典型電路中的[U-I]圖像問題分析

羅春亮

［摘 要］在歐姆定律的學(xué)習(xí)過程中，有一些相對復(fù)雜的計算，其中涉及[U-I]圖像的運用。實際教學(xué)中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生深刻理解[U-I]圖像的物理意義，這樣一方面能夠簡化運算過程，另一方面能夠提高學(xué)生的抽象思維能力。文章針對典型電路中的[U-I]圖像問題進(jìn)行分析探討。

［關(guān)鍵詞］[U-I]圖像；歐姆定律；電路

［中圖分類號］ ? ?G633.7 ? ? ? ?［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ ? ?A ? ? ? ?［文章編號］ ? ?1674-6058（2022）20-0042-03

在學(xué)習(xí)部分電路歐姆定律時，應(yīng)用[U-I]圖像解答相關(guān)問題是常考知識點。中考中，有時也會通過已知的[U-I]圖像所提供的信息，考查學(xué)生運用串聯(lián)或并聯(lián)電路的特點及歐姆定律解決相關(guān)問題的能力，而從[U-I]圖像中提取有用的信息是解題的關(guān)鍵。

一、讀懂[U-I]圖像

[U-I]圖像反映的是通過電阻的電流隨它兩端的電壓變化的關(guān)系。當(dāng)研究的電阻阻值恒定時，它的[U-I]圖像是一條通過原點的傾斜直線（如圖1）；當(dāng)研究的電阻阻值隨著某些物理量的變化而變化時，它的[U-I]圖像便會是一條過原點的曲線（如圖2）。但是，不論是直線還是曲線，除通過圖線可直接讀出的電壓與電流的信息外，圖像的幾個重要信息也有重要且特殊的物理意義。

1.原點。過原點表示當(dāng)電阻兩端所加電壓為0時，通過電阻的電流也為0。

2.斜率。根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知，斜率的公式為[k=ΔU/ΔI]，這一公式很容易讓人聯(lián)想起[R=U/I]，認(rèn)為斜率大小就是阻值大小。這是對阻值定義以及幾何知識理解不透徹的緣故。結(jié)合圖1和圖2，并以兩圖中的[A]點為研究對象，當(dāng)圖線是直線時，有[k=ΔU/ΔI=tanθ]，[R=U0/I0=tanθ]，可見這種情況下圖像的斜率與阻值的大小相等；當(dāng)圖線為曲線時，有[k=ΔU/ΔI=tan β]，[R=U0/I0=tanα]，可見這種情況下圖像的斜率與阻值的大小不相等。因此，當(dāng)運用斜率信息時，一定要注意圖線的曲直。

3.面積。圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積也是一個重要的物理量，如圖1所示，以[A]點為研究對象，利用[U-I]圖像中圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積可以計算電阻消耗的功率。

只要準(zhǔn)確把握[U-I]圖像中幾個關(guān)鍵點的物理意義，就能獲取[U-I]圖像中的相關(guān)信息并運用這些信息解決問題。下面我們結(jié)合一些典型例題進(jìn)行分析探討。

二、典例分析

（一）直接讀圖解決問題

此類題是最簡單的一種考查題，通?？梢灾苯油ㄟ^題給[U-I]圖像得出解題需要的信息。但是需要注意的是，為了提高題目的難度，更是為了考查學(xué)生的讀圖能力，命題者通常會在截距、坐標(biāo)原點、單位等細(xì)微處設(shè)置陷阱，如果讀圖時不細(xì)心，就會容易出錯。

