基于免疫算法結(jié)構(gòu)分解的分布式預測控制算法

劉臻博，金 鑫，李 平

（遼寧石油化工大學 信息與控制工程學院，遼寧 撫順 113001）

模型預測控制（MPC）[1]作為一類基于計算機控制的算法，因其控制性能良好、魯棒性強的特點，越來越多地被應用在流程工業(yè)中[2]。隨著工業(yè)過程的日益復雜，傳統(tǒng)的集中式預測控制難以滿足其控制性能的要求[3]。因此，提出了分散式預測控制算法，將大系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為若干個相互獨立的子系統(tǒng)再進行求解[4‐5]。這種算法的優(yōu)勢在于結(jié)構(gòu)簡單、控制器之間無需通信，但當各子系統(tǒng)之間的耦合影響比較強烈時，分散式控制系統(tǒng)就無法達到滿意的控制性能[6‐7]。近年來，隨著計算機網(wǎng)絡技術(shù)的創(chuàng)新與發(fā)展，分布式模型預測控制（DMPC）應運而生，并且得到了廣泛的關(guān)注與研究。

A.Conley等[8]基于雅可比方法引進了合作式DMPC算法[9]，該算法能夠有效地解決輸出反饋下耦合輸入約束的問題，但不能保證算法收斂速度。針對系統(tǒng)間通信問題，劉袁龍[10]提出了一種基于層次分解的DMPC算法，將子系統(tǒng)劃分在不同的連通集內(nèi)，在求解時，子系統(tǒng)只與連通集內(nèi)的子系統(tǒng)通信，再將控制信息傳入下一連通集，從而有效地減少各個子系統(tǒng)間的通信次數(shù)。

以上研究在解決DMPC算法中存在的收斂速度不夠、通信復雜、穩(wěn)定性條件復雜等問題時，很少考慮到系統(tǒng)分解對這類問題的影響，系統(tǒng)分解方式可以有效緩解系統(tǒng)間通信負擔，還能提升DMPC在線實施效率[11]。針對DMPC的系統(tǒng)分解存在動態(tài)預測耦合的問題，文獻[12—13]提出了一種基于遺傳算法（GA）的分布式預測控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解方法，該方法分為輸入分組（ICD）和輸入輸出配對（IOPD）兩個階段，并采用GA算法來求解這一組合優(yōu)化問題，從而有效地減小子系統(tǒng)之間的耦合，提高DMPC算法的效率。但是，GA算法作為一種一般的尋優(yōu)算法，存在局部搜索能力差和“早熟”等缺陷，不能保證算法收斂速度，同時該方法不能有效解決子系統(tǒng)之間一些無法消除的耦合問題。

本文提出一種基于免疫算法（IA）求解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的分布式模型預測算法。該方法分為兩個部分。第一部分沿用文獻[13]的方法，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解問題分成ICD和IOPD兩個階段來求解，并采用IA算法來優(yōu)化這兩個階段的目標函數(shù)。IA算法是一種帶有全局搜索能力的優(yōu)化算法，具有自適應性、隨機性、種群多樣性的特點，能夠克服一般尋優(yōu)過程中不可避免的“早熟”問題。第二部分采用DMPC算法，在約束條件下對分解后的系統(tǒng)進行分布式控制。最后，對重油分餾化工過程進行實驗研究，驗證該方法的有效性。

1 基于IA的DMPC系統(tǒng)分解

分解大系統(tǒng)時需要考慮ICD和IOPD兩個問題。ICD是找到每個子系統(tǒng)對應的輸入問題；IOPD是解決ICD問題后，根據(jù)得到的每個系統(tǒng)對應的輸入再考慮對應的輸出問題。

