從課程標(biāo)準(zhǔn)視角理解教材異同
——以“正弦定理”為例

趙 華

（南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 南京）

趙 華

（南京師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇 南京）

一、問題的提出及研究背景

自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（下文簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）頒布以來，高中數(shù)學(xué)各版本新教材相繼問世。將蘇教2019年版與2005年版教材（下文簡(jiǎn)稱“新教材”“舊教材”）進(jìn)行對(duì)比，不難發(fā)現(xiàn)：新、舊教材間存在顯著差異，但也有不變的內(nèi)容。查看人教2019年版教材，發(fā)現(xiàn)其與蘇教版新教材在同一課題的編寫上也存在著巨大差異。面對(duì)新、舊教材以及新教材間的異同，一線教師要如何理解以便使用好新教材呢？

本文以“正弦定理”為例，著重從課程標(biāo)準(zhǔn)視角來理解蘇教版新、舊教材間的異同點(diǎn)：章節(jié)架構(gòu)、問題設(shè)計(jì)、定理證明、概念描述和例題設(shè)計(jì)，同時(shí)參考了人教A版新教材。

二、教材對(duì)比分析及理解

正弦定理是高中數(shù)學(xué)中研究三角形邊角關(guān)系的重要結(jié)論，也是解三角形的重要定理。下面將從章節(jié)架構(gòu)、問題設(shè)計(jì)、定理證明、概念描述、例題設(shè)計(jì)等五個(gè)方面闡述對(duì)新、舊教材的對(duì)比分析及理解。

（一）章節(jié)重構(gòu)，突出課程主線

教材內(nèi)容的章節(jié)位置，不僅代表其在課程中的地位，同時(shí)體現(xiàn)課程的整體設(shè)計(jì)思路。

表1 正弦定理在三版教材中的章節(jié)位置表

對(duì)比新、舊教材，發(fā)現(xiàn)正弦定理均設(shè)置在“解三角形”一章，只是節(jié)順序有所調(diào)整，同時(shí)章順序也發(fā)生重大變化。由此可見，新教材對(duì)課程內(nèi)容的章節(jié)設(shè)置做了重大調(diào)整。按照新課標(biāo)要求，在課程結(jié)構(gòu)上，課程內(nèi)容分為四條主線：函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)。在主線設(shè)計(jì)思路下，同一主題內(nèi)容要相鄰而置，同主題下的內(nèi)容要銜接自然。因而新教材就不得不對(duì)章節(jié)進(jìn)行重構(gòu)。正弦定理屬于幾何與代數(shù)主線，由于向量是聯(lián)系幾何與代數(shù)的天然橋梁，而正弦定理是刻畫幾何圖形三角形的代數(shù)形式，故在同一主題下，“向量”（第9章）章節(jié)先于“正弦定理”（第11章）。同為解三角形的重要定理，余弦定理與向量的聯(lián)系更緊密、過渡更自然，因而余弦定理設(shè)置先于正弦定理。在突出課程主線的設(shè)計(jì)思路下，章節(jié)重構(gòu)后的新教材使用起來更順暢。

人教A版新教材沒有設(shè)置“解三角形”一章，而是將解三角形的兩個(gè)重要定理設(shè)置在“平面向量的應(yīng)用”中。但從章節(jié)劃分上看，它的整體性更好，更能突出課程主線。當(dāng)然，這樣設(shè)置在強(qiáng)化了平面向量應(yīng)用的同時(shí)，也弱化了“解三角形”的地位。

（二）問題設(shè)計(jì)，注重知識(shí)關(guān)聯(lián)

不同的導(dǎo)入問題會(huì)將活動(dòng)探究引向不同方向。同一章的多個(gè)子節(jié)內(nèi)容，既可采用不同問題導(dǎo)入，也可采用相同問題導(dǎo)入。大體上，好的導(dǎo)入問題或者從不同方向聚焦本質(zhì)，或者從同一方向發(fā)散聯(lián)結(jié)。新教材對(duì)正弦定理的導(dǎo)入設(shè)計(jì)屬于后者。

表2 正弦定理在新、舊兩版教材中的導(dǎo)入問題

在“正弦定理”的導(dǎo)入問題上，新教材僅用一句話：“還有其他途徑將向量等式數(shù)量化嗎？”而在舊教材中，則是從特殊的直角三角形入手，先得到正弦定理，再提出一般猜想。相比之下，舊教材的導(dǎo)入更符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，突出數(shù)學(xué)思想方法。那為何要做此變更？新課標(biāo)在課程結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)依據(jù)中明確指出，要“依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，關(guān)注知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)”。舊教材正是因?yàn)闆]有關(guān)注到正、余弦定理之間的關(guān)聯(lián)性，才采用不同問題設(shè)計(jì)。而新教材則將正、余弦定理聯(lián)系起來看待，采用同一個(gè)導(dǎo)入問題，自然而然地揭示它們之間的關(guān)聯(lián)性。

當(dāng)然，同一個(gè)問題依賴于兩種不同的數(shù)量化處理導(dǎo)出兩個(gè)不同的定理，雖然顯現(xiàn)兩個(gè)定理間的關(guān)聯(lián)性，但由于向量等式數(shù)量化的方法并不唯此兩種，還可能導(dǎo)出其他結(jié)論，如射影定理。因而這樣的導(dǎo)入方式也承擔(dān)了一定的風(fēng)險(xiǎn)。相比之下，人教2019年版中的導(dǎo)入方式似乎更高明些，它相當(dāng)于將蘇教新、舊教材的導(dǎo)入方式進(jìn)行了整合。

