以真情實景、客觀存在為本落實數(shù)學應用教學
——由正確答案不能得分引發(fā)的思考

張?zhí)N祿 霍秋萍 (山東省實驗中學東校 250109)

要問當下高中數(shù)學教學最流行的話題是什么，我們幾乎會異口同聲地說：“數(shù)學學科核心素養(yǎng)．”高中數(shù)學課堂刮起了數(shù)學學科核心素養(yǎng)的東風，高中數(shù)學教學要以發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)為導向，新高考也將從能力立意轉到素養(yǎng)導向．整個高中數(shù)學教學的方方面面仿佛都沉浸在核心素養(yǎng)的海洋之中，教師備課、上課、聽課、評課、做課題研究、寫文章等每一個環(huán)節(jié)只要少了“核心素養(yǎng)”就好像已經(jīng)落伍了．然而在一次考試中有兩個題目，學生的解答與現(xiàn)實生活實際完全吻合，只是由于與評分標準提供的“標準答案”不同而不能得分，這引發(fā)了筆者的關注和思考．很多根深蒂固的習慣性做法使數(shù)學應用變得舉步維艱，甚至背離了方向．數(shù)學學科核心素養(yǎng)要真正落地生根，甚至開花結果，我們?nèi)沃囟肋h．

1 沒有得分的正確答案

例1有4張卡片，正反兩面上分別標有1和2，3和4，5和6，7和8.選其中3張并排在一起組成三位數(shù)，不同的三位數(shù)有多少個？

例1是某次考試中的一個題目，評分標準提供的標準答案為下面的解法1．

解法1 完成這件事共分3個步驟：第一步，選擇一個數(shù)放在首位上，有8種不同的選擇；第二步，再從剩下的6個數(shù)中選一個數(shù)放在第二位上，有6種選擇；第三步，再從剩下的2個數(shù)中選一個數(shù)放在第三位上，共有2種選擇．于是可構成8×6×4=192個不同的三位數(shù)．

閱卷時發(fā)現(xiàn)，個別學生解答時用的是下面的解法2．

解法2 阿拉伯數(shù)字“6”倒過來可作“9”用．若不用卡片“5,6”，有6×4×2=48種.若用卡片“5,6”，這張卡片可提供5,6,9三個數(shù)字共3種情況，然后再選擇一個位置放好共3種情況；還剩下2個位置、3張卡片，有6×4=24種.于是一共可組成不同的三位數(shù)有48+3×3×24=264個．

筆者認為解法2符合客觀存在，應該得全分，課堂教學時也是這樣處理的．可結果是由于解法2與標準答案不同而不能得分．無論筆者如何“申辯”，還是不能得到閱卷組長的認同．其理由是題目中沒有注明“6”可作“9”用．考試以后學生紛紛質疑筆者，為什么不能得分、到底什么情況下“6”可作“9”用．筆者無奈，只能極不情愿地告訴學生，只有在題目有說明的情況下“6”方可作“9”用并能得分．同樣的問題還發(fā)生在下面的例2．

例2對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品一一進行測試，直到區(qū)分出所有的次品為止，若所有次品恰好到第6次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能？

例2也是該次考試中的一個題目，評分標準提供的標準答案為下面的解法1．

與例1類似，閱卷時有個別學生解答時用的是下面的解法2．

例2是各類教輔資料和網(wǎng)絡上的一個常見問題，所提供的解法也多為解法1．與例1類似，解法2也是由于與標準答案不同而不能得分．這次閱卷組長拿出了一本教輔資料上的一道例題及其解法作為依據(jù)．

例3某產(chǎn)品有3只次品，7只正品，每次取出1只測試，取后不放回．求：

(1) 3只次品恰好到第5次全部被測出的概率；

(2) 3只次品恰好到第k次全部被測出的概率P(k)的最大值與最小值．

(3≤k≤10)．

筆者認為例3的解法1是不妥當?shù)?，若?次發(fā)現(xiàn)第3件次品，或者前7次發(fā)現(xiàn)的全部是正品(剩下的3只就是3件次品)，都應該叫3只次品恰好到第7次全部被測出；第8次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說前8次中有一件次品，都屬于3只次品恰好到第8次全部被測出；第9次發(fā)現(xiàn)第3只次品，或者說前9次中有2件次品，都屬于3只次品恰好到第9次全部被測出；k的取值范圍應為3≤k≤9．例3第(2)問的正確解法應為下面的解法2．

