完形修復(fù)：指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心區(qū)域

薛仕扣

［摘 要］當(dāng)人面對(duì)一種不完美的刺激物時(shí)，會(huì)傾向于對(duì)其進(jìn)行修復(fù)，使之趨于完形。完形修復(fù)是人的一種基本認(rèn)知活動(dòng)方式，如學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程就是一種完形修復(fù)過(guò)程。在課堂教學(xué)中，通過(guò)完形修復(fù)實(shí)踐，將學(xué)生學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)有機(jī)地滲透到整個(gè)教學(xué)過(guò)程中去，可抵達(dá)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心。

［關(guān)鍵詞］缺陷；完形修復(fù)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）23-0044-03

一、完形修復(fù)，人的一種基本認(rèn)知活動(dòng)方式

1.相映成趣的心理實(shí)驗(yàn)

如圖1，如果遮住A和C，我們會(huì)不約而同地認(rèn)為圖中有三個(gè)數(shù)，依次是12、13、14；如果遮住12和14，同樣我們會(huì)認(rèn)為圖中有三個(gè)字母，依次是A、B、C。對(duì)于中間的部分，放在不同的情境中竟然會(huì)出現(xiàn)不同的答案（13或B），然而這就是人之常情！

2.人之常情的背后思考

人在認(rèn)識(shí)事物時(shí)，首先映入大腦中的是事物的整體，而不是事物的各個(gè)組成部分，這個(gè)整體即為完形。圖1中12、13、14或A、B、C組成的整體就是不同的完形。

3.俯拾即是的完形修復(fù)

人在面對(duì)一種不完美的刺激物時(shí)，會(huì)在認(rèn)知中情不自禁地產(chǎn)生一種急于要使之完滿的趨向，從而傾向于建立一個(gè)完形整體，這一過(guò)程即為完形修復(fù)。例如，圖2是獨(dú)立的三個(gè)扇形，但通常情況下，人的認(rèn)知傾向于它是一個(gè)三角形（自覺(jué)彌補(bǔ)三角形邊上的缺失部分），而忽視了其為獨(dú)立的三個(gè)扇形。這個(gè)修復(fù)過(guò)程是個(gè)體主動(dòng)的，且修復(fù)完成后將難以改變。

二、完形修復(fù)，指向數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心區(qū)域

1.意義剖析，感受完形修復(fù)的價(jià)值性

（1）在元素與整體中辨析

完形之“形”不是外物的形狀，也不是一種形式，而是知覺(jué)中的“形”。完形心理學(xué)認(rèn)為，心理現(xiàn)象最基本的特征是意識(shí)經(jīng)驗(yàn)中顯現(xiàn)出來(lái)的整體性和結(jié)構(gòu)性，整體性既包括構(gòu)成它的部分，又包括產(chǎn)生于獨(dú)立其組成要素的全新整體。元素論主張對(duì)事物進(jìn)行解剖研究，把元素從整體中割裂出來(lái)，研究其屬性，并把整體的特征簡(jiǎn)單歸結(jié)為元素之和。F.克萊因認(rèn)為，數(shù)學(xué)教師應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)并不是孤立的各部分，而是一個(gè)有機(jī)的整體。教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)學(xué)的不同分支和不同內(nèi)容之間的聯(lián)系，數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系。

（2）在自然與數(shù)學(xué)中共鳴

完形心理學(xué)認(rèn)為，人的大腦中先天存在著一些力的結(jié)構(gòu)樣式，當(dāng)物理中的力的樣式與心理上的力的樣式相對(duì)應(yīng)時(shí)，外在對(duì)象和內(nèi)在情感便產(chǎn)生共鳴，外在對(duì)象便具有了情感表現(xiàn)性，人就會(huì)產(chǎn)生審美體驗(yàn)。自然美與數(shù)學(xué)美是相互呼應(yīng)的，在數(shù)學(xué)世界里，鸚鵡螺線、對(duì)數(shù)螺線、黃金分割、斐波那契數(shù)列等都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的美妙與神奇。

（3）在張力與平衡中調(diào)和

張力與平衡是一對(duì)互相矛盾又互相補(bǔ)充的認(rèn)知規(guī)律。平衡是富有張力的動(dòng)態(tài)平衡，張力是在一個(gè)平衡的樣式中呈現(xiàn)的富有傾向性的張力。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要凸顯力的沖突，制造學(xué)生心理上的認(rèn)知失衡。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容應(yīng)該是現(xiàn)實(shí)的、富有挑戰(zhàn)性的。比如，教學(xué)“面積和面積單位”一課，在學(xué)生難以用重疊法比較兩個(gè)不同長(zhǎng)方形的大小時(shí)，便產(chǎn)生認(rèn)知張力，進(jìn)而思考“如何使用間接方法比較或用哪種圖形作面積單位最合適”，通過(guò)問(wèn)題引發(fā)認(rèn)知沖突，進(jìn)而引出面積單位。