1.1 ICD問 題 與IOPD問 題

1.1.1 ICD問題 根據(jù)文獻[13]，定義一個輸入分組矩陣H和一個表示子系統(tǒng)間耦合程度的目標函數(shù)Jcoupling，矩陣H定義為：

式中，m為子系統(tǒng)的個體數(shù)量；M為子系統(tǒng)的個數(shù)，滿足M≤m。矩陣H滿足：

子系統(tǒng)間系統(tǒng)耦合程度的目標函數(shù)定義為：

通過求解最小化Jcoupling，對給出的大系統(tǒng)的輸入進行分組。

1.1.2 IOPD問題 ICD問題已經(jīng)將系統(tǒng)的輸入分成M個子系統(tǒng)，IOPD問題的目標是找到各子系統(tǒng)中輸入對應的輸出，與式（1）輸入分組矩陣類似，定義一個輸出分組矩陣H′為：

矩陣H′應該滿足：

子系統(tǒng)間輸入輸出耦合程度的目標函數(shù)定義為：

通過求解最小化J′coupling，對系統(tǒng)輸入輸出進行配對。

1.2 基于IA的分布式模型預測控制系統(tǒng)分解

求解ICD問題和IOPD問題，實質(zhì)上就是求解式（3）和式（6）的過程。矩陣H和矩陣H′中的元素都為0或1，采用免疫遺傳算法（IGA）[14]來求解。因為免疫遺傳算法源于遺傳算法，很容易對0和1進行編碼。

為了把IGA應用到目標函數(shù)的求解過程中，需要對編碼、免疫選擇、克隆、變異等IGA的操作進行重新定義。

1.2.1 應用IGA求解ICD問題

（1）編碼。用一個二進制的具有M個子系統(tǒng)的行向量來表示每個抗體，即表示系統(tǒng)輸入的分組情況。例如，將一個八輸入的系統(tǒng)分為兩個組（子系統(tǒng)），分組情況可以表示為：

其中，輸入1—4分到子系統(tǒng)1中，輸入5—8分到子系統(tǒng)2中。每個抗體的染色體可以分為M個組中，相應位置上的變量1表示該輸入被選入當前小組。

（2）初始種群。初始種群就是抗原識別后產(chǎn)生的初始抗體種群。每個種群都要滿足相應的約束條件，即每個輸入只能存在于一個小組中。

（3）親和度函數(shù)。親和度表示免疫細胞（如B細胞）與抗體的匹配強度。在產(chǎn)生種群之后，每個抗體作為親和度函數(shù)的輸入，輸出即為親和度評價結(jié)果。針對最小化問題（3），抗體的親和度函數(shù)可以寫成目標函數(shù)的倒數(shù)：

式中，fICD為ICD問題的目標函數(shù)；δ為一個不為0的小數(shù)，保證公式的分母不為0?？梢?，目標函數(shù)越小，親和度函數(shù)越大。

（4）抗體濃度函數(shù)。抗體濃度表示產(chǎn)生抗體形成的種群多樣性優(yōu)劣程度?？贵w濃度過高，說明種群中類似的抗體大量存在，使尋優(yōu)搜索局限化。因此，在IGA算法中需要對濃度過高的抗體進行處理和抑制，從而確?？贵w在種群中的多樣性?？贵w濃度通常定義為：

式中，N為抗體種群規(guī)模；S(ai,aj)為抗體間的相似度，可以表示為：

式中，ai、aj分別為種群的第i及第j個抗體；ξs為相似閾值；α(ai,aj)為抗體i與抗體j的親和度，即對0?1編碼的算法，抗體與抗體間親和度基于海明距離的計算方法進行求解。基于海明距離的抗體‐抗體親和度計算方法的表達式為：

（5）激勵度函數(shù)?？贵w激勵度函數(shù)是對抗體質(zhì)量的最終評價結(jié)果，其目的是為了保留親和度大、濃度低的抗體?？贵w激勵度函數(shù)可以表示為：

式中，sim(ai)為抗體ai的激勵度；n為計算參數(shù)。

（6）克隆。由抗體激勵度來決定哪些有效抗體能進行克隆選擇操作，在抗體種群中激勵度高的有效抗體具有更好的品質(zhì)，大概率會被選入克隆選擇工作?？寺『瘮?shù)可以表示為：

