讓每一堂數(shù)學課都是一段愉悅的旅程

黃雪林

(吳江盛澤中學，江蘇蘇州，215000)

常常聽到高三學生抱怨：“高考結束以后，我再也不學數(shù)學了！”可見孩子在高中數(shù)學學習的過程中感受到的只有痛苦.作為一名高中數(shù)學教師每每聽到這樣的抱怨都有深深的刺痛感，為什么原本生動有趣的數(shù)學學科在學生的眼里是如洪水猛獸一樣的災難形象？數(shù)學學科本該是和物理、化學、生物這些學科一樣活潑、靈動有趣.然而現(xiàn)實中充斥著“唯解題”式的課堂教學，把數(shù)學這樣一個天生麗質的美人給裝扮成了一個令人害怕的怪獸，學生茫然地在數(shù)學的“題海”里浮沉，不知道從哪里來要往哪里去，這樣的課堂誰又不恐懼呢？

如果每一堂數(shù)學課都是一段愉悅的旅程，在每一段旅程中教師都能夠引領學生探究世界和思考世界，體悟到數(shù)學的魅力，從而快樂地學習數(shù)學，相信每一位學生都能夠學好數(shù)學，自然在數(shù)學考試中也能夠獲取較好的成績.然而什么樣的課堂教學才能夠實現(xiàn)獲取心靈的愉悅呢？溫暖的課堂氛圍下，學生自由的思考世界、自如的探究世界本質、自然的生成數(shù)學概念、公理、定理，在課堂中獲得心靈的愉悅.筆者就自己在構建高中數(shù)學現(xiàn)象教學課堂過程中的點滴做法與諸位分享，不足之處，敬請指正.

1 觀察表象世界，感受數(shù)學源于生活

我們的數(shù)學課堂教學“希望能給學生帶來愉悅感并喜歡上數(shù)學”.基于對現(xiàn)象探究的數(shù)學課堂教學，引領學生像數(shù)學家一樣觀察表象世界，探尋現(xiàn)象背后的數(shù)學本質，在數(shù)學學習過程中自然生成數(shù)學概念.這樣的數(shù)學課堂教學能夠幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美，促使學生自主地去探尋現(xiàn)象背后的數(shù)學本質.真正體悟到“興趣是最好的老師”，在學習過程中哪怕遇到困難仍然愿意迎難而上，甚至能夠做到再苦再累也心甘情愿.

我們的課堂教學總是花費太多的時間去思考課堂引入要靠什么去激發(fā)學生對數(shù)學概念、公理定理的興趣.如果過于依賴數(shù)學以外的材料并不能有效地幫助學生獲得成功的愉悅，我們應該引領學生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學自身的美、自身的魅力.這樣的課堂教學才能幫助學生真正領會數(shù)學的本質、真正學好數(shù)學、學到真正的數(shù)學.

以講授2019人教A版教材必修二第八章“二面角”的概念為例，教材中以“開門”這樣生活中最為常見的事情來理解二面角，“把門開大一些”是指哪個角大一些？來引導學生思考如何去剝離表象世界，探尋本質世界.門和墻面我們都可以抽象為平面來理解，都是規(guī)則的矩形，這是特殊的形狀學生很快就能夠理解并找到二面角，這個處理很好.但是對“二面角”概念的探究不能到這里就戛然止步，然后按部就班的給出來概念的表述、開始例題講解、習題訓練.二面角的概念此時還并沒有在學生腦子里形成，所有的表述都還是老師自己的理解，我們要繼續(xù)引領學生去探尋世界.

“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”這些都屬于同一個情境，都屬于矩形抽象為平面，三角形能不能抽象為平面？梯形能不能抽象為平面？不規(guī)則的平面圖形，像一片葉子，隨手扯的一張紙能不能抽象為一個平面？答案是肯定的，隨手撕一張不規(guī)則的紙片，折成兩個半平面能不能使得這兩個半平面的二面角為30°、45°、°60°、90°?你如何能說明這個二面角是30°、45°、°60°、90°？

學生做了非常好的演示：我把三角板45°的兩條邊直直的插在兩個半平面的交線處，就得到了兩個半平面的二面角為45°.要想得到兩個半平面的二面角為30°、°60°，也按照同樣的方法去做就可以了.(如圖1)

圖1 “二面角”演示

師：直直的插在兩個半平面的交線處，能不能用數(shù)學化的語言描述？

生：使得三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個半平面的交線.

圖2 “二面角”的平面角的求法

師：三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個半平面的交線，和“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”使得兩個半平面的二面角為45°有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？

生：要讓“開門”“打開書本”“打開筆記本電腦”這樣兩個半平面的二面角為45°，也可以把三角板ABO的兩條邊BO、AO都垂直于兩個半平面的交線.這個過程是一樣的，沒有區(qū)別.

