美英早期幾何教科書中的軌跡應(yīng)用

張佳淳 汪曉勤 (華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

20世紀(jì)，歐洲數(shù)學(xué)家極力主張應(yīng)該在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中給予運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)更突出的地位，因其作為學(xué)生相當(dāng)熟悉的生活經(jīng)驗(yàn)，其抽象化形成的數(shù)學(xué)概念可以幫助學(xué)生理解和欣賞數(shù)學(xué)．軌跡就是這類概念，例如，打開一本書或一扇門的過(guò)程蘊(yùn)含各種軌跡．它將具體的生活經(jīng)驗(yàn)理想化，使得學(xué)生能利用已有的幾何知識(shí)，賦予幾何圖形在“量”上的精確性[1]．所以，軌跡概念與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān)．

從歷史上看，軌跡很早就被人們所認(rèn)識(shí)．古希臘時(shí)期，數(shù)學(xué)家已經(jīng)認(rèn)識(shí)到可以利用軌跡來(lái)解決三等分角問(wèn)題[2]，體現(xiàn)軌跡在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的應(yīng)用．在現(xiàn)行滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)教科書中，通過(guò)蘋果自由落地、拋出的籃球、懸掛著的鐘擺往返擺動(dòng)等作為生活情境引入軌跡概念，也體現(xiàn)軌跡在現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用．

但在教科書的后續(xù)內(nèi)容中，出現(xiàn)較多的是純數(shù)學(xué)情境的習(xí)題，而軌跡在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用問(wèn)題卻是鳳毛麟角．在已有的關(guān)于平面軌跡的教學(xué)案例中，個(gè)別HPM視角下的教學(xué)設(shè)計(jì)主要運(yùn)用了古希臘時(shí)期的數(shù)學(xué)史材料[3-4]，幾乎沒(méi)有涉及有關(guān)軌跡應(yīng)用的數(shù)學(xué)史素材．究其原因，適用于課堂教學(xué)的歷史素材極為匱乏，造成“巧婦難為無(wú)米之炊”的現(xiàn)狀．

數(shù)學(xué)與人類其他知識(shí)領(lǐng)域之間的聯(lián)系、數(shù)學(xué)的社會(huì)角色、數(shù)學(xué)美等是基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)涵[5]，因此，在提倡將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的今天，對(duì)數(shù)學(xué)主題背后的歷史文化素材進(jìn)行挖掘和整理，是教學(xué)實(shí)踐的必然需求．鑒于此，我們選取19世紀(jì)至20世紀(jì)出版的89種美英幾何教科書進(jìn)行考察，試圖回答以下問(wèn)題：軌跡概念在數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活中有哪些方面的應(yīng)用？軌跡概念有什么教育功能？我們從中能獲得什么教學(xué)啟示？

2 早期教科書的選取

本文從有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)中選取89種19世紀(jì)至20世紀(jì)美、英幾何教科書作為研究對(duì)象，其中72種出版于美國(guó)，17種出版于英國(guó)．以20年為一個(gè)時(shí)間段，教科書的時(shí)間分布情況如圖1所示．

圖1 89種教科書的時(shí)間分布

分別從數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部?jī)煞矫婵疾燔壽E的應(yīng)用，關(guān)注圓、直線等可用軌跡思想作出的基本圖形的應(yīng)用，從中提取早期教科書關(guān)于軌跡思想及相關(guān)應(yīng)用的素材．

3 數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用

在早期教科書中，關(guān)于軌跡在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的應(yīng)用主要在于構(gòu)造三角形、圓等基本圖形．

例1已知底，且三角形頂點(diǎn)到底邊的垂直距離和兩邊之比給定，如何構(gòu)造三角形？[6]