2.追根溯源，尋找完形修復(fù)的“存在感”

（1）在同化和順應(yīng)的過(guò)程中修復(fù)完形

建構(gòu)主義理論認(rèn)為，人的知識(shí)獲取存在著兩種不同的方式，即同化和順應(yīng)。以順應(yīng)方式進(jìn)行學(xué)習(xí)的原因是人的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)匱乏，需要通過(guò)順應(yīng)不斷建立新的知識(shí)系統(tǒng)。在此過(guò)程中，順應(yīng)的過(guò)程從某種層面上講就是個(gè)體修復(fù)的過(guò)程，即建立新的知識(shí)系統(tǒng)這一新的完形。

例如，在教學(xué)“圓錐的體積”時(shí)，部分教師會(huì)讓學(xué)生先拿兩個(gè)等底等高的圓柱和圓錐容器，然后用圓錐容器裝滿水倒進(jìn)圓柱容器里，發(fā)現(xiàn)倒3次后圓柱容器里的水正好滿了，進(jìn)而得出圓錐和圓柱體積的關(guān)系。這樣的活動(dòng)，看似是學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作探究圓錐的體積，實(shí)質(zhì)上是在教師的指令下完成的，學(xué)生未能積極主動(dòng)地參與到知識(shí)順應(yīng)的過(guò)程中，只是被動(dòng)學(xué)習(xí)。為此，筆者進(jìn)行了調(diào)整，課前準(zhǔn)備大小不等的圓柱和圓錐（其中有等底等高的圓柱和圓錐）容器，讓學(xué)生自主選擇后進(jìn)行小組合作探究，最后師生共同得出結(jié)論。通過(guò)小小的調(diào)整，教師的指令沒(méi)有了，學(xué)生真正通過(guò)自主合作探究，最終得出圓錐的體積計(jì)算方法。

隨著知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，當(dāng)遇到新知時(shí)，人們更傾向于從舊知中尋找與新知的關(guān)聯(lián)度，一旦找尋到，人們就會(huì)自覺(jué)將新知納入原有的知識(shí)系統(tǒng)中，形成新的知識(shí)體系，最終建立更為完善的新的完形體系。這一同化的過(guò)程即為人自覺(jué)主動(dòng)的修復(fù)過(guò)程。例如，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方形后，教師出示1個(gè)長(zhǎng)方形并提問(wèn)“這是什么”，學(xué)生會(huì)回答“是長(zhǎng)方形”，而不會(huì)回答“是4條線段”?？梢?jiàn)，長(zhǎng)方形是學(xué)生自主修復(fù)所建立的新完形。同理，當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體后，教師出示1個(gè)長(zhǎng)方體并提問(wèn)“這是什么”，學(xué)生會(huì)回答“是長(zhǎng)方體”，而不會(huì)回答“是6個(gè)長(zhǎng)方形”。

（2）在整體和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)中修復(fù)完形

把知識(shí)整體、系統(tǒng)地呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在舊知的基礎(chǔ)上，把零散的知識(shí)按層次連接為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)體系。在連接的過(guò)程中，零散的知識(shí)不可能清晰地出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)體系中，很多時(shí)候是模糊的、有缺陷的，這給學(xué)生進(jìn)行自主修復(fù)提供了可能。學(xué)生不僅要認(rèn)識(shí)事物的外部特征，還要理解其隱含的本質(zhì)規(guī)律；不僅要知曉個(gè)別零散的知識(shí)，還要把握知識(shí)之間的聯(lián)系，由此構(gòu)成由表及里、由此及彼的完形知識(shí)結(jié)構(gòu)。

例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生得出“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的數(shù)，分?jǐn)?shù)的大小不變”的結(jié)論后，筆者略作停頓。不一會(huì)兒，一位學(xué)生舉起了手，說(shuō)：“同時(shí)乘或除以的數(shù)不能是0。”筆者因勢(shì)利導(dǎo)，問(wèn)：“為什么不能是0？”這位學(xué)生回答：“因?yàn)榉帜覆荒転?，如果分子和分母都乘或除以0，所得分母就是0?！?/p>

