微波布拉格衍射實驗中異常峰值出現(xiàn)的原因分析

張一航,蓋 磊

(1.中國海洋大學 海洋與大氣學院,山東 青島 266100；2.中國海洋大學 物理與光電工程學院，山東 青島 266100)

1913年，布拉格父子在研究X射線在晶面上的反射時得到了著名的布拉格公式。自此之后，布拉格衍射在分析晶體結構等方面得到了廣泛的應用[1,2]。微波同X射線一樣也是電磁波，其波長相對較長，可以采用晶格常數(shù)為厘米量級的模擬晶體進行微波布拉格衍射實驗，驗證布拉格公式[3]。

使用(100)晶面進行布拉格實驗，當入射角較大時，會出現(xiàn)數(shù)個不符合布拉格公式的異常峰值。由于微波本身并不是平面波，而是球面波，出射微波存在一定的張角，當入射角較大時，出射微波可能被接收喇叭直接接收到。據(jù)此分析，異常峰值的出現(xiàn)，可能為反射波與出射微波直接作用，發(fā)生干涉加強所致。為驗證此分析，進行了理論推導，求得了出射微波能被直接接收的臨界入射角，并在其約束下求得了異常峰值出現(xiàn)的理論角度值。

就此問題，已進行過的研究在求解臨界角時只考慮了發(fā)射喇叭的張角[4]，未考慮接收喇叭的接收范圍，這會使求得的臨界角偏大、約束條件過于嚴格，不能解釋實驗中出現(xiàn)的所有異常峰值。文章在確定臨界角時，綜合考慮了發(fā)射喇叭和接收喇叭張角的影響，推算了更為精確的臨界角，在其約束下，對實驗中出現(xiàn)的所有異常峰值進行了解釋。

1 實驗條件

采用DH926B微波實驗儀，(100)型模擬晶面陣的晶格常數(shù)d=4.0 cm，微波波長λ=3.303 cm。

用(100)型模擬晶面陣作為散射點陣面時，以60°為起始角度、以1°為間隔改變?nèi)肷浣铅眨瑴y量每一φ值對應的電流強度I[5]。

2 異常峰值產(chǎn)生的原理

2.1 原理綜述

用發(fā)射喇叭直接發(fā)射出的微波干涉加強后能產(chǎn)生明顯異常峰值的反射波有兩種，一種是第一層晶面上的反射波，一種是第二層晶面上的反射波[4]。

第一層晶面上的反射波與發(fā)射喇叭直接發(fā)射的微波干涉加強產(chǎn)生的異常峰值的入射角為φ1，第二層晶面上的反射波與發(fā)射喇叭直接發(fā)射的微波干涉加強產(chǎn)生的異常峰值的入射角為φ2，發(fā)射喇叭射出的微波可不經(jīng)反射直接被接收喇叭接收到的臨界入射角為φ0。驗證上述異常峰值成因分析的合理性，歸結為驗證在φ0的約束下，求得的φ1和φ2的理論值能否與實測中異常峰值出現(xiàn)的角度吻合。因此求解φ0、φ1、φ2是解決問題的關鍵。以下先求解φ0，然后在φ0的約束下，求解φ1、φ2的理論值。

2.2 φ0的求解

發(fā)射喇叭、接收喇叭的臂長分別為l1和l2，發(fā)射喇叭到接收喇叭的距離為l(l取決于入射角，是未知量)，發(fā)射喇叭、接收喇叭的張角為α(發(fā)射喇叭、接收喇叭同規(guī)格，張角相等)，接收喇叭的喇叭口寬為a。經(jīng)測量得：l1=60.5 cm，l2=61.0 cm，α=40.0°，A=10.0 cm。在綜合考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭張角影響的情況下，接收喇叭能夠直接接收到發(fā)射喇叭發(fā)射出的微波的臨界狀態(tài)如圖1所示。

圖1 臨界狀態(tài)

在圖1中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，CD=a/2=5 cm,AB=l，∠AOB=2φ0，∠OAC=∠OBC=α/2，由于∠OAC=∠OBC，故O、A、B、C四點共圓，從而有∠ACB=∠AOB=2φ0。

在ΔABC中，由正弦定理，有：

(1)

其中：

(2)

在ΔAOB中，由正弦定理，有：

(3)

在ΔAOB中，由余弦定理，有：

(4)

聯(lián)立(1)(2)(3)(4)式解得臨界角φ0=64.08°。

2.3 φ1的理論值

如圖2所示，在圖2中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ1，取空氣的折射率n=1[6,7]，并考慮微波在氣體-固體界面上反射時的半波損失[8,9]，則第一層晶面的反射波與直接射出的微波的波程差：