構(gòu)造過(guò)程包括兩種軌跡：一是由于三角形頂點(diǎn)到底邊的垂直距離固定，所以三角形頂點(diǎn)的軌跡是與底邊平行的直線；二是與兩給定點(diǎn)距離之比固定的點(diǎn)的軌跡是直線或圓，再由交軌法最終確定三角形頂點(diǎn)所在位置，從而完成三角形的構(gòu)造．

例2如圖2，若給定弦AB，且已知弦AB與該圓一條切線所成角的大小等于角C，如何構(gòu)造圓？[7]

圖2 構(gòu)造圓的條件(左)與過(guò)程(右)

構(gòu)造過(guò)程也包括兩種軌跡，首先，令DH=AB，過(guò)弦的一個(gè)端點(diǎn)H，作弦切角DHN等于給定角C，從而確定切線所在位置，再過(guò)點(diǎn)H作PH⊥HN，則已知切點(diǎn)和切線位置的圓的圓心的軌跡，是過(guò)切點(diǎn)與切線垂直的直線PH．其次，DH為弦，則通過(guò)兩定點(diǎn)的圓心的軌跡，是弦的垂直平分線，其與PH的交點(diǎn)T就是圓心所在位置．

4 數(shù)學(xué)外部的應(yīng)用

4.1 生產(chǎn)技術(shù)上的應(yīng)用

軌跡思想及定理在生產(chǎn)技術(shù)上的應(yīng)用主要有兩方面的例子．第一，體現(xiàn)在職業(yè)技術(shù)工人利用軌跡思想，將平面幾何作圖法應(yīng)用于實(shí)際工作中．

例3檢驗(yàn)是否為半圓的工具．

例如，Slaught和Lennes在圓周角定理相關(guān)內(nèi)容之后，設(shè)計(jì)了“軌跡問(wèn)題”(problems on loci)專題練習(xí)，其中包括如下一題：在制作芯盒時(shí)，制模師使用如圖3所示的直角工具來(lái)測(cè)試芯盒是否為真正的半圓．這種方法正確嗎？請(qǐng)證明．[8]

圖3 直角工具

5種教科書提及木匠利用底邊給定的直角三角形頂點(diǎn)所成軌跡為圓的原理，來(lái)確定鑄件的曲線是否為完美的半圓．而這一問(wèn)題也出現(xiàn)在人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教科書中，作為第24.1.4節(jié)“圓周角定理”的課后習(xí)題，所以這一檢測(cè)工件早在19世紀(jì)就為人們所使用．

例4畫弧的工具．

圖4 角架

將直角工具中三角形頂角的角度從直角推廣到更一般的情況，固定成一定角度的兩塊木板則可以用來(lái)畫任意的?。鐖D4，將兩個(gè)銷釘A和B固定在地面上，其距離AB不得大于角架ACB的兩邊之和．底邊AB保持不變，將角架的棱角C移動(dòng)一圈，移動(dòng)過(guò)程中保持角架兩邊CA,CB緊靠銷釘，則在點(diǎn)C處用筆即可畫出圓弧[9]．這種不利用圓心和半徑作圖的方法具有便利性，且不會(huì)在圓心處留下一個(gè)孔洞，破壞制品的美感與使用，因此常用來(lái)在金屬鍋或光學(xué)玻璃上畫圓、圓弧，也用于在地圖上標(biāo)出經(jīng)緯線．

例5畫平行線的工具．

圖5 量規(guī)

除了畫圓，木匠們還用一種叫做量規(guī)(gauge)的工具來(lái)畫一條與木板邊緣平行的直線．如圖5，量規(guī)由兩個(gè)互相垂直的結(jié)構(gòu)組成，結(jié)構(gòu)A所代表的木桿上有一個(gè)標(biāo)記點(diǎn)P，在A結(jié)構(gòu)上套著另一部件B，部件B可以根據(jù)需要用螺釘調(diào)整其與點(diǎn)P的距離．畫圖時(shí)，將量規(guī)的部件B放在木板的邊緣，移動(dòng)量規(guī)，則點(diǎn)P所成的標(biāo)記線與木板邊緣平行[10]．其中涉及的原理是與一條定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是與定直線平行的直線．