師：如果沒有三角板，比如我想得到這張不規(guī)則的紙片，折成兩個半平面的二面角為15°？你們能得到嗎？

生：那我可不能保證，但是我可以像插入三角板一樣用線段畫出這個角來求這兩個半平面所成二面角.在兩個半平面的交線上取一個點O，分別在兩個半平面α、β內引垂線AO、BO都與兩個半平面的交線垂直，∠AOB如果是15°這兩個半平面所成二面角就是15°.

師：非常好，這就是兩個半平面所成二面角平面角.這個不規(guī)則紙片折成的兩個半平面可以代表任何情況下的兩個半平面，所以在兩個半平面的交線l上任取一個點O，分別在兩個半平面α、β內引垂線AO、BO都與兩個半平面的交線l垂直，∠AOB就是這兩個半平面所成二面角的平面角.

觀察表象世界的過程不應該淺嘗輒止，我們的課堂教學不要舍不得花時間引領學生去探尋以現(xiàn)象背后的數(shù)學本質.一定要帶領學生親歷從特殊到一般的探尋過程，真正做到對數(shù)學概念的理解.讓每個學生都能真切感受到數(shù)學是源于生活的學科.

就像理解“夏天”不是在池塘邊觸摸一下荷葉就是夏天，我們還要感受蛙叫蟬鳴、烈日清風甚至蚊叮蟲咬才能夠認識真實的“夏天”.高中數(shù)學的課堂教學也是這樣，我們不要害怕學生探究不到理想的答案，重要的是體悟世界的過程.

2 思考本質世界，親歷數(shù)學公理定理的發(fā)現(xiàn)

數(shù)學定理的證明過程蘊含著數(shù)學家們當初面對這一數(shù)學現(xiàn)象時的數(shù)學思想方法.數(shù)學課堂教學過程中我們要結合現(xiàn)象還原數(shù)學史，引領學生了解數(shù)學定理的來龍去脈以促進學生思維發(fā)展，感悟數(shù)學家們的探索和創(chuàng)新精神.數(shù)學定理是數(shù)學教學的重要內容，數(shù)學定理的教學應該立足于揭示定理本身的數(shù)學內涵、分析定理豐富的文化價值.尊重邏輯推理和定理的演變進程體悟數(shù)學推理的理性美、數(shù)學語言的簡潔美.

2019人教A版教材必修二第六章“正弦定理”是解斜三角形的重要工具之一，將初中所學的直角三角形的邊角關系延伸到斜三角形.教材中正弦定理的證明采用的“向量方法”是基于1748年數(shù)學家歐拉在其著作《無窮分析引論》中給出利用“三角形的高為輔助線”的結合第六章平面向量挖掘的證明方法，在證明的過程中能夠幫助學生很好地感知平面向量是溝通幾何與代數(shù)的工具性功能.

圖3 歐拉的證明

美國數(shù)學教育家M.克萊因(M.Kline, 1908—1992)認為：“歷史發(fā)展的順序可以為數(shù)學教學指明方向，我們沒有必要完完全全仿照知識的歷史發(fā)展，但是如果大數(shù)學家們在提出某些概念或者定理時遇到困難，我們學生也是會遇到的.教師在建構性地教授數(shù)學時，運用發(fā)生原理是極為有益的.”

圖4 正弦的定義

基于正弦的定義源于圓，十八世紀前，數(shù)學家們思考正弦定理的證明基本上都是通過構造圓的弦來實現(xiàn)的.如圖5，作△ABC的外接圓O，從外接圓的外心O向AB、BC和CA作垂線，垂足分別為D、E和F.

圖5 韋達的證明

則∠BAC=∠BOD,∠ABC=∠AOE,∠ACB=∠AOF.

這是法國數(shù)學家韋達(F.Viete,1540—1603)在著作《數(shù)學法則》中證明了正弦定理的方法，與教材中的“向量證明法”和歐拉的“三角形高的證明方法”比較，這個證明方法完整的呈現(xiàn)出了正弦定理的幾何意義.為今后在立體幾何中理解外接球等相關問題做了較好的思維鋪墊.