但無論筆者如何解釋，閱卷組長還是沒有同意，并且許多閱卷教師也提出了反對意見，甚至有部分教師認為包括例1在內(nèi)筆者是在“強詞奪理、鉆牛角尖”．最終結果是例2采用解法2的學生被判零分．筆者認為例1、例2的解法2與現(xiàn)實生活實際完全吻合，在現(xiàn)實世界中也是“真實存在”的．這種正確解法不能得分使筆者陷入極端的困惑之中，并由此聯(lián)想到了中國足協(xié)由于考慮不周而引發(fā)的幾起“鬧劇”．

2 中國足球史上的幾起“鬧劇”

許多球迷朋友知道，中國足協(xié)經(jīng)常制定出漏洞百出、令人啼笑皆非的規(guī)則和政策．這些規(guī)則和政策使得各種“鬧劇”時有發(fā)生，諸如“6,9風波”“洗牌門”“輸球進中超”等．

1999年中乙決賽遭遇了排名難題，中國足協(xié)不得不從小組比賽并列第二名的毅騰連鐵和綿陽豐谷中通過抽簽決定其中一支隊伍晉級八強．當時郎效農(nóng)主任的具體做法是讓兩隊代表分選“單”“雙”，然后各從0至9的數(shù)字中抽出一數(shù)相加，如果和是單數(shù)，那么選“單”者獲勝，如果和是雙數(shù)，選“雙”者獲勝．結果在抽簽當場選擇單數(shù)的毅騰教練王軍將紙條交給郎效農(nóng)后，郎效農(nóng)當場詢問王軍數(shù)字，王軍答曰“9”．由于此時綿陽隊總經(jīng)理李海生目睹了整個問答過程，隨即答道：“綿陽隊也是9．”正是依靠這個似是而非的9(也可能是6)綿陽隊晉級．事后毅騰連鐵向足協(xié)提出了申訴，一時間兩個阿拉伯數(shù)字“6”和“9”搞得足協(xié)焦頭爛額．

2003年末代甲A，中國足協(xié)定下一個特殊的沖超規(guī)則，即捆綁式中超資格積分公式：中超資格積分=2002年的排名×0.5+2003年的排名．這個看似理想的計算方法，卻差一點使“輸球進中超”成為現(xiàn)實．因為按照這一特殊規(guī)則，最后一輪重慶隊只有輸給青島隊(無論輸贏，重慶隊都是2003年的倒數(shù)第二名)，在天津隊輸球的前提下就會通過提高青島隊的名次而擠掉天津隊，重慶隊若是贏球則徹底失去沖超希望．于是出現(xiàn)了震驚中國足壇、在世界足壇也是極為罕見的“輸球保級戰(zhàn)”鬧?。疫\的是最后一輪天津隊贏了球保住了進入中超的資格，才避免了貽笑大方的結局發(fā)生．

2008年中國足協(xié)針對武漢光谷的退出制定了一個有巨大漏洞的規(guī)則：所有比賽都判武漢0∶3輸，但這些比賽都算正常比賽．上海申花隊很好地利用了這一規(guī)則漏洞，在與山東魯能隊的比賽中(下一輪申花要對陣已退出的武漢光谷，只要湊夠4張黃牌，就可以在不用比賽的情況下消掉身上的黃牌)申花隊一共主動申請到10張黃牌和1張紅牌．這就是震驚中國足壇的申花隊“洗牌門”事件．

事實上，中國足壇的每一起鬧劇都是由中國足協(xié)考慮不周全、不細致、主觀臆斷，忽視了某些“客觀存在”造成的．如果制定規(guī)則時把各種“客觀存在”考慮得再縝密周全一些，類似鬧劇是完全可以避免的．