軌跡在生產(chǎn)技術(shù)上的另一方面的應(yīng)用體現(xiàn)在車輛工程的制造中．

例6車輛工程制造．

圖6 火車車輪上的平行連桿

使得火車、自行車等交通工具的主動(dòng)輪與相鄰輪連接起來(lái)且同步轉(zhuǎn)動(dòng)的方法體現(xiàn)了軌跡定理[11]．如圖6，AA′O′O是一個(gè)所有邊長(zhǎng)固定且邊OO′位置固定的平行四邊形，則另外兩個(gè)頂點(diǎn)A,A′的軌跡是分別以O(shè),O′為圓心的等圓．上述原理表明，制造一根橫桿AA′，長(zhǎng)度等于OO′，在點(diǎn)A,A′處與繞固定點(diǎn)O,O′轉(zhuǎn)動(dòng)的等長(zhǎng)桿子OA,O′A′連接，就可以使車輪同步轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)．

4.2 建筑工程上的應(yīng)用

1912年，美國(guó)幾何大綱“十五人委員會(huì)”在其報(bào)告中指出，工業(yè)設(shè)計(jì)和建筑裝飾充滿了細(xì)節(jié)，這些細(xì)節(jié)可以作為幾何問(wèn)題的來(lái)源，且問(wèn)題可分為三種：(1)圖形本身的構(gòu)造問(wèn)題；(2)證明題；(3)計(jì)算題[1]．而Palmer等指出，在平面幾何中研究軌跡的最大意義是可以通過(guò)軌跡實(shí)現(xiàn)成像和構(gòu)造圖形，而不是研究軌跡定理的證明[12]．考察早期幾何教科書可以發(fā)現(xiàn)，利用軌跡構(gòu)造圖形早就是建筑本身及其裝飾圖案的一種設(shè)計(jì)方法．

例7設(shè)計(jì)裝飾圖形．

涉及幾何裝飾的工業(yè)產(chǎn)品包括瓷磚、地板、裝飾畫、門、窗等．最常見(jiàn)的是通過(guò)組合圓、圓弧型等軌跡形成裝飾圖案．第一類是以等邊三角形為基礎(chǔ)的圓弧型軌跡的組合．如圖7，弧AB,AC和BC是分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)C,B,A為圓心的弧，弧ADFC,BDEC和AEFB是半圓，每個(gè)半圓又與弧AB,AC和BC中的兩段弧相切[10]．這一圖形常作為裝飾教堂窗戶的圖案，例如圖8為芝加哥第四長(zhǎng)老會(huì)教堂(Fourth Presbyterian Church)的窗戶圖案[8]．

圖7 圓弧型軌 圖8 芝加哥第四長(zhǎng)老會(huì) 跡的組合教堂窗戶圖案

第二類是以等邊三角形為基礎(chǔ)的圓與圓弧型軌跡的組合．如圖9，弧AC,BC是分別以等邊三角形的頂點(diǎn)B,A為圓心的弧，CD為三角形的高，則圖形ABC稱為等邊拱．類似地，以AD和BD為底，畫出等邊弓形AED和DFB．圓O是與弧AC,CB,ED,FD都相切的圓[1]．同時(shí)，這個(gè)圖形中還包含以下軌跡命題：

(1)與弧CA和CB相切的所有圓的圓心軌跡，是線段CD(端點(diǎn)C除外)；

(2)與弧ED和DF相切的所有圓的圓心軌跡，是線段CD上的線段HD(端點(diǎn)D除外，點(diǎn)H是過(guò)點(diǎn)E垂直于ED的直線與CD的交點(diǎn))；

