何平均)時(shí)，則f為I上的HG-凸函數(shù). 按此意義，依次理解HH-凸函數(shù)、GH-凸函數(shù)、GG-凸函數(shù)等概念.

注2 若f為開區(qū)間I上的廣義凸函數(shù)，則f在I上連續(xù)； 進(jìn)而f在I上的局部廣義凸性和整體廣義凸性等價(jià). 以f在I上是凸函數(shù)為例，f在I上的整體凸和局部凸等價(jià)是指：對(duì)任意x,y∈I和任意t∈(0,1)有f(At(x,y))≤At(f(x),f(y))，等價(jià)于對(duì)任意的x,y∈I,存在t0∈(0,1)使得f(At0(x,y))≤At0(f(x),f(y)).這個(gè)結(jié)論見文獻(xiàn)[4]中的引理1，HA-凸函數(shù)的相應(yīng)結(jié)論見文獻(xiàn)[9]中的定理5.

基于注2，本文在開區(qū)間上討論函數(shù)的凸性時(shí)不再強(qiáng)調(diào)其連續(xù)，取t0=1/2是常見的.

3 廣義凸函數(shù)的等價(jià)刻畫

由文獻(xiàn)[9]和[10]得到下面的命題1，這里主要是給出其(ii)，(iii)等價(jià)的直接證明. 基于此得到HG-凸函數(shù)、HH-凸函數(shù)的等價(jià)刻畫(見推論1和推論2).

命題1設(shè)函數(shù)f(x)定義在開區(qū)間I=(a,b)?(0,+∞)上，則下列結(jié)論互相等價(jià)：

(i)f(x)是區(qū)間I上的HA-凸函數(shù)；

(ii)h(x)=xf(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)；

證(i)與(ii)等價(jià)性的證明見文獻(xiàn)[9]，(i)與(iii)等價(jià)性的證明見文獻(xiàn)[10]. 下面給出(ii)與(iii)的等價(jià)性的證明.

得

由注2知，g(x)=f(x-1)是區(qū)間(b-1,a-1)上的凸函數(shù).

即h(x)=xf(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù).

故徑向下調(diào)和函數(shù)一定是HA-凸函數(shù).

設(shè)f∶I→(0,+∞). 注意到f(x)是區(qū)間(a,b)上的HG-凸函數(shù)是指：?t∈(0,1)，有

兩邊取對(duì)數(shù)得

由命題1立即得到

注意到f(x)是區(qū)間(a,b)上的HH-凸函數(shù)是指：?t∈(0,1)，有

它等價(jià)于

由命題1立即得到

下面給出GA-凸函數(shù)的等價(jià)性結(jié)論(命題2)，為此先給出引理1.

引理1函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是GA-凸函數(shù)等價(jià)于對(duì)?x1,x2,x3∈I且x1

整理得到

[(lnx3-lnx2)][f(x2)-f(x1)]≤[(lnx2-lnx1)][f(x3)-f(x2)].

命題2設(shè)函數(shù)f(x)定義在開區(qū)間I=(a,b)?(0,+∞)上，則下列結(jié)論互相等價(jià)：

(i)f(x)在區(qū)間I上是GA-凸函數(shù)；

(ii)f(ex)在區(qū)間(lna,lnb)上是凸函數(shù)；

(iii)f(be-x)在區(qū)間(0,lnb-lna)上是凸函數(shù).

證記g(x)=f(ex),h(x)=f(be-x)，則g(x)=f(be-(lnb-x)),h(x)=f(elnb-x)且

g(x)=h(lnb-x),h(x)=g(lnb-x).

(5)

(i)?(ii) ?y1,y2,y3∈(lna,lnb)， 且y1

即f(ex)在區(qū)間(lna,lnb)上是凸函數(shù). 上述過程逆推也成立.

(ii)?(iii) 設(shè)g(x)=f(ex)在區(qū)間(lna,lnb)上是凸函數(shù). ?x,y∈(0,lnb-lna),由式(5)有

(iii)?(ii) 設(shè)h(x)=f(be-x)在區(qū)間(0,lnb-lna)上是凸函數(shù). ?x,y∈(lna,lnb),由式(5)有

注意到f(xty1-t)≤[f(x)]t[f(y)]1-t等價(jià)于lnf(xty1-t)≤tlnf(x)+(1-t)f(y)，即lnf(x)在I上是GA-凸函數(shù)，由命題2便可得到GG-凸函數(shù)的等價(jià)刻畫，這便是下面的推論3.