3 由正確答案不能得分引發(fā)的思考

3.1 不要讓歷史的鬧劇重演

筆者為何花費如此多的篇幅介紹中國足協(xié)由于考慮不周而犯的低級失誤，一個重要原因就是這些鬧劇的發(fā)生難道與我們的學校教育沒有關系嗎？另一個原因是難道我們還要讓類似的鬧劇再度上演嗎？誠然，如果例2中提示“6可作9用”，許多學生就會考慮到這一點．同樣的道理，如果當時有人給郎效農(nóng)主任注明“6可作9用”，那郎主任還會犯如此低級的錯誤嗎？如果題目中沒有注明，學生卻想到了，那才是難能可貴的．筆者相信這樣的學生將來走向社會是不會犯“足協(xié)式錯誤”的，即便是抽阿拉伯數(shù)字也會把6與9單獨作一下標記以示區(qū)別．現(xiàn)實生活中存款、貸款、打借條等我們習慣于用中國大寫數(shù)字而非阿拉伯數(shù)字，一個主要原因就是阿拉伯數(shù)字容易被涂改．

筆者認為，例1的解法1是一個正常思維結果，答案是對的，但不能說好．解法2不僅是對的，而且比解法1要更好．若前者得滿分10分的話，后者應得12分，因為這是有創(chuàng)造性的答案．按例3的解法1，要找出3件次品的實驗次數(shù)k的取值范圍為3≤k≤10．如果某人抽9次都不能找出所有次品，非要10件產(chǎn)品全部取出才能找出3件次品，我們只能說這個學生有點“二”，這樣的學生踏入社會后很難說不會重復“足協(xié)式錯誤”．如果說例1的解法1可以說對而不能說好，例2的解法1就應該是一個錯誤的解答．學生用例1與例2解法2的方式思考問題，決不是鉆牛角尖，而是思維的廣闊性更強，考慮問題更縝密周全．

3.2 數(shù)學應用的本質是數(shù)學為社會實踐服務

數(shù)學是刻畫自然規(guī)律與社會規(guī)律的科學語言和有效工具．荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾指出：“數(shù)學源于現(xiàn)實，就必須寓于現(xiàn)實，并且用于現(xiàn)實．”數(shù)學應用的本質是數(shù)學為社會實踐服務，是用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的語言表達世界，用數(shù)學的思維分析世界，而不是實際問題符合于數(shù)學模型(或者說讓實際問題遷就數(shù)學模型)，這應該成為數(shù)學應用教學的立足點．當然，數(shù)學教學中讓實際問題服務于我們的教學這是無可厚非的，但這不能背離了數(shù)學服務于社會實踐的本質．也就是說數(shù)學應用教學是運用數(shù)學知識解決實際問題，應該以實際問題為中心，而不是以數(shù)學為中心、教學為中心．有了這樣的立足點我們的數(shù)學建模與應用才能落到實處，才能不流于形式．

3.3 真情實景是編擬數(shù)學應用問題的基本原則

根據(jù)數(shù)學知識來編擬應用問題本無可厚非，因為在數(shù)學教學中數(shù)學的應用也不是盲目應用，而是根據(jù)所學數(shù)學知識有針對性地進行．但是數(shù)學應用問題必須是從實際中來，必須與實際問題相吻合，呈現(xiàn)給學生的應用問題必須是真情實景，而不是主觀臆造．

文[1]提出了高考要以真情實景落實“五育并舉”，而編擬數(shù)學問題必須突出真情實景．2019年高考文科、理科全國卷Ⅰ第4題以著名雕塑“斷臂維納斯”為例，探討人體黃金分割之美．2019年高考文理、理科全國卷Ⅱ第16題，融入了中國金石文化，賦予幾何體的真實背景．這些典型的應用問題都給人一種真情實景之感．