式中，clone(ai)為wi個與ai相同的克隆抗體的集合，wi為抗體克隆數(shù)目。

（7）變異。變異操作是為了擴展搜索尋優(yōu)的空間，從而產(chǎn)生一個新的抗體。對于0?1編碼IGA算法，其變異策略是從變異源抗體中隨機選取一個或多個位置取反。這里定義的變異就是將抗體中某個表示相應輸入位置的變量1置換為0，剩余的其他相應位置0置換為1。例如：

其中，子系統(tǒng)1中括號內(nèi)變量1置換為0，表示輸入4不包含在子系統(tǒng)1中，那么在子系統(tǒng)2中相應的第4個位置的變量0置換為1，表示輸出4包含在子系統(tǒng)2中。

在求解最小化問題（3）的尋優(yōu)過程中，免疫選擇、克隆、變異都能產(chǎn)生新的抗體，需要不斷迭代這些操作來最終滿足一個收斂條件，從而得到一個最優(yōu)解H?，進而構(gòu)造ICD問題的最優(yōu)分組矩陣。

1.2.2 應用IGA求解IOPD問題 在IOPD問題中，IGA的操作基本與ICD問題相同，只在編碼和親和度函數(shù)的定義上略有不同。

（1）編碼。用一個具有M個數(shù)的二進制的向量表示抗體，即表示系統(tǒng)輸入輸出配對的狀態(tài)。一個六輸出的系統(tǒng)被分為3個組，那么分組情況可以表示為：

其中，輸出1和輸出2被分到子系統(tǒng)1中，輸出3和輸出4被分到子系統(tǒng)2中，輸出5和輸出6被分到子系統(tǒng)3中?？偟膩碚f，每個抗體的染色體可以被分為M個子系統(tǒng)，相應位置上的變量1表示該輸出被選入當前小組。

（2）親和度函數(shù)。針對最小化問題（6），抗體的親和度函數(shù)可以寫成目標函數(shù)的倒數(shù)。

式中，fIOPD為IOPD問題的目標函數(shù)。

根據(jù)式（16）可知，分母即目標函數(shù)越小，親和度函數(shù)越大。

當求解IOPD問題后，得到的最優(yōu)解可以表示為IOPD的最優(yōu)分解矩陣(H′)?。

因此，ICD問題和IOPD問題都得到相應的解決，從而得到兩個分組矩陣，即和(H′)?=[(h1′)?,…,(hM′)?]。

2 分布式模型預測控制

針對多個子系統(tǒng)間存在無法消除的耦合問題，需要采用DMPC算法來解決。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)已經(jīng)分解完成的前提下，介紹DMPC中各子系統(tǒng)的狀態(tài)空間預測模型以及基于IGA系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的DMPC算法實現(xiàn)流程。

2.1 DMPC控制器設計

一個包含M個子系統(tǒng)的分布式系統(tǒng)S，其子系統(tǒng)Si(i=1,…,M)的狀態(tài)空間模型為：

式中，Ci為輸出矩陣；Ai為系統(tǒng)矩陣；Bij(i≠j)為子系統(tǒng)Sj對子系統(tǒng)Si的耦合輸入矩陣；uj為子系統(tǒng)Sj在k時刻的輸入序列。

對k時刻子系統(tǒng)的狀態(tài)向量及輸出向量進行預測，由式（17）表示的模型可以推導出以下矩陣‐矢量形式：

式中，Xi(k)為狀態(tài)變量的集合；ηi為系統(tǒng)矩陣的集合。

式中，Ui(k)、Uj(k)為控制變量的集合。令：

結(jié)合式（22），目標函數(shù)（23）的最優(yōu)解問題可以寫成：

子系統(tǒng)i在k時刻的最優(yōu)控制序列Ui由二次規(guī)劃算法求解得到。

2.2 基于IGA系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的DMPC算法實現(xiàn)流程

提出了基于IGA系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的DMPC算法，其具體實現(xiàn)流程為：