【例1】在某次實驗過程中，小蘭所在小組畫出如圖3所示的[U-I]圖像，對此圖的解讀，下列選項中正確的是（ ）。

A.小蘭他們所用電源的電動勢為2.0 V

B.小蘭他們所用電源的內(nèi)阻為4 Ω

C.小蘭他們所用電源的短路電流為0.5 A

D.當(dāng)電流為0.5 A時，電路中所接電阻阻值為0

解析：本題的命題陷阱顯而易見是坐標(biāo)原點的改動，縱軸表示電壓的原點并非從0開始，如果求電源內(nèi)阻直接列式[r=2.0 V÷0.5 A=4 Ω]，顯然就錯了。根據(jù)[U-I]圖像中圖線與縱軸的截距即電源的電動勢可知，小蘭他們所用電源的電動勢為[2.0 V]，選項A正確。圖線的斜率[k=ΔU/ΔI]，由于圖3中縱軸并非從0點開始，故計算時一定要注意[ΔU]的正確取值應(yīng)為[2.0 V-1.8 V=0.2 V]，故小蘭他們所用電源的內(nèi)阻[r=0.2 V÷0.5 A=0.4 Ω]，選項B錯誤。當(dāng)電流為0.5 A時，通過讀圖可知路端電壓為1.8 V，電源的電動勢為2.0 V，顯然小蘭他們所用電源的短路電流必大于0.5 A，選項C錯誤。讀圖可知，當(dāng)電流為0.5 A時，路端電壓為1.8 V，經(jīng)計算可知電源內(nèi)阻為0.4 Ω，由歐姆定律可得此時電路中所接電阻的阻值[R=E/I-r=2.0÷0.5-0.4=3.6（Ω）]，選項D錯誤。

（二）復(fù)雜電路結(jié)合[U-I]圖像考查電功率的計算

將串、并聯(lián)電路與[U-I]圖像相結(jié)合，把某些重要信息隱藏其中，考查電功率的計算，這類題通常涉及極值問題，比如電阻的最大值、最小值。另外，還要考慮某些電學(xué)元件的性質(zhì)，比如燈泡、光敏電阻等的阻值會變化，只有考慮全面，才能正確解題。解答此類題，準(zhǔn)確讀圖是關(guān)鍵。

［例2］某實驗小組探究小燈泡的電壓與電流關(guān)系。實驗電路如圖4所示，圖中電源選用[5 V]的恒定電源，電壓表量程為0～3 V，電流表量程為0～0.6 A，[R2]的阻值為2 Ω，待測燈泡L的額定電壓為4 V。圖5是通過實驗結(jié)果繪制的[U-I]圖像。求：

（1）待測燈泡L正常發(fā)光時的電阻；

（2）斷開開關(guān)S2和S3、閉合開關(guān)S1時，滑動變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍。

解析：（1）本題[U-I]圖像中的圖線并不是一條直線，對解題有一定的迷惑性。由于要求“待測燈泡L正常發(fā)光時的電阻”，“正常發(fā)光”時待測電阻兩端電壓應(yīng)該為額定電壓，即[UL=U額=4 V]，則由[U-I]圖像可知，此時[IL=0.4 A]，則有：

[RL=ULIL=4 V0.4 A=10 Ω]

（2）斷開開關(guān)S2和S3、閉合開關(guān)S1時，滑動變阻器[R1]與待測燈泡串聯(lián)。由串聯(lián)電路性質(zhì)可知，當(dāng)待測燈泡正常發(fā)光時，滑動變阻器接入電路中的電壓最小，則有：

[U小=U-UL=5 V-4 V=1 V]

此時滑動變阻器接入的電阻最小值為：

[R小=U小IL=1 V0.4 A=2.5 Ω]

根據(jù)電壓表的量程可知，滑動變阻器兩端電壓的最大值應(yīng)為[U1大=3 V]。根據(jù)串聯(lián)電路中電壓的性質(zhì)可知，待測燈泡兩端的最小電壓[UL′=U-U1大=5 V-3 V=2 V]。

通過所給[U-I]圖像可知，當(dāng)待測燈泡兩端電壓為2 V時，電流[I3=0.3 A]。

根據(jù)串聯(lián)電路電流性質(zhì)可知，通過滑動變阻器的電流也為[I3=0.3 A]，所以此時滑動變阻器接入電路的電阻最大值為：

[R大=U大I3=3 V0.3 A=10 Ω]

由此可知，當(dāng)斷開開關(guān)S2和S3、閉合開關(guān)S1時，滑動變阻器[R1]可接入電路中的阻值大小范圍為2.5～10 Ω。

（三）畫[U-I]圖線，解決電路問題

當(dāng)想判斷電路中電阻的變化與電流、電壓的關(guān)系時，通常的做法是通過歐姆定律進(jìn)行計算，但是這種方法往往比較復(fù)雜，而運用作圖法可以將一些復(fù)雜的計算簡化。有些問題通過畫[U-I]圖像，根據(jù)圖線的斜率變化情況可以判斷電阻的變化與電流、電壓的關(guān)系。

［例3］如圖6所示，當(dāng)開關(guān)S閉合、滑動變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時，電路中連接的電流表和電壓表的示數(shù)都會變化，已知[R1]是定值電阻，如果用[I]、[U1]、[U2]、[U3]分別表示電表的示數(shù)，用[ΔI]、[ΔU1]、[ΔU2]、[ΔU3]分別表示電表示數(shù)的變化量，則下列判斷錯誤的是（ ）。