例41936年美國權威的《文學文摘》雜志社，為了預測總統(tǒng)候選人民主黨羅斯福與共和黨蘭登兩個誰能當選，以電話簿上的地址和俱樂部成員名單上的地址發(fā)出1 000萬封信，收回回信200萬封，花費了大量的人力物力．雜志社相信自己的調(diào)查結果——蘭登將以57%對43%的比例獲勝，并進行大力宣傳，最后選舉的結果卻是羅斯福以62%對38%的巨大優(yōu)勢獲勝連任總統(tǒng)．這個調(diào)查使《文學文摘》雜志社威信掃地，不久只得關門停刊．請問這家雜志社預測失敗的原因是( )．

A．抽樣的樣本容量太小

B．收回回信比例太小

C．調(diào)查結果公布過早，結果公布后羅斯福團隊擴大宣傳實現(xiàn)逆襲

D．抽樣具有片面性，沒有保證每個選民被抽到的概率相等

例4以歷史真實事件為背景，是真情實景的典型案例，解答時運用統(tǒng)計知識方法來分析．這是典型的用數(shù)學的思維來分析世界．

3.4 客觀存在應成為應用問題的評判依據(jù)

考試應該有答案，也應該有評分標準，這是無可爭議的．我們經(jīng)常說要敢于向權威質疑，我們完全可以向命題人提供的“標準答案”質疑．另一方面，不同的人從不同的角度來思考可以得出不同的結論，這是極為正常的一件事情，為什么成千上萬的學生都要和命題人從同一角度思考問題？特別是一些與現(xiàn)實生活密切相關的實際問題，從不同角度考慮往往會得出不同的答案．

例5一排共12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空位連在一起，則停車方法有．

在解答例5時，也出現(xiàn)了兩種不同的解法：

顯然，解法1是把8輛車看做不同的車，解法2是把8輛車視作相同的車．筆者認為，從不同的角度都有其道理．若從停車場管理員的角度去考慮，往往管理員不考慮車的不同，不管這輛是“奧迪”、那輛是“大眾”，他只關心哪個位置停了車，哪個位置還空著．從此角度分析，把所有的8輛車視作相同的車是完全合理的．若從另一角度去分析，例如你和朋友一行共8輛車需要停放在停車場，此時停車不僅要考慮哪幾個位置停放，還要考慮哪個位置停放的是哪輛車，就應該把車視作不同的了．

例6如圖1，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村、李莊送水，修在河邊什么地方可使所用水管最短？

這是初中課本的一個傳統(tǒng)、典型的應用題．很顯然，這是根據(jù)對稱點的性質編擬出來的，其答案就是圖1中的點C．而有位學生提出:如果DA+AB

圖1

據(jù)筆者了解，許多供水問題正是按照這位學生提出的供水方案來完成的．也就是說，課本提供的答案與實際情況是有出入的．不過學生在解答時若選擇點D肯定是與答案不符的．

所以我們在處理有關數(shù)學應用問題時可能會出現(xiàn)多種“正確答案”并存的現(xiàn)象．如果我們被所謂的“標準答案”束縛著，在教學中充斥著不是“對”就是“錯”，不管實際問題的實際背景，教條式地解讀已知條件，這樣的教育能培養(yǎng)出創(chuàng)造性人才嗎？

求解數(shù)學應用問題離不開數(shù)學知識和方法，但判罰的依據(jù)應該是與實際問題的吻合程度，只要是存在的就應該是合理的．這應該成為廣大數(shù)學教師在教學、閱卷等活動中共同遵守的一個基本原則．有了這樣一個原則，閱卷時出現(xiàn)的許多棘手問題就有了一個判罰的依據(jù)；有了這樣一個原則，我們面對學生諸如“什么時候能用”的疑問時，也就有了答疑解惑的依據(jù)．

4 結束語

數(shù)學教學應以真情實景、客觀存在為本落實數(shù)學的應用，讓數(shù)學真正為社會實踐服務．如果我們無視客觀存在，唯數(shù)學論，將來還會出現(xiàn)新的意想不到的鬧?。侥菚r再來反思我們的教學、反思我們的學校教育是不是已經(jīng)晚矣．