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    立足基礎、穩(wěn)中求新、關注核心素養(yǎng)
    ——2021年高考“數列”專題命題分析與備考建議

    2022-11-16 14:44:29孔繁晶徐州高等師范學校221116
    中學數學雜志 2022年2期
    關鍵詞:數列通項評析

    孔繁晶 (徐州高等師范學校 221116)

    《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出數列作為一類特殊函數,是反映離散過程的基本模型.它不僅是數學課程的重要研究對象,在其他領域和日常生活中也有著廣泛的應用,其研究過程還蘊含了豐富的數學思想方法,對培養(yǎng)學生邏輯推理、數學運算和數學建模等能力有著不可忽視的作用.2021年高考共計10套數學試題,每套試題均將數列作為主干知識進行考查.試題編制突出數學本質,重視理性思維,堅持素養(yǎng)導向、能力為重的考查方向.

    1 考查內容分析

    綜合分析2021年高考數學試題,其數列命題圍繞等差、等比兩類特殊數列展開,重點考查概念的理解、基本量的計算以及蘊含的數學思想.

    1.1 考點分布合理

    2021年10套高考數學試題共計18道數列問題,統(tǒng)計如表1.2021年高考數列考查內容分布均衡,主要集中在以下幾個方面:數列的表示方法,項與和的關系;等差(比)數列的判斷和性質;等差(比)數列的通項公式、前n項和公式;利用遞推關系求通項;數列求和;數列的綜合應用等.其中,等差(比)數列的概念、性質、通項公式以及前n項和公式仍是考查重點.部分試題還與函數、方程、不等式、簡易數論、數學歸納法相結合進行考查,如北京卷第21題,浙江卷第10題、第20題,天津卷第19題等.

    表1 2021年高考數學試卷數列問題考查情況統(tǒng)計

    1.2 分值比重相當

    10套試題中,數列內容均有一道解答題,選擇題、填空題數量各有不同.總分值在10~24分之間,全國統(tǒng)一命題卷相對偏低,在10~17分之間,地方自主命題卷相對偏高,在15~24分之間.

    1.3 文理差異存在

    全國甲、乙卷均針對文、理科學生的能力差異進行分別命題.其中,全國甲卷解答題采用同一題源,理科以“結構不良問題”形式進行考查,文科則以傳統(tǒng)形式進行設計.可見,文理科命題差異依然存在,理科思維跨度稍大,更加注重抽象與邏輯思維,文科則偏重基礎知識與基本技能.

    1.4 難度層次分明

    全國統(tǒng)一命題的數列試題均以容易題和中檔題為主,主要考查基礎知識和基本方法.值得注意的是,首次問世的新高考I卷數列填空題綜合性較強,考查了學生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力.而數列解答題一改江蘇卷多年風格,未與其他知識點交匯命題,也不再以壓軸題的身份出現(xiàn).

    地方自主命題的數列試題呈現(xiàn)多層次考查態(tài)勢.北京卷、上海卷的填空、選擇題各一道,一道容易題,一道較難題,浙江卷只有一道選擇題,難度較大.而解答題題號均相對偏后,屬于中檔題或難題,北京卷的解答題為壓軸題,難度大.

    1.5 問題力求創(chuàng)新

    2020年10月,中共中央、國務院在《深化新時代教育評價改革總體方案》中提出要構建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內容體系,改變相對固化的試題形式,增強試題的創(chuàng)新性.2021年高考數列試題踐行這一思路,出現(xiàn)以傳統(tǒng)文化為情境的微型建模、加大開放題的創(chuàng)新力度,將考查指向核心素養(yǎng)和關鍵能力,發(fā)揮高考的選拔功能.如全國甲卷理科第18題、新高考I卷第16題、北京卷第21題.

    2 命題思路分析

    2021年高考數列試題緊扣考試大綱,遵循“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”的命題原則,立足基礎,穩(wěn)中求新,關注學科核心素養(yǎng),落實“立德樹人,服務選才”的核心功能.

    2.1 立足基礎,重視基礎知識、基本技能和基本方法

    等差、等比數列是高中階段研究的兩類重要特殊數列.《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求探索并掌握等差(比)數列的概念、變化規(guī)律、通項公式和前n項和公式.因此,基本量、基本運算一直都是高考考查的重點.

    例1(新高考Ⅱ卷第17題)記Sn是公差不為0的等差數列{an}的前n項和,a3=S5,a2a4=S4.

    (1)求數列{an}的通項公式an;

    (2)求使Sn>an成立的n的最小值.

    評析本題考查等差數列的通項及前n項和公式,是典型的基本量計算題.題目著眼等差數列五個量a1,an,d,n,Sn之間的關系,通過構造方程組,求得an,Sn,再建立一元二次不等式確定n的最小值.這類問題屬于高考數學高頻考點,重點考查通性通法,方程、整體代換等思想以及數學運算素養(yǎng).同時,此類解答題還是考查學生數學語言能力的良好載體,書寫過程不必繁瑣,但不可缺少關鍵步驟,例如代數化簡、寫出基本量等.