推論3函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是GG-凸函數(shù)等價(jià)于函數(shù)lnf(ex)在區(qū)間(lna,lnb)上是凸函數(shù)，也等價(jià)于函數(shù)1/f(be-x)在區(qū)間(0,lnb-lna)上是凸函數(shù).

推論4函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是GH-凸函數(shù)等價(jià)于函數(shù)1/f(ex)在區(qū)間(lna,lnb)是凸函數(shù)，也等價(jià)于函數(shù)1/f(be-x)在區(qū)間(0,lnb-lna)上是凸函數(shù).

在本節(jié)最后，為完整起見，給出AG-凸函數(shù)和AH-凸函數(shù)的等價(jià)刻畫.

命題3[10]正值函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是AG-凸函數(shù)等價(jià)于函數(shù)lnf(x) 在區(qū)間I上是凸函數(shù)； 正值函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是AH-凸函數(shù)等價(jià)于函數(shù)1/f(x) 在區(qū)間I上是凹函數(shù).

注5 上述命題1～3和推論1～4表明，對(duì)于廣義凸函數(shù)f(x)，可經(jīng)由f(x)與其它某種初等函數(shù)復(fù)合或者四則運(yùn)算后得到的是經(jīng)典凸函數(shù)或者經(jīng)典凹函數(shù)，其意義在于可以用經(jīng)典凸性判斷其廣義凸性.

4 應(yīng) 用

對(duì)于文獻(xiàn)[9]中提到的有關(guān)調(diào)和凸函數(shù)兩個(gè)例子的凸性，可用命題1給予驗(yàn)證.

證令h(x)=xf(x)=x2-sinx，由于h″(x)=2+sinx>0，則h(x)在(0,+∞)上是凸函數(shù). 故由命題1知，f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是HA-凸函數(shù).

在文獻(xiàn)[3]中，得到函數(shù)

在區(qū)間[-1,0)和(0,1]上是經(jīng)典凸函數(shù)，但在區(qū)間[-1,1]上不是經(jīng)典凸函數(shù). 利用本文的結(jié)論，亦可得到該函數(shù)的其它廣義凸性.

例3討論分段函數(shù)

的HA-凸性.

解令

則

在區(qū)間[-1,1]是連續(xù)的，且

分別在區(qū)間(-2/3,0)和區(qū)間(0,1]上大于零，在區(qū)間(-1,-2/3)上小于零. 故g(x)在區(qū)間[-2/3,1]上是經(jīng)典凸函數(shù)，在[-1,-2/3)是經(jīng)典凹函數(shù). 由命題1可推出，f(x)在區(qū)間[-2/3,1]上是HA-凸函數(shù)，在區(qū)間[-1,-2/3)是HA-凹函數(shù).

由于冪函數(shù)是一類非常重要的初等函數(shù)，對(duì)其各類廣義凸性的認(rèn)識(shí)有助于我們對(duì)各種廣義凸函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解.

例4設(shè)α≠0，給出冪函數(shù)f(x)=xα(0

解利用命題1～3和推論1～4中對(duì)函數(shù)的各種廣義凸性的等價(jià)刻畫，給出冪函數(shù)的各種廣義凸性，其結(jié)論用下面的表1給出.

表1 冪函數(shù)f(x)=xα(0

5 結(jié) 論

現(xiàn)將命題1～3和推論1～4中各種廣義凸函數(shù)的等價(jià)刻畫結(jié)論，總結(jié)為表2. 結(jié)論表明函數(shù)f(x)的各種廣義凸性均可用其與其它某種初等函數(shù)復(fù)合或四則運(yùn)算后得到的函數(shù)的經(jīng)典凸或者經(jīng)典凹來等價(jià)刻畫. 最后用等價(jià)刻畫命題重新討論了文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[3]中的三個(gè)不同函數(shù)的調(diào)和凸性，以及冪函數(shù)的各種廣義凸性，使我們對(duì)各種廣義凸函數(shù)有了更深刻的認(rèn)識(shí).

表2 各種廣義凸函數(shù)的等價(jià)刻畫總結(jié)

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.