在教學過程中，教師可以請同學們思考能夠思考出其他的證明方法？下面展示兩種同學們思考的證明方法：

方法1：向量投影法——基于“歐拉的證明”結合向量的思考

圖6 向量投影證明

點評：巧妙地利用了向量投影的概念，可以說是歐拉證明方法的向量版本.與教材中提供的向量法證明比較，更為充分地體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美！較好地體現(xiàn)了孩子們學以致用的學習精神！

方法2：三角函數(shù)定義法

圖7 三角函數(shù)定義證明

點評：這是一個非常妙的證明！二次建系巧妙地運用了正弦的定義，真正認識到坐標系是溝通代數(shù)和幾何的重要橋梁！為今后學習解析幾何打下了思維基礎，時代的進步賦予了當代中學生可以輕松地獲取更多的知識，然而人類認識世界的方法自古以來幾乎是一致的.只有不斷地探索和思考，才能夠迸發(fā)出創(chuàng)新思維的火花！

3 應用真實世界，做數(shù)學題的設計者

例題和習題是課堂教學的重要組成部分，是實現(xiàn)數(shù)學概念和數(shù)學定理等重要知識結構化、系統(tǒng)化的重要素材，也是學生感悟數(shù)學魅力的重要.“快樂的數(shù)學課堂教學”同樣需要例題和習題，教材中的例題和習題都是編撰者結合學生的認知規(guī)律和思維發(fā)展規(guī)律精心設計的.在課堂教學中我們要用好這些例題和習題，同時也可以大膽地讓學生自己設計例題和習題.

在課堂教學的過程中有意識地鼓勵學生嘗試扮演命題人的角色，從命題人的視角改編、創(chuàng)作出全新的數(shù)學問題，有利于培養(yǎng)學生思考如何將數(shù)學概念、公理定理應用于真實的世界.有利于問題意識的萌發(fā)、創(chuàng)新思維的促進、合作能力的提升等各方面能力的培養(yǎng).

師：要判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)應該從哪些方面考慮？

生：定義域、值域和解析式要一致.

師：你能否列舉兩個函數(shù)定義域和值域一致，但是解析式不同的函數(shù)？

生1：y=2x和y=2x+1，所有的一次函數(shù)定義域和值域都一致，所有的反比例函數(shù)定義域和值域也一致，所有的二次函數(shù)定義域和值域也一致.

師：你能否列舉兩個函數(shù)解析式和值域一致，但是定義域不同的函數(shù)？

生2：y=1和y=x0？(表現(xiàn)略顯遲疑，不是很肯定.)

生4：y=1和y=x0是值域和解析式相同，定義域不同的函數(shù).滿足值域和解析式相同，定義域不同的函數(shù)有很多，比如二次函數(shù)y=x2，x∈(-∞,0)和y=x2，x∈(0,+∞)；y=2x2+1，x∈{1，2}和y=2x2+1，x∈{-2，-1，2}……這樣的例子有很多.

師：你能否列舉兩個函數(shù)定義域和解析式一致，但是值域不同的函數(shù)？

生：如果兩個函數(shù)定義域和解析式都一致，值域不會不同，就是同一個函數(shù)了.

師：所以要判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，我們只需要從兩個函數(shù)的定義域和解析式去判斷.你能不能命制一道關于函數(shù)三要素這個知識點的考察的例題并進行講解？

課堂上收獲了很多關于判斷函數(shù)是否為同一函數(shù)的習題，有一位同學命制了這樣一道題：已知函數(shù)解析式為y=5-x2，值域為{1，4}的函數(shù)一共有多少個？講解得也非常細致，獲得了所有同學的掌聲.這道題較好的引發(fā)了學生的思考，也從模仿走向了創(chuàng)新！在命制習題的過程中，每個學生都躍躍欲試，命制一道習題就如同在數(shù)學的版圖中攻城掠地、開疆拓土般的快樂.切換為習題設計者幫助學生建立起自己是數(shù)學題的設計師掌控人的愉悅感，取代了一直是練習題的操控者的被奴役的痛苦.

4 結束語

基于現(xiàn)實世界的高中數(shù)學課堂教學堅持幫助學生觀察以現(xiàn)象呈現(xiàn)的表象世界，分析思考本質世界的數(shù)學屬性，應用本質世界的數(shù)學屬性去解決真實世界的實際問題.當學生親眼看見數(shù)學知識是如何從他們身邊活潑的世界中產(chǎn)生并解決他們的困惑，自然就能夠體會到數(shù)學的魅力，從而激發(fā)對數(shù)學學習的興趣.深度思考和深度學習幫助他們建立起對數(shù)學學科的熱愛，實現(xiàn)“愿意終生與數(shù)學交朋友”的目標.

在平時的教研活動中，我們要潛心研讀教材，結合數(shù)學史的背景回溯數(shù)學概念、定理的源流，在課堂教學中引領學生親歷概念、定理的演變進程，幫助學生感同身受數(shù)學家們的困惑、思考和問題解決帶來的快樂！盡可能地給學生機會命制習題，學會站在命題者的視角審視習題，嘗試改編例題、創(chuàng)作習題享受數(shù)學的探索精神.將自主思考、合作探究的習慣融入到日常教學活動中.我們的數(shù)學課堂也可以像物理、化學課一樣做擁有數(shù)學實驗課，在實驗探究中體悟數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學公理定理的探索之旅……數(shù)學這個天生麗質的美人，我們要引領學生從不同的維度去感受她的美！