當(dāng)學(xué)生總結(jié)概括出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)（不完整的）后，筆者沒(méi)有立即評(píng)價(jià)，也沒(méi)有問(wèn)學(xué)生“可不可以同時(shí)乘或除以0”，而是略作停頓，給學(xué)生提供了修復(fù)的時(shí)間和空間，讓學(xué)生自主修復(fù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的完形。這種教學(xué)方式不僅有利于學(xué)生頭腦中新舊知識(shí)的結(jié)合，而且還能激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知潛力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用深入、聯(lián)系的思維方式去認(rèn)識(shí)周圍事物。

（3）在留白和想象的地帶中修復(fù)完形

首先，巧設(shè)板書，為學(xué)生完形修復(fù)搭建“腳手架”。

隨著科技的發(fā)展，許多現(xiàn)代化的教學(xué)手段走進(jìn)課堂，但是板書在教學(xué)中仍然起著不可替代的作用。板書是體現(xiàn)教材思路、教師教路、學(xué)生學(xué)路的最佳形式，一次好的板書能簡(jiǎn)練、系統(tǒng)地體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，以明晰的視覺(jué)符號(hào)啟迪學(xué)生思維，給學(xué)生提供記憶的框架結(jié)構(gòu)。

例如，在旁聽(tīng)“筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）”時(shí)，圖3是執(zhí)教教師設(shè)計(jì)的板書，圖4是筆者在執(zhí)教教師的基礎(chǔ)上略加修改形成的板書。

圖3的板書直接告知學(xué)生筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）的步驟，圖4的板書則出現(xiàn)了一些空白，正是因?yàn)檫@些空白的存在，激起學(xué)生對(duì)筆算兩位數(shù)加兩位數(shù)（進(jìn)位加）這一完形進(jìn)行自主修復(fù)的欲望。

師生對(duì)話是課堂教學(xué)中最常用也是最主要的一種手段。對(duì)話不是簡(jiǎn)單的“教師問(wèn)、學(xué)生答”，更不是“教師講、學(xué)生聽(tīng)”，而是通過(guò)對(duì)話啟迪、喚醒學(xué)生主動(dòng)思考。在對(duì)話的過(guò)程中只有給學(xué)生提供完形修復(fù)的場(chǎng)域，才能啟動(dòng)學(xué)生思維的翅膀。

其次，杜絕啰唆，為學(xué)生完形修復(fù)營(yíng)造“自組織”。

課堂教學(xué)是一門藝術(shù)，而課堂教學(xué)中的師生對(duì)話更是一門高級(jí)藝術(shù)。課堂上，教師的啰唆主要表現(xiàn)在三個(gè)方面：第一是無(wú)意識(shí)的口頭禪，如“啊”“嗯”“哦”“這個(gè)”等；第二是意思相同的提問(wèn)，如一個(gè)問(wèn)題提出后，在學(xué)生還沒(méi)有回答或者回答不出來(lái)時(shí)，又接二連三地?fù)Q角度重復(fù)提同一個(gè)問(wèn)題；第三是重復(fù)學(xué)生的答案，如學(xué)生回答后又重復(fù)學(xué)生的答案后才進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)評(píng)價(jià)。久而久之，教師的這些啰唆會(huì)干擾學(xué)生進(jìn)行自我修復(fù)。

教師應(yīng)將課堂視為實(shí)現(xiàn)完形的陣地，充分調(diào)動(dòng)可用資源，提供靈動(dòng)“對(duì)話場(chǎng)”、營(yíng)造積極“自組織”、激活融通的“心物場(chǎng)”和搭建最佳“腳手架”，以激發(fā)學(xué)生的完形意識(shí)，建立良性的“同構(gòu)”關(guān)系，促成學(xué)生自覺(jué)能動(dòng)地進(jìn)行完形修復(fù)。學(xué)生在改造、補(bǔ)充完形的過(guò)程中，容易激起大腦的潛力，提高認(rèn)知的興奮程度，從而引起一種進(jìn)取的、充滿緊張感的內(nèi)驅(qū)力。在這種內(nèi)驅(qū)力的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生會(huì)積極主動(dòng)地去“填補(bǔ)”不完美的刺激物。

3.同課異景，讓完形修復(fù)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

例如，在教學(xué)“平行四邊形的面積”時(shí)，筆者首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)長(zhǎng)方形面積的計(jì)算方法，接著問(wèn)學(xué)生如何求平行四邊形的面積。學(xué)生猜測(cè)用相鄰兩條邊相乘，筆者否定了學(xué)生的答案，但沒(méi)有告訴學(xué)生為什么否定，而是直接演示將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的過(guò)程（如圖5）。在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生根據(jù)轉(zhuǎn)化前后的關(guān)系，得出“平行四邊形的面積=底×高”。