圖9 圓與圓弧型 圖10 芝加哥聯(lián)合 軌跡的組合公園教堂的門上圖案

這一圖形曾出現(xiàn)在芝加哥聯(lián)合公園教堂的門上(圖10)，類似的圖案亦出現(xiàn)在英國(guó)林肯大教堂中(圖11)．

圖11 英國(guó)林肯大教堂的裝飾圖案

第三類是以正方形為基礎(chǔ)的圓與圓弧型軌跡的組合．這一類型結(jié)構(gòu)經(jīng)常出現(xiàn)在瓷磚、地板的設(shè)計(jì)中(圖12)，在正方形ABCD中，共包含有6個(gè)存在相切關(guān)系的半圓，這一結(jié)構(gòu)也曾出現(xiàn)在羅馬鑲嵌畫中(圖13)[8]．

圖12 以正方形為基礎(chǔ) 圖13 羅馬鑲嵌畫 的軌跡組合1

更復(fù)雜的圖案如圖14，左圖為基本圖形，右圖為根據(jù)左圖鑲嵌形成的地板圖案．由于整個(gè)圖形具有對(duì)稱性，只需研究以HS為邊的小正方形中圓與圓弧型軌跡的組合方式．圓N與小正方形的邊SH相切．弧ORQ和OKL是分別以小正方形的頂點(diǎn)S,H為圓心、邊HS的一半為半徑的弧．最后，再以LN和NQ為直徑畫半圓LMN和NPQ[1]．

圖14 以正方形為基礎(chǔ)的軌跡組合2

圖15 以正方形為基礎(chǔ)的軌跡組合3

第四類是以正方形為基礎(chǔ)的圓型軌跡的組合．如 圖15，以正方形對(duì)稱中心為圓心，有一大一小的同心圓，大圓與正方形各邊相切，有一系列小圓與兩同心圓相切，同時(shí)每一個(gè)小圓與相鄰的小圓相切[13]．

例8設(shè)計(jì)建筑物．

直線型與圓(弧)型軌跡的組合圖形常作為建筑物本身的一部分，例如威尼斯總督宮以及米蘭馬焦雷醫(yī)院(Ospedale Maggiore)的墻體構(gòu)造[8]，都是在兩條平行線之間構(gòu)造圓、半圓和等邊拱(圖16、 圖17)．根據(jù)圖16，可以提出軌跡問(wèn)題：求與直線CD和等邊拱相切的圓的圓心軌跡．

圖16 威尼斯總督宮

圖17 米蘭馬焦雷醫(yī)院

若兩平行線與水平線垂直，則此類直線型與圓弧型軌跡的組合常常構(gòu)成典型的拱券．Strader和Rhoads提及拱券半徑的長(zhǎng)度和圓心的位置取決于軌跡問(wèn)題中所學(xué)到的事實(shí)[14]．最簡(jiǎn)單的拱券如圖18所示，頂部是一個(gè)半圓．第二種常用拱券又稱“四心拱”，如圖19，先確定兩等圓A,B的圓心，再確定兩個(gè)小的等圓C,D的圓心，弧EG,GF,HE,FI圍成拱券的頂部．其他拱券諸如圓弧形拱、半圓形或羅馬拱、馬蹄形拱、蔥形拱等見(jiàn)圖20．

圖18 簡(jiǎn)單拱 圖19 四心拱

圖20 各類拱券

在凱撒統(tǒng)治時(shí)期建造的古羅馬高架渠融合了上述兩種設(shè)計(jì)類型，強(qiáng)調(diào)最大的強(qiáng)度和最小的用料，是羅馬人在工程建筑方面的杰作．如圖21，橋高180英尺，由三層羅馬拱組成．由下到上，分別由6個(gè)、11個(gè)、35個(gè)石拱組成．第二層石拱寬度均為75英尺，最底層中除了一個(gè)石拱的寬為75英尺，其他石拱的寬均為60英尺[14]．