圖2 第一層晶面反射產(chǎn)生異常峰值的狀態(tài)

(5)

由余弦定理：

(6)

當兩微波波程差Δ1滿足：

Δ1=kλ(k∈N)

(7)

時，兩微波相干加強，將產(chǎn)生異常峰值。

記φij為φI在k=j時的解(i=1,2；j∈N)，聯(lián)立(5)(6)(7)式，并考慮約束條件φ1>φ0，解得此情況下異常峰值的對應入射角為：φ10=80.54°(k=0)，φ11=73.58°(k=1)，φ12=68.75°(k=2)。其中約束條件φ1>φ0起到了控制k的取值的作用，在該條件的約束下，自然數(shù)k的最大取值為2。

2.4 φ2的理論值

如圖3所示，在圖3中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ2，取空氣的折射率n=1，并考慮微波在氣體-固體界面上反射時的半波損失，則第二層晶面的反射波與直接射出的微波的波程差：

圖3 第二層晶面反射產(chǎn)生異常峰值的狀態(tài)

(8)

由余弦定理：

(9)

當兩微波波程差Δ2滿足：

Δ2=kλ(k∈N)(10)

時，兩微波相干加強，將產(chǎn)生異常峰值。

聯(lián)立(8)(9)(10)式，并考慮約束條件φ2>φ0，解得此情況下異常峰值的對應入射角為：φ20=83.59°(k=0)，φ21=76.93°(k=1)，φ22=72.20°(k=2)，φ23=68.31°(k=3)。其中約束條件φ2>φ0同樣起控制k的取值的作用，在該條件的約束下，自然數(shù)k的最大取值為3。

3 實驗結果與數(shù)據(jù)分析

將實驗實測到的I、φ值繪制成I～φ曲線圖(如圖4所示)。為方便觀察較小的數(shù)值，同時繪制出I～φ曲線在70°～77°范圍內(nèi)的局部放大圖(如圖5所示)。

φ/°

φ/°

由實驗數(shù)據(jù)可知，實測中出現(xiàn)異常峰值的角度為：68°，72°，73°，76°，80°，84°。

前文理論推導中異常峰值出現(xiàn)的理論角度值總結表1和表2所示。

表1 第一層晶面反射產(chǎn)生的異常峰值

表2 第二層晶面反射產(chǎn)生的異常峰值

將實測數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常峰值的角度與表1、表2中出現(xiàn)異常峰值的理論值進行對比，可得表3。

表3 異常峰值出現(xiàn)的實際角度與理論角度的對比

可見，除68°處以外，在每一個異常峰出現(xiàn)的理論角度附近，都實測到了一個異常峰，異常峰值出現(xiàn)角度的實際值與理論值的最大誤差也在1°以內(nèi)，實測值和理論值基本可以吻合。

在68°處附近，異常峰值有兩個理論解，但實測中僅在68°處測得一個異常峰值，這是因為當兩個異常峰值出現(xiàn)的角度相差很小時，受實驗儀器精度、環(huán)境干擾等因素的影響，測量時兩個峰值可能會發(fā)生重疊[10，11]。由于在68°處測得的異常峰值與理論值φ23、φ12的誤差均在1°以內(nèi)，故68°處的實測值與理論值也基本可以吻合。

4 實驗結論

綜上所述，基于“發(fā)射喇叭直射的微波與反射微波發(fā)生干涉加強”這一分析推導得出的異常峰值出現(xiàn)角度的理論值與實際值基本吻合，其最大誤差也在1°以內(nèi)，實驗測得的所有異常峰值均可以得到合理的解釋，由此證明了微波布拉格衍射實驗中的異常峰值正是由于發(fā)射微波是球面波，當入射角大于某一臨界角時，接收喇叭不僅能接收到反射微波，還能接收到發(fā)射喇叭直接發(fā)出的微波，二者干涉加強所導致的。

值得指出的是，在推導臨界入射角φ0的值時，同時考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭的張角對充分解釋實驗中出現(xiàn)的所有異常峰值至關重要。若在推導時不考慮接收喇叭的張角，求得的φ0值將為71.08°，比考慮接收喇叭張角時求得的值明顯偏大。求得的φ0偏大，會使求解φ1、φ2的約束條件更加嚴格，使得φ12、φ23兩個理論解不滿足方程的約束條件，致使68°處實測到的異常峰值無法得到合理的解釋。因此，在分析異常峰值成因的過程中采用的綜合考慮發(fā)射喇叭和接收喇叭張角計算臨界入射角的方法具有一定的實際意義。