研讀教材試題，提升中考解題能力
——一道甘肅中考壓軸題的命題與反思

顏天倫

(福建省晉江市毓英中學(xué)，福建晉江，362251)

二次函數(shù)的綜合題是中考的重點(diǎn)和難點(diǎn)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的圖象和性質(zhì)的研究利用的是從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的方法，這些方法是認(rèn)識事物規(guī)律的重要方法，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；其次，利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題是對學(xué)生實(shí)踐能力考查的良好載體，無論從基礎(chǔ)性還是綜合性方面都能贏得命題專家的青睞，因此教師要吃透學(xué)情和教材，研究考情，學(xué)會從“最近發(fā)展區(qū)”開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到中考能力要求的制高點(diǎn)，這樣才能無往而不勝.

1 試題呈現(xiàn)

例1(2020年甘肅省定西市中考數(shù)學(xué)試卷第28題)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx-2交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA=2OC=8OB.點(diǎn)P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn).

圖1

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)若PC//AB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)連接AC，求△PAC面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo).

2 導(dǎo)問結(jié)合，分析探究

2.1 回歸基礎(chǔ)，立足教材

立足教材是中考命題的一個原則，給學(xué)生一個以退為進(jìn)的探究平臺.

源題：(義務(wù)教育教科書九年級上冊第57頁綜合運(yùn)用題)根據(jù)下列條件，分別確定二次函數(shù)的解析式：

(1)拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)(-3,2),(-1,-1),(1,3)；

教師：如何求出二次函數(shù)的解析式？

學(xué)生1：設(shè)出二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，然后用待定系數(shù)法求解.

教師：回答得很好！就是用待定系數(shù)法，請同學(xué)們細(xì)心地代點(diǎn)列式.

教師：解答正確！注意用消元方法和轉(zhuǎn)化的思想求解，熟練運(yùn)算，要求結(jié)果準(zhǔn)確無誤.

教師：第(2)問中拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過哪三點(diǎn)？

教師：題設(shè)雖然沒有直接給出拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)，但這位同學(xué)善于抓住“與y軸交點(diǎn)”等關(guān)鍵字眼，能敏銳地洞察出三點(diǎn)的坐標(biāo)，真棒！你會求出解析式嗎？

教師：不錯不錯！在解答過程中一定要感受到待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)就是運(yùn)用方程思想.

2.2 類比思考，求同存異

教師：本題中如何求出拋物線經(jīng)過的三點(diǎn)？切入點(diǎn)在哪里？

學(xué)生5：因?yàn)閽佄锞€交y軸于點(diǎn)C，所以先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)OA=2OC=8OB，求得A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo).

教師：是這樣的！切入點(diǎn)或者說突破口就是“拋物線交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)即x=0時對應(yīng)的y=-2”.

2.3 方程思想，化難為易

教師：點(diǎn)C是一個定點(diǎn)，已知PC//AB，告訴你一個怎樣的數(shù)學(xué)事實(shí)？

學(xué)生6：OC等于點(diǎn)P到AB的距離，即點(diǎn)P的縱坐標(biāo)和點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等.

教師：能通過觀察發(fā)現(xiàn)一個幾何等量關(guān)系，太好了！如何求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)？

教師：反思我們求解的困難在哪里？兩條平行直線間的距離相等，其實(shí)你畫出AB平行的直線y=-2后，直觀理解為此直線與拋物線的交點(diǎn)也可以.

2.4 由淺入深，循序漸進(jìn)

教師：連接AC，因?yàn)闆]有一個直接求三角形的面積的條件是已知的，所以要求△PAC面積，你會想到什么？

學(xué)生8：采用分割法.

教師：對！這就是今后我們遇到求拋物線內(nèi)接三角形面積時應(yīng)該掌握的方法之一，如何分割求面積？

學(xué)生9：過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，交線段AC于點(diǎn)E.這樣把△PAC分割為兩個三角形△APE和△PEC.

教師：分割得很好.依以往解題經(jīng)驗(yàn)，兩個三角形的底和高分別是什么？

學(xué)生10：過點(diǎn)C作CM⊥PE，M為垂足.這樣就找到了△PEC的高CM，由于CM=DO，所以兩個三角形有同底PE，高分別是AD和OD.