步驟1給定具有m個輸入和p個輸出的大系統(tǒng)，在已知系統(tǒng)需要被分為M個子系統(tǒng)的前提下，利用IGA算法求解目標函數(shù)式（8）的最大值，從而解決ICD問題，得到最優(yōu)輸入分組矩陣H?；根據(jù)最優(yōu)輸入分組矩陣H?，利用IGA算法求解目標函數(shù)式（16）的最大值，從而解決IOPD問題，得到最優(yōu)輸入輸出配對分組矩陣(H′)?。根據(jù)求解的結(jié)果，確定每一個子系統(tǒng)中輸入輸出的數(shù)量。

步驟2在k時刻，獲取每一個子系統(tǒng)i的狀態(tài)空間模型和輸出方程式（17），并給定抗體種群規(guī)模N、狀態(tài)變量權(quán)值Qi、控制變量權(quán)值Ri、權(quán)重γi、系統(tǒng)控制變量的初值ui,0(k)。

步驟3子系統(tǒng)i將控制變量通過網(wǎng)絡傳遞給其他子系統(tǒng)，同時獲取其他子系統(tǒng)的控制變量。

步驟4并行求解采用迭代求解方式。在迭代時刻q(q≥1)，根據(jù)式（19）—（22）和式（24）—（28），在滿足約束條件的情況下并行求解各子系統(tǒng)最優(yōu)控制序列(k)，給定收斂精度ξ及迭代最大次數(shù)qmax。若各子系統(tǒng)控制輸入均滿足不等式或迭代次數(shù)滿足q>qmax，則進入步驟5；否則，令q=q+1，轉(zhuǎn)步驟3。

步驟5取子系統(tǒng)的最優(yōu)控制序列(k)的第一項為控制輸入：

式中，I為單位矩陣。將式（29）應用于各子系統(tǒng)。

步驟6令k=k+1，并將上述控制變量求解過程滾動優(yōu)化到下一時刻，返回步驟2。

3 仿真研究

以重油分餾塔模型為對象，驗證所提IGA‐DMPC算法的有效性[15]。重油分餾塔模型如圖1所示。

圖1 重油分餾塔模型

圖中，T為回油口；A為出油口；LC為液位控制器；PC壓力控制器；FC流量控制器?？刂七^程中的輸入變量：頂部采出u1、側(cè)線采出u2、中部回流量u3、頂部回流量u4。輸出變量：頂部產(chǎn)品干點y1、側(cè)線產(chǎn)品干點y2、中部回流溫度y3、頂部回流溫度y4。系統(tǒng)的模型為：

3.1 DMPC系統(tǒng)分解問題

3.1.1 ICD問題 已知系統(tǒng)有4個輸入，給定系統(tǒng)被分為2個子系統(tǒng)，預測時域為K=20，采樣時間Ts=1 s。輸入輸出的權(quán)重矩陣分別為Q=I和R=I。每一代抗體種群NIND=30，最大代數(shù)GENMax=100，免疫選擇抗體數(shù)量為15，變異發(fā)生的概率為0.5，克隆個數(shù)為10。

ICD分解每代最優(yōu)目標函數(shù)曲線如圖2所示。由圖2可以看出，分解目標函數(shù)的初代的起始親和度為1.060，在經(jīng)歷4代以后最優(yōu)親和度為0.850。

圖2 ICD分解每代最優(yōu)目標函數(shù)曲線

ICD分解每代的最優(yōu)親和度的分組情況圖3所示。圖中，兩種顏色表示兩個小組。

圖3 ICD分解每代的最優(yōu)親和度的分組情況

最終得到的分組情況可以用0?1向量表示為：

輸入1?2被分為一組，輸入3?4被分為一組。

3.1.2 IOPD問題 完成輸入分組后，對IOPD問題進行求解。根據(jù)式（30）輸入分組的結(jié)果，輸入分組矩陣H可表示為：

由此矩陣求解IOPD問題得到輸入輸出配對的分組矩陣H′。IOPD分解每代最優(yōu)目標函數(shù)曲線如圖4所示。由圖4可以看出，分解目標函數(shù)的初代起始親和度為0.455，經(jīng)歷4代以后最優(yōu)親和度為0.436。