    例2(全國甲卷文科第9題)記Sn為等比數列{an}的前n項和.若S2=4,S4=6,則S6=( ).

    A.7 B.8 C.9 D.10

    A.64 B.100 C.128 D.132

    評析上述兩道例題,依然考查等差(比)數列的通項、前n項和以及性質.在解題時若能靈活運用性質,將其與基本量運算相結合,如例2依題意知“S2,S4-S2,S6-S4成等比數列”,例3利用“2b3=b1+b5”均可簡化計算、節(jié)約時間.這也體現(xiàn)了高考命題小題考“小”、解題“多路徑”的特征.

    (1)求{an}和{bn}的通項公式;

    評析縱觀多年各地考題,數列求和問題屢“考”不鮮.本題題干清晰,易于入手,第(1)小題構造方程求解;第(2)小題考查形如cn=an·bn的數列求和(其中{an}為等差數列,{bn}為等比數列),需利用錯位相減法和等比數列前n項和公式分別求得Tn和Sn,再用作差法完成不等式證明.處理此類問題需要邏輯清晰、公式熟練,其中,錯位相減法也是高考數學中考查學生數學運算能力極好的載體.

    2.2 適度綜合,關注數學本質、理性思維和關鍵能力

    高中數學各知識點并非互相孤立,而是相互關聯(lián)的.因此,近年高考命題遵循覆蓋全面、適度綜合的原則.所謂綜合,既可指內容,如章節(jié)內部、章節(jié)之間、跨學科的綜合,也可指能力,如聯(lián)合考查多個核心素養(yǎng),以促進師生重視知識間的邏輯關系,重視數學本質,重視理性思維和關鍵能力的培養(yǎng).

    (1)記bn=a2n,寫出b1,b2,并求數列{bn}的通項公式;

    (2)求{an}的前20項和.

    評析本題位于試卷解答題第一題,無疑應該屬于基礎題一類.但遞推數列與等差數列的結合,又涉及分奇偶討論,這樣相對綜合的問題難住了不少考生.第(1)問關鍵在于通過奇偶分支寫出“bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3”, 第(2)問則需要繼續(xù)依據奇偶項分類,通過分組求和得出S20.由此可見,所謂大題考“質”,就是避開一些命題固定套路,回歸數列本質,通過列舉找尋規(guī)律,用最原始、最簡單的辦法突破問題.

    (1)證明:數列{bn}是等差數列;

    (2)求{an}的通項公式.

    例7(全國甲卷理科第7題)等比數列{an}的公比為q,前n項和為Sn.設甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數列,則( ).

    A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

    B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

    C.甲是乙的充要條件

    D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

    (1)求數列{an}的通項公式;

    (2)設數列{bn}滿足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn,對任意n∈N*恒成立,求實數λ的取值范圍.

    評析數列作為高考數學重要考點,既可以獨立命題,也可以在與其他數學知識、方法交匯處命題,從而全面考查學生的學科核心素養(yǎng).常見類型是與函數方程、不等式、數學歸納法、簡易數論等知識相結合,且綜合考查多個知識點,難度較大,尤其在自主命題地區(qū)常以壓軸題身份出現(xiàn).

    例7相對簡單,將等比數列通項、性質以及前n項和與四種條件相結合,依據定義進行充分性和必要性的判斷.例8難度較大,考查了遞推數列求通項和裂項求和,還融合了利用導數判斷函數單調性、數學歸納法以及不等式放縮等內容,著實對學生的綜合應用能力進行了考查,具備選材價值.例9第(1)問考查Sn與an關系,屬于基本題型,第(2)問借助錯位相減法求Tn,轉化成λ(n-4)+3n≥0恒成立問題,考查了特殊數列求和的常見方法以及分類討論等重要數學思想.

    2.3 靈活應用,突出理論聯(lián)系實際,學以致用

    新一輪教學改革倡導理論聯(lián)系實際,學以致用,體現(xiàn)數學的應用價值.故高考試題命制將會彰顯數學學科內外的應用,考查學生必備知識水平與關鍵能力,逐級深化構建德智體美勞全面發(fā)展的考試體系.

    例10(北京卷第10題)數列{an}是遞增的整數數列,且a1≥3,a1+a2+a3+…+an=100,則n的最大值為( ).

    A.9 B.10 C.11 D.12

    評析本題雖然容易,卻從簡易背景入手,考查學生應用等差數列前n項和等知識解決問題的能力,顯現(xiàn)出學科內應用的命題思路.