圖2

教師：棒極了！求解線段長時必須設(shè)法把它化歸到(或構(gòu)造)某個平面圖形中，或者盡可能轉(zhuǎn)化在容易求出線段長的平面圖形中，然后去求解.想一想：點(diǎn)P的直角坐標(biāo)如何設(shè)？

教師：設(shè)得好！請問m的取值范圍是什么？

學(xué)生12：-4

教師：點(diǎn)E的坐標(biāo)如何求？

教師：上述的這些推演都是為求出兩個三角形的底和高作鋪墊.想一想：此問題中，三角形的底和高分別是什么？

教師：推演方法完全正確.接下來點(diǎn)P的坐標(biāo)如何求？

教師：至此我們在教材內(nèi)容基礎(chǔ)上，采用分割的方法求出了面積目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而利用二次函數(shù)求最值的方法完成目標(biāo)任務(wù).問題綜合性強(qiáng)，內(nèi)涵豐富，思維量大，選拔功能不言而喻.

3 不同視角，發(fā)散思維

由于學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)、認(rèn)知水平、能力大小不一，所以從審題到解題方法的運(yùn)用都千差萬別，使用的方法不可能整齊劃一，總是繁簡有別，所以在解題教學(xué)中，培養(yǎng)靈活運(yùn)用知識分析求解問題的能力，尤其是準(zhǔn)確而又迅速地解決問題的能力很重要.

視角一

教師：過點(diǎn)C作AB的平行線分割三角形，又如何來布列面積目標(biāo)函數(shù)？

學(xué)生17：此時過C的平行線CF把△PAC分割為兩個三角形△ACF和△PCF.

圖3

教師：很好！請繼續(xù)講.

學(xué)生18：先求出直線AP的解析表達(dá)式，再將y=-2代入求得點(diǎn)F的坐標(biāo).

教師：請大家做一做，然后說出結(jié)果.

學(xué)生19：設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，則將點(diǎn)A(-4,0)代入，得b=4k，即y=k(x+4).

教師：請寫出△PAC的面積的表達(dá)式.

教師：運(yùn)算推理正確.從面積結(jié)果看還需求出線段FC和PD的長，如何求出它們的長？

教師：得出這兩個結(jié)果，運(yùn)算量都很大，表現(xiàn)出同學(xué)們極大的耐力和運(yùn)算能力.請繼續(xù)進(jìn)行演算.

教師：從過程來看，由于直線AP不好確定，進(jìn)而點(diǎn)F不好確定，尤其是點(diǎn)P的坐標(biāo)的難以確定，運(yùn)算量比較大，容易出錯.與沿平行y軸的直線分割的思維相比較復(fù)雜.

視角二

教師：在直角三角形AOC中能否求出AC=？

教師：殊途同歸，如何求△PAC面積？

教師：現(xiàn)在三角形的一邊長AC是定值，要使△PAC面積最大，只需△PAC底邊AC上的高最長，即點(diǎn)P到AC的距離最大.這個過程中用到了一個點(diǎn)到直線距離公式，求解更簡捷，這是將來上高中以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和掌握的方法(此處略)，正如唐朝詩人王之渙說：“欲窮千里目，更上一層樓.”

4 教學(xué)反思與建議

面對閱卷中存在的問題和諸多空白卷，教師需要進(jìn)行教學(xué)反思.

(1)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)一直是中考命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)，綜合應(yīng)用是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行解題.教師需要在立足教材基礎(chǔ)上，對教材題不斷地由淺入深進(jìn)行改編和拓展，以不變應(yīng)萬變；需要在綜合題、教學(xué)方法的改進(jìn)上不斷創(chuàng)新，有效地將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)知識，進(jìn)一步提升能力.

(2)在教學(xué)中，教師應(yīng)該在設(shè)計問題、組織內(nèi)容和提問上下功夫，讓學(xué)生親身體會為什么要用分割法？分割有哪些方法？引導(dǎo)學(xué)生分析解題方法的優(yōu)劣，讓學(xué)生牢固掌握自己理解的方法.以三角形內(nèi)接于拋物線的綜合題比比皆是，解題教學(xué)重視轉(zhuǎn)化的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)、大膽分割、細(xì)心轉(zhuǎn)化、精于計算、合作交流的精神，這符合創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，從根本上改變“注入式”“灌輸式”教學(xué).

(3)教師要在轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力、邏輯推理能力上狠下功夫.通過觀察課堂和學(xué)生的互動發(fā)現(xiàn)學(xué)生能根據(jù)基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行解答，雖然在方法的選取上趨向一致(分割法)，但運(yùn)算上略有不足，所以教師在以后的教學(xué)中要精心設(shè)計教學(xué)過程，“授人以漁”，善于化整為零，各個擊破，多把總問題分解成多個讓學(xué)生能夠墊墊腳摸得到、想得來的小問題，多滲透轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想方法，以貼近學(xué)生認(rèn)知為目標(biāo)去啟發(fā)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識提高學(xué)生的解題能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升.