圖21 古羅馬高架渠

4.3 日常生活中的應(yīng)用

在早期教科書中，有不少融入生活情境的軌跡問(wèn)題，充分反映了軌跡概念在日常生活中的應(yīng)用．

例9簡(jiǎn)單的生活問(wèn)題．

表1匯總了可以轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)軌跡的若干軌跡問(wèn)題，其中不僅有平面軌跡問(wèn)題，也包含簡(jiǎn)單的空間軌跡問(wèn)題．

還有教科書提出需要利用交軌法解決的軌跡問(wèn)題，如例10、例11．

例10如果有兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)，它們可照亮的最遠(yuǎn)點(diǎn)所成的軌跡是以發(fā)光點(diǎn)為圓心、半徑分別為3和4的圓，求在它們所在的平面上可以同時(shí)被兩個(gè)發(fā)光點(diǎn)照亮的點(diǎn)的軌跡．

Bush提出一個(gè)體現(xiàn)趣味性的“海盜藏寶問(wèn)題”[15]，其中共有7處寶藏，分別對(duì)應(yīng)如下7個(gè)軌跡問(wèn)題．

例11(海盜藏寶問(wèn)題)假設(shè)《海盜圖》(書中未呈現(xiàn))對(duì)海盜埋藏寶藏的位置作了如下描述，請(qǐng)你在圖中畫圖，使給定的線為實(shí)線，軌跡為虛線．

(1)第一處寶藏距離一棵橡樹半英里，同時(shí)距離一棵栗樹四分之三英里．

問(wèn)：什么時(shí)候有兩個(gè)可能的地點(diǎn)？什么時(shí)候沒(méi)有？

(2)第二處寶藏距離一個(gè)半徑一英里的圓形池塘岸邊四分之一英里，同時(shí)距離一個(gè)相鄰的筆直的海灘有半英里．

表1 融入生活情境的軌跡問(wèn)題

問(wèn)：什么時(shí)候會(huì)有8個(gè)這樣的地點(diǎn)？

(3)第三處寶藏與橡樹和栗樹的距離相等，同時(shí)離鄰近的一個(gè)半徑是四分之一英里的圓形池塘的岸邊也有1.5英里遠(yuǎn)．

問(wèn)：什么時(shí)候會(huì)有4個(gè)這樣的地點(diǎn)？

(4)第四處寶藏與收費(fèi)公路和山谷公路等距，同時(shí)也與橡樹和栗樹等距．

(5)以收費(fèi)公路的收費(fèi)站點(diǎn)為原點(diǎn)，第五處寶藏位于與收費(fèi)公路所在直線的正方向成60°的直線上，同時(shí)穿過(guò)橡樹；并且與收費(fèi)公路所在直線的負(fù)方向成45°的直線上，同時(shí)穿過(guò)栗樹．假設(shè)這些樹(a)在收費(fèi)公路上，(b)遠(yuǎn)離公路．

(6)第六處寶藏是在學(xué)校的收費(fèi)公路上；也在一條穿過(guò)橡樹且平行于山路的路上．

(7)第七處寶藏在穿過(guò)橡樹且與橡樹、栗樹所成線段垂直的直線上，同時(shí)離橡樹有一英里．

除此之外，Betz和Webb試圖讓學(xué)生進(jìn)行問(wèn)題提出．

例12問(wèn)題提出[16]：(1)打開一本書或一扇門會(huì)給你什么軌跡問(wèn)題？如果換成一個(gè)秋千？鐘擺？發(fā)動(dòng)機(jī)的調(diào)速器？一個(gè)時(shí)鐘？