    例11(上海卷第19題)已知某企業(yè)2021年第一季度的營業(yè)額為1.1億元,以后每個季度的營業(yè)額比上個季度增加0.05億元,該企業(yè)第一季度的利潤為0.16億,以后每季度比前一季度增長4%.

    (1)求2021年起前20季度營業(yè)額的總和;

    (2)請問哪一季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%?

    評析本題以求企業(yè)20季度營業(yè)額之和以及利潤探討命題,引導學生關注社會生活,理解數學的應用價值.第(1)問考查等差數列前n項和公式的應用,第(2)問利用等差(比)數列通項知識建立不等關系,進而確定何時“首次超過”,意在考查學生學以致用的意識以及數學抽象、數學建模等學科核心素養(yǎng).

    此外,此應用背景源于教材習題,由此可見,高考命題不僅考查的知識點、方法技能不會脫離課本,就連題設背景往往也源于課本.因此,再次提醒日常教學和復習必須重視教材.

    2.4 穩(wěn)中求新,體現(xiàn)素養(yǎng)導向

    2021年是高考改革之年,無論是全國統(tǒng)一命題還是地方自主命題,試題都在一個“穩(wěn)”字的基礎上著力創(chuàng)新.就數列試題的命制來看,在考查基本知識和關鍵能力的同時,更加注重對學生創(chuàng)新性運用的考查.除了??汲P碌摹靶露x”問題外,還增加了開放性問題的數量,并從設問方式上、背景設定上作了創(chuàng)新.這既反映了高考數學的考查方向,也體現(xiàn)了人才選拔的意愿.

    評析本題為全國甲卷理科試題的中檔題,設問方式相對新穎,試題給出多個條件,要求構建一個命題并加以證明.這類沒有明確結構或解決途徑的“結構不良問題”相對開放,給學生充分的選擇空間.因其需要學生準確表征,自主建構,對于發(fā)展學生的創(chuàng)新思維和遷移能力有著豐富的價值.就本題來看,學生可以從多個角度分析,考慮多種可能,組合出三個命題,然后結合條件以及經驗判斷,①③為條件,②為結論或是②③為條件,①為結論(即為全國甲卷文科第18題).在這個過程中,重點考查學生對于數學本質的理解,評測其思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性以及創(chuàng)造性.

    3 備考建議

    數列是高中數學的重要內容,具有內涵豐富、方法靈活、應用廣泛的特點.縱觀2021年高考數學中的數列試題,深感其難度基本穩(wěn)定,而深度、廣度以及新意都在不斷提升,既實現(xiàn)了“選材”的目的,又指明了課程改革的方向.為了使2022年高考數列復習更加具有針對性,筆者提出以下備考建議.

    3.1 研究試題,把握方向

    高考試題既是服務選材的尺,又是引導教學的旗.新一輪高考改革提出“一核”“四層”“四翼”,積極促使命題向素養(yǎng)導向發(fā)展.因此,在復習備考中,教師要深入研究試題,捕捉命題內容、難度、題型等線索,并且透過現(xiàn)象看本質,總結規(guī)律求推廣,以此合理高效地分配備考時間和精力,有的放矢地進行復習.如開展近幾年的熱點——結構不良問題的探討,引導學生深度學習,體會數學本質,歸納一些解決問題的方法:由簡到繁,優(yōu)先選擇條件單一或者運算方便的;由熟到生,優(yōu)先選擇熟悉的式子或者條件,等等.

    3.2 夯實基礎,透析本質

    九層之臺,起于壘土.2021年高考數列試題依舊堅持回歸數學本質,重視基礎知識、基本技能的考查,不設“繁難偏怪”的問題,注重通性通法的研究,淡化一些特殊的技巧.因此,在復習備考中,一方面要引導學生用好教材,重視知識的生成與發(fā)展,多想多悟,深化對于數學本質的理解;另一方面要幫助學生夯實基礎,做好“一題多解”“多題一解”的訓練與反思,從通性通法中汲取解題思路,優(yōu)選方法,強化計算.假以時日才能做到基礎題穩(wěn)扎穩(wěn)打,萬無一失,綜合題化繁為簡,逐級破解.

    3.3 著眼應用,提升素養(yǎng)

    數學源于生活,又作用于生活,有著豐富的應用價值.從近年高考試題可以看出,數列命題堅持從學生認知水平出發(fā),本著“重思維、重應用、重創(chuàng)新”的理念,以學科內外的應用為依托,設計開放性問題、創(chuàng)新型應用問題,深化對于學生數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養(yǎng)的考查.因此,在復習備考中,教師要著眼應用,勇于創(chuàng)新.一方面做好系統(tǒng)化教學,另一方面開展主題式研究,重視思維力和意志力的訓練,引導學生用數學眼光觀察世界,用數學思維思考世界,用數學語言表達世界,使得學生在考場上遇到新問題能夠不亂不懼,會思考、敢嘗試、能突破,切實提升學科核心素養(yǎng).

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