（三）證法調(diào)整，側(cè)重向量方法

關(guān)于正弦定理的推導(dǎo)方法頗為豐富，古有同徑法和外接圓法，現(xiàn)有作高法、等積法、坐標(biāo)法和向量法等。但教材受篇幅局限性的影響，并不能將其一一羅列。因而，教材對(duì)推導(dǎo)方法必須有所選擇、有所側(cè)重。

表3 正弦定理在新、舊兩版教材中的證明方法

舊教材首先提供了四種途徑去嘗試證明（如上表），分別為作高法、坐標(biāo)法、外接圓法、向量法。隨后給出了（1）和（4）的詳細(xì)證明過程。新教材則因?yàn)檠赜昧饲耙还?jié)的“向量式”導(dǎo)入，順其自然地給出了向量法的證明過程，而將（1）作為思考題提出。至于外接圓法，兩版教材均以課后探究題形式出現(xiàn)。新教材比舊教材更側(cè)重于向量法的運(yùn)用。除了向量法是順應(yīng)導(dǎo)入問題的必然選擇外，還有一個(gè)重要原因。新課標(biāo)要求，通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生要獲得基本思想方法。具體到幾何與代數(shù)主線下，就是要學(xué)會(huì)運(yùn)用研究圖形的四個(gè)基本方法：綜合法、分析法、解析法和向量法。由于向量概念起源于幾何，是研究幾何圖形的基本方法。而三角形又是基本幾何圖形。因而在研究三角形時(shí)，側(cè)重于向量法的運(yùn)用具有典型性和代表性。

人教版新教材在正弦定理的推導(dǎo)方法上不存在側(cè)重于哪一種方法的糾結(jié)。因?yàn)檎鹿?jié)架構(gòu)不同，導(dǎo)致正弦定理的推導(dǎo)背景不同。它以平面向量的應(yīng)用為推導(dǎo)背景，運(yùn)用向量法推導(dǎo)正弦定理順理成章。而蘇教版新、舊教材都是以解三角形為推導(dǎo)背景，面對(duì)多種解決途徑，自然不可避免地要進(jìn)行側(cè)重權(quán)衡。

（四）概念完善，凸顯核心素養(yǎng)

從知識(shí)角度來看，“解三角形”一章應(yīng)包含兩個(gè)重要定理和一個(gè)基本概念（解三角形）。但舊教材并未給出基本概念，而是以備注形式定義了“解斜三角形”，新教材則不同。那么，從“解斜三角形”到“解三角形”的變更意味著什么？

表4 新、舊兩版教材中解三角形的概念

就名稱而言，斜三角形是指非直角三角形，而三角形是指任意三角形。如果說直角三角形是特殊三角形，那么斜三角形也是特殊三角形。因此，舊教材實(shí)現(xiàn)了從一種特殊情況入手解決了另一種特殊情況，即完成從特殊到特殊的推理。新教材則是在舊教材的基礎(chǔ)上，對(duì)三類三角形的結(jié)論進(jìn)行整合、歸納，得出一般結(jié)論，實(shí)現(xiàn)了從一種特殊情況入手解決了一般情況，即完成從特殊到一般的推理。新課標(biāo)最大的變化即提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六個(gè)核心素養(yǎng)，其中邏輯推理包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，一類是從一般到特殊的推理。因而，從“解斜三角形”到“解三角形”，表面上看是概念名稱的一字之變，實(shí)質(zhì)上是課標(biāo)要求從關(guān)注知識(shí)上升到關(guān)注素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變。

（五）例題設(shè)置，貫徹“四基”要求

縱觀新教材正弦定理整節(jié)內(nèi)容，無論是從章節(jié)架構(gòu)到問題設(shè)計(jì)，還是從證明方法到核心概念都變更出新，卻有一個(gè)環(huán)節(jié)保持不變——例題設(shè)置。

仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，新教材中的例題保持不變與新課標(biāo)提出的“四基”要求密切相關(guān)。新課標(biāo)要求，通過數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，簡(jiǎn)稱“四基”。而教材中的例題，不同于一般的習(xí)題，除了具有示范性作用外，它還具有基礎(chǔ)性和典型性，是直接圍繞數(shù)學(xué)核心概念和思想方法的基本問題，或者是通過概念之間的關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的典型例題。因而，教材中的例題是學(xué)生獲得“四基”的重要載體之一。舊教材中的例題能夠延續(xù)到新教材中來，說明其本身已經(jīng)充分體現(xiàn)了“四基”要求。這樣的例題更值得教師在備課中深入思考，在課堂教學(xué)中充分利用，以達(dá)到通過例題的學(xué)習(xí)讓學(xué)生獲得“四基”的目的。

三、教材理解中的困惑

盡管從新課標(biāo)視角去理解新教材的變更與否更容易，但同時(shí)也存在一些困惑。比如，新教材重點(diǎn)突出了向量法對(duì)三角形的研究。但縱觀整章內(nèi)容，除了定理證明，涉及向量法的題目共有三道，似乎有些虎頭蛇尾了。所以在教學(xué)中如何協(xié)調(diào)向量法與解三角形的地位問題，值得我們進(jìn)一步去研究與探索。