上述教學(xué)中，學(xué)生真的掌握了求平行四邊形面積的計(jì)算方法了嗎？為求驗(yàn)證，筆者出示圖6并提問(wèn)：“如何計(jì)算這個(gè)平行四邊形的面積？”學(xué)生異口同聲地回答：“10×15=150（cm2）?！惫P者對(duì)學(xué)生的回答表示肯定，接著追問(wèn)：“你們是怎么算的呢？”學(xué)生按照之前的方法畫出了圖7，可是畫完后發(fā)現(xiàn)與之前學(xué)的（圖5）不一樣，學(xué)生陷入了思考。

通過(guò)學(xué)生異口同聲的回答可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生看似建立了平行四邊形面積計(jì)算方法這一完形，但對(duì)圖6這種平行四邊形，無(wú)法用之前的經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，說(shuō)明這一完形是有缺陷的。學(xué)生陷入思考的過(guò)程是一種自覺(jué)完形修復(fù)的過(guò)程。

接著，筆者沒(méi)有任何干涉，學(xué)生進(jìn)行自主探索。有的學(xué)生從平行四邊形上面切取一個(gè)直角三角形移到下面，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形（如圖8）；有的學(xué)生先將作業(yè)本旋轉(zhuǎn)90°，再割補(bǔ)圖形，最后轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形（如圖9）。

在仔細(xì)觀察圖形的基礎(chǔ)上，如何把平行四邊形轉(zhuǎn)化成一個(gè)面積與之相等的長(zhǎng)方形，圍繞這樣的中心問(wèn)題，學(xué)生自覺(jué)對(duì)已建立的完形進(jìn)行修復(fù)，最終豁然開(kāi)朗。

三、理性把握完形修復(fù)過(guò)程中存在的問(wèn)題

學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程不應(yīng)只有教師的指導(dǎo)，還應(yīng)有一種自覺(jué)的重新組織。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是在組織構(gòu)造一種完形，并對(duì)其中各種關(guān)系進(jìn)行認(rèn)識(shí)，這種完形過(guò)程一旦建立，將會(huì)形成學(xué)生自動(dòng)化的行為方式。

在教學(xué)過(guò)程中，如果教師制造的“陷阱”太少，學(xué)生不假思索就能輕易獲得完形，缺少了修復(fù)的過(guò)程，但如果教師制造的“陷阱”太多，學(xué)生會(huì)因捉摸不透而無(wú)法修復(fù)。因此，在完形修復(fù)的過(guò)程中，教師需要把握一定的尺度，這樣才能發(fā)揮應(yīng)有的作用。

1.完形消逝，對(duì)學(xué)生修復(fù)的過(guò)程過(guò)度關(guān)照

課堂上，有的教師生怕學(xué)生聽(tīng)不懂，總是講得太多且從不制造“陷阱”，或者制造“陷阱”自己跳，不敢讓學(xué)生去跳，忽視了學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的修復(fù)過(guò)程。一節(jié)課下來(lái)，教師口干舌燥，學(xué)生只是被動(dòng)接受，如此，因缺少修復(fù)的過(guò)程導(dǎo)致完形消逝。

2.完形失敗，對(duì)學(xué)生修復(fù)的過(guò)程放任自流

課堂上，有的教師對(duì)學(xué)生的想法缺乏恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，造成學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容完形失敗。

例如，在旁聽(tīng)“倒數(shù)的意義”時(shí)，執(zhí)教教師這樣導(dǎo)入：“同學(xué)們，在日常生活中，很多東西可以倒置。比如，書可以倒放、杯子可以倒放（杯口朝下）……今天我們一起來(lái)學(xué)習(xí)倒數(shù)，猜猜看，倒數(shù)是什么？”學(xué)生的回答五花八門，有的說(shuō)倒數(shù)就是將數(shù)倒過(guò)來(lái)，如1倒過(guò)來(lái)是1，8倒過(guò)來(lái)是8，6倒過(guò)來(lái)就變成9；有的說(shuō)倒數(shù)就是倒著數(shù)數(shù)……學(xué)生的回答與倒數(shù)的意義沒(méi)有任何關(guān)系，最終導(dǎo)致學(xué)生對(duì)“倒數(shù)”這一概念完形失敗。

“要使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生對(duì)某一學(xué)習(xí)內(nèi)容的完形修復(fù)是存在差異性的，不能一概而論。教師要針對(duì)學(xué)生的不同特點(diǎn)，從多種角度發(fā)掘?qū)W生的潛能，用積極的心態(tài)去認(rèn)識(shí)學(xué)生完形修復(fù)的過(guò)程，遵照不同學(xué)生完形修復(fù)的差異性。