圖4 IOPD分解每代最優(yōu)目標函數(shù)曲線

IOPD分解每代的最優(yōu)親和度的分組情況如圖5所示。

圖5 IOPD分解每代的最優(yōu)親和度的分組情況

最終得到的分組情況可以用0?1向量表示：

根據(jù)式（32）輸出分組的結(jié)果，輸出分組矩陣H′表示為：

根據(jù)矩陣H和H′，系統(tǒng)的輸入輸出最終配對可以表示為：

3.2 基于DMPC算法的分解后系統(tǒng)的分布式控制

已知重油分餾過程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)被分解為分別含有輸入1?2、輸出1?3的子系統(tǒng)1和含有輸入3?4、輸出4的子系統(tǒng)2。采用DMPC算法對分解后的系統(tǒng)進行分布式控制，主要控制參數(shù)為：

（1）采樣時間Ts=1 s。

（2）N=200，M=5，預測時域P=20。

（3）各子系統(tǒng)中的權(quán)重矩陣Ri為單位矩陣，矩陣Qi的取值為：

式中，qi=I；q?i為終端加權(quán)矩陣，目的是確保該控制子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

（4）在DMPC仿真中，兩個子系統(tǒng)的權(quán)重分別為γ1=0.8、γ2=0.2。

（5）各子系統(tǒng)Si的優(yōu)化命題為：

IGA‐DPMC算法子系統(tǒng)的輸出及輸入曲線如圖6?7所示。集中式MPC算法子系統(tǒng)的輸出及輸 入 曲 線 如 圖8?9所 示。圖6?9中，下 標i為1、2、3、4。

圖6 IGA‐DPMC算法子系統(tǒng)的輸出曲線

圖7 IGA‐DPMC算法子系統(tǒng)的輸入曲線

圖8 集中式MPC算法子系統(tǒng)的輸出曲線

圖9 集中式MPC算法子系統(tǒng)的輸入曲線

為了更好地對比兩種算法的控制性能，以頂部產(chǎn)品干點為分析數(shù)據(jù)，引入最大超調(diào)量、上升時間、平均迭代時間為指標進行分析。CMPC和IGA‐DMPC控制性能如表1所示。

表1 CMPC和IGA‐DMPC控制性能

由圖6?9及表1可以看出，IGA‐DMPC算法在重油分餾過程中有很好的控制效果。例如，子系統(tǒng)1的頂部采出量和側(cè)線采出量對反應器中頂部產(chǎn)品干點、側(cè)線產(chǎn)品干點和頂部回流量有至關(guān)重要的作用；子系統(tǒng)2的中部回流量和頂部回流量對中部回流溫度有很大作用。在IGA‐DMPC算法中，相關(guān)聯(lián)的信息都在各子系統(tǒng)內(nèi)部進行交換，大大減小了系統(tǒng)的通信負擔，而CMPC算法沒有考慮到系統(tǒng)中控制量彼此之間的相互作用。在控制效果大致相同的情況下，IGA‐DMPC算法的迭代時間明顯少于CMPC算法，大大提高了工作效率。綜上，采用本文提出的算法可以更有效地控制實際的化工過程。

4 結(jié) 論

近些年來，DMPC算法得到了廣泛關(guān)注和研究。但是，以往研究在DMPC算法中子系統(tǒng)間存在強烈耦合影響時，很少考慮到將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解結(jié)合到DMPC算法中。所提方法首先采用IA算法對DMPC系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)分解，再利用DMPC算法對分解后的系統(tǒng)進行分布式控制。為了解決系統(tǒng)結(jié)構(gòu)分解的問題，對IA中的編碼、免疫選擇、變異、克隆等操作進行了重新定義。通過仿真研究，驗證了算法的有效性。在未來的研究中，考慮將本算法應用到非線性的DMPC系統(tǒng)中。