(2)針對(duì)如圖22所示的“鋸齒形”屋頂，你能提出什么軌跡問(wèn)題？

圖22 “鋸齒形”屋頂

(3)什么是交軌法？請(qǐng)你自己編一個(gè)問(wèn)題，使得這個(gè)問(wèn)題的答案是由兩個(gè)相交的軌跡找到的．

5 關(guān)注幾何應(yīng)用的動(dòng)因

在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，教科書始終不易地關(guān)注軌跡的應(yīng)用，或者說(shuō)平面幾何的應(yīng)用．從數(shù)學(xué)內(nèi)部而言，軌跡反映了現(xiàn)代幾何學(xué)尺規(guī)作圖的思想和方法．從數(shù)學(xué)外部而言，表明人們對(duì)幾何實(shí)際應(yīng)用的關(guān)注程度之高．20世紀(jì)初，西方數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的培利運(yùn)動(dòng)倡導(dǎo)中學(xué)幾何課程教材擺脫《幾何原本》的束縛，重視幾何學(xué)的實(shí)際應(yīng)用．德國(guó)數(shù)學(xué)家F·克萊因(F.Klein,1849—1925)主張數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重幾何運(yùn)動(dòng)和幾何直觀的重要性．美國(guó)幾何大綱“十五人委員會(huì)”在其報(bào)告中追求幾何思維訓(xùn)練價(jià)值和實(shí)用價(jià)值的平衡[1]．

總之，關(guān)注幾何實(shí)際應(yīng)用是中學(xué)幾何教育的形式與理念的改革結(jié)果，是完善數(shù)學(xué)作為一門研究現(xiàn)實(shí)世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系的科學(xué)的認(rèn)識(shí)．

6 結(jié)論與啟示

以上我們看到，19世紀(jì)至20世紀(jì)的人們已經(jīng)意識(shí)到，軌跡概念在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部與外部的應(yīng)用都切實(shí)有效．學(xué)科外部的應(yīng)用體現(xiàn)軌跡與日常生產(chǎn)、生活中的眾多現(xiàn)象密切相關(guān)，涉及生產(chǎn)技術(shù)、建筑工程、生活經(jīng)驗(yàn)等領(lǐng)域．從美英早期幾何教科書中梳理得到的數(shù)學(xué)史料中可以看出，軌跡應(yīng)用的數(shù)學(xué)史料蘊(yùn)含多元的教育價(jià)值，對(duì)今日教學(xué)有諸多啟示．

其一，早期教科書中的軌跡應(yīng)用，體現(xiàn)了不同時(shí)空、地域的人們對(duì)軌跡概念價(jià)值的高度認(rèn)可，體現(xiàn)了軌跡的社會(huì)角色以及在審美娛樂(lè)方面的表現(xiàn)．所以，與軌跡應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)史可以充分展示文化之魅．教師可以直接采用或借鑒改編史料，利用基于數(shù)學(xué)史料的數(shù)學(xué)問(wèn)題營(yíng)造探究之樂(lè)；探究過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)能力之助；還可以設(shè)置數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)，讓學(xué)生利用生活經(jīng)歷編制與軌跡相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題．在學(xué)生解答軌跡問(wèn)題的過(guò)程中，需要綜合運(yùn)用勾股定理、垂直平分線、角平分線、圓周角定理、圓與切線、尺規(guī)作圖等知識(shí)和技能，幾乎囊括中學(xué)幾何課程的半壁江山，促成中學(xué)幾何的知識(shí)體系的完善與豐滿，構(gòu)建知識(shí)之詣．

其二，軌跡的應(yīng)用反映了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、科學(xué)技術(shù)、人文藝術(shù)的關(guān)系，說(shuō)明數(shù)學(xué)在社會(huì)生活、娛樂(lè)生活、職業(yè)生活中的不可或缺．所以軌跡應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界的絕佳的教學(xué)課題，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫作，啟發(fā)學(xué)生思考數(shù)學(xué)外部的軌跡甚至人生的軌跡，揭示數(shù)學(xué)背后的人文精神．教師還可以讓學(xué)生利用軌跡進(jìn)行藝術(shù)暢想，利用軌跡繪制人物卡通畫像、建筑裝飾圖形、雕塑等，并說(shuō)明其中所用的軌跡圖形，向?qū)W生傳遞數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，彰顯數(shù)學(xué)文化的德育之效．