A. [U1/I]的值不變，[ΔU1/ΔI]的值不變

B. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值變大

C. [U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變

D. [U3/I]的值變大，[ΔU3/ΔI]的值不變

解析：分析電路圖，發(fā)現(xiàn)電阻[R1]和[R2]是串聯(lián)關(guān)系，其中電壓表[V1]測[R1]兩端電壓，電壓表[V2]測[R2]兩端電壓，電壓表[V3]測外接電路電壓，電流表A測外接電路電流。因為電阻[R1]是定值電阻，故[U1/I=ΔU1/ΔI=R1]，不論如何移動滑動變阻器的滑片，其值保持不變，故選項A正確。由[R1+R2=U3/I]，如圖7所示，先畫出電源的[U-I]圖像，再在這個圖中繼續(xù)畫出[R1+R2]的[U-I]圖線（圖7中虛線OM），當(dāng)滑動變阻器[R2]的滑片[P]向下滑時，滑動變阻器接入電路中的阻值[R2]變大，因此[R1+R2]的值變大，可畫出變化后的[R1+R2]的[U-I]圖線（圖7中實線[ON]），比較[U-I]圖像中[OM]和[ON]的斜率（即[U3/I]的值），可看出[U3/I]的值變大；因為[ΔU3/ΔI]的值為電源的[U-I]圖線的斜率（物理意義為電源內(nèi)阻），從圖中看出[ΔU3/ΔI]的值不變，因此選項D正確。同樣，還可以將電源內(nèi)阻等同于[R1+r]，畫出如圖8所示的新電源的[U-I]圖像，再在其上畫出滑動變阻器[R2]的[U-I]圖線，根據(jù)[R2]的大小畫出兩條圖線[OP]和[OQ]并比較，可直觀看出[U2/I]的值變大，[ΔU2/ΔI]的值不變，選項C正確。利用排除法可知本題應(yīng)選B。有興趣的讀者可以用畫圖法判斷[U2/I]和[ΔU2/ΔI]的變化情況。

（四）利用[U-I]圖像計算電功率

在直流電路中，我們常用伏安特性曲線來描繪某元件的電壓和電流關(guān)系，它們除能讓我們直觀地感受元件的電壓和電流的關(guān)系外，還能幫助我們計算電阻類元件的實際功率。這類問題有個共同點，即電源和電阻類元件的[U-I]圖像中有一條是曲線。在同一個[U-I]圖像上作出兩個研究元件的[U-I]圖線時，兩條圖線的交點反映了元件的電壓和電流，橫、縱坐標(biāo)的乘積即對應(yīng)時刻元件消耗的實際功率。

［例4］如圖9所示，是小明所在實驗小組繪制的一段導(dǎo)體的伏安特性曲線，當(dāng)小明將一個阻值為18 Ω的定值電阻同該段導(dǎo)體一起串聯(lián)到一個電動勢為9 V的電源上時，若電源的內(nèi)阻不計，求該段導(dǎo)體的實際功率。

解析：題中所給伏安特性曲線是一條曲線，顯然想要利用列式法求解比較困難。而且，研究對象還與一個定值電阻串聯(lián)在一起，給解題也帶來了一定的麻煩。這時，我們可以將定值電阻和電源視為一個整體來分析，將定值電阻視為電源的內(nèi)阻，如此，就能在題給[U-I]圖像中作出等效電源的伏安特性曲線，如圖10所示。兩條圖線的交點的橫、縱坐標(biāo)即為該段導(dǎo)體兩端的電壓和通過等效電源的電流，用作圖法可快速讀出交點坐標(biāo)為（3，0.33），即該段導(dǎo)體兩端電壓和通過它的電流分別為3 V和0.33 A，則它消耗的實際功率為[P=UI=3 V×0.33 A=0.99 W]。

以上，只是對[U-I]圖像問題的解決和應(yīng)用做了簡單的歸納。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生多總結(jié)、多思考，這樣學(xué)生對相關(guān)問題的理解更深入，也會發(fā)現(xiàn)更多的[U-I]圖像的妙用。物理離不開數(shù)學(xué)，跨學(xué)科的綜合應(yīng)用不僅能提高學(xué)生的物理學(xué)習(xí)能力，還能促進(jìn)學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

［ ? 參 ? 考 ? 文 ? 獻(xiàn) ? ］

［1］ ?彭坤.一道中考電學(xué)題的多種數(shù)學(xué)處理［J］.中學(xué)教與學(xué)，2000（11）：21-21.

［2］ ?李東升.配方法求最值［J］.數(shù)理天地（初中版），2008（1）：42-43.

（責(zé)任編輯 易志毅）