高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中創(chuàng)新能力培養(yǎng)的實(shí)踐探索
——以引入分?jǐn)?shù)階微積分為例

曹建雄

蘭州理工大學(xué)理學(xué)院 甘肅蘭州 730050

根據(jù)教育部2019年制定出臺(tái)的《關(guān)于深化本科教育教學(xué)改革全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的意見》，教師應(yīng)該在本科教學(xué)過程中貫徹“科研反哺教學(xué)”的理念，要在科研工作過程中體現(xiàn)育人功能，讓最新的研究成果轉(zhuǎn)變?yōu)檎n堂教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教師要利用科研創(chuàng)新訓(xùn)練課程等多種方式，對(duì)學(xué)生的科研活動(dòng)進(jìn)行指導(dǎo)。學(xué)校應(yīng)該加大科研實(shí)踐平臺(tái)的建設(shè)，推動(dòng)各類科研基地開放共享，支持學(xué)生早進(jìn)教授課題組、早進(jìn)實(shí)驗(yàn)室、早進(jìn)團(tuán)隊(duì)，推動(dòng)學(xué)生創(chuàng)新和實(shí)踐能力的培養(yǎng)。教育部出臺(tái)的指導(dǎo)意見對(duì)新時(shí)代高校教師的教學(xué)工作提出了更高的要求，這就需要高校教師學(xué)會(huì)科教融合，在講授已經(jīng)非常成熟的基礎(chǔ)課程過程時(shí)，時(shí)刻融入最新的科研成果，讓科研反哺教學(xué)，激發(fā)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)基礎(chǔ)課程的積極性，同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生繼續(xù)深造學(xué)習(xí)的興趣，某種程度上緩解就業(yè)壓力。

筆者從事大學(xué)公共數(shù)學(xué)課程，例如高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)課程的教學(xué)研究工作，科學(xué)研究方面從事分?jǐn)?shù)階微分方程建模和數(shù)值計(jì)算的科研工作。在近些年的課堂教學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)常思考如何將科研成果反哺教學(xué)，實(shí)現(xiàn)科研育人功能。本文以引入分?jǐn)?shù)階微積分為例，介紹筆者在高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實(shí)踐探索，可為教師在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供一點(diǎn)參考。

一、高等數(shù)學(xué)課程中科研反哺教學(xué)的實(shí)踐

眾所周知，大學(xué)階段的學(xué)習(xí)生活在每個(gè)人的一生中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，一個(gè)人的“人生觀、世界觀、價(jià)值觀”往往是在這一時(shí)期形成的。大學(xué)生在學(xué)習(xí)生活中不斷探索自我、定義自我，為今后的自我定位引導(dǎo)方向。本科階段的學(xué)習(xí)以學(xué)為主，通過四年的學(xué)習(xí)，學(xué)生要掌握本學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)，為進(jìn)一步攻讀研究生奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。此外，本科階段的學(xué)習(xí)是全面的、系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生學(xué)會(huì)已有知識(shí)，包括熟練掌握公共基礎(chǔ)課和專業(yè)必修課的知識(shí)。

微積分是高等數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容，是理工科專業(yè)學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容。微分學(xué)和積分學(xué)在日常生活、科學(xué)研究、工程應(yīng)用等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，微積分的地位可見一斑。筆者從事分?jǐn)?shù)階微積分相關(guān)科研工作，具有在高等數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中為學(xué)生引入分?jǐn)?shù)階微積分的良好基礎(chǔ)。下面，我們從引入的意義和具體實(shí)踐過程兩方面來敘述。

(一)在講授微積分的內(nèi)容時(shí)拓展介紹分?jǐn)?shù)階微積分的意義

數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是高等院校理工類專業(yè)、財(cái)經(jīng)類專業(yè)學(xué)生的一門必修基礎(chǔ)課程，也是工科、理科類研究生入學(xué)考試的基礎(chǔ)科目。良好的高等數(shù)學(xué)知識(shí)可為學(xué)生畢業(yè)后的工作和科學(xué)研究提供可靠的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)保障。

自從17世紀(jì)60年代牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分以來，微積分學(xué)逐步形成了一門邏輯嚴(yán)密、系統(tǒng)完整的學(xué)科，它不僅成為其他許多數(shù)學(xué)分支的重要基礎(chǔ)，而且在自然科學(xué)、工程技術(shù)、生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等眾多領(lǐng)域都獲得了十分廣泛的應(yīng)用。高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)的必修課程，通過這門課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生獲得向量代數(shù)與空間解析幾何、微積分的基本知識(shí)，必要的基礎(chǔ)理論和常用的運(yùn)算方法。教師要注意培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和初步的抽象思維、邏輯推理及空間想象能力，從而使學(xué)生獲得解決實(shí)際問題的能力，為學(xué)習(xí)后繼課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

分?jǐn)?shù)階微積分是指將高等數(shù)學(xué)課程中所學(xué)的經(jīng)典微分和積分推廣到任意階微分和積分，進(jìn)而研究任意階微積分理論體系及應(yīng)用的數(shù)學(xué)理論。分?jǐn)?shù)階微積分和整數(shù)階微積分有同樣漫長的發(fā)展史，其起源最早可追溯到1695年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨給洛必達(dá)的回信，在信中首先討論了0.5階導(dǎo)數(shù)的問題。此后，歐拉、阿貝爾、傅里葉等著名數(shù)學(xué)家直接或間接地對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分做出了貢獻(xiàn)。然而，由于分?jǐn)?shù)階微積分沒有完全、可接受的幾何或物理解釋以及應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微積分在很長一段時(shí)間內(nèi)沒有引起足夠的重視，分?jǐn)?shù)階微積分的研究只停留在純數(shù)學(xué)理論研究階段。到了20世紀(jì)60年代，分?jǐn)?shù)階微積分的思想引起了工程師們的興趣。1974年，第一屆分?jǐn)?shù)階微積分國際會(huì)議在美國召開，分?jǐn)?shù)階微積分逐漸應(yīng)用到工程科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。如今，分?jǐn)?shù)階微分方程已成為描述復(fù)雜過程和反常擴(kuò)散現(xiàn)象等問題的重要數(shù)學(xué)工具。

近年來，分?jǐn)?shù)階微積分在理科和工科研究的眾多領(lǐng)域(如分?jǐn)?shù)階微分方程的求解、分?jǐn)?shù)階動(dòng)力系統(tǒng)分析、黏彈性流體流動(dòng)、溶質(zhì)輸運(yùn)、地下水污染、圖像處理、金融等)都有廣泛的應(yīng)用。筆者所在單位是一所理工科院校，許多學(xué)生本科畢業(yè)后選擇了材料、建筑、電氣等行業(yè)或者繼續(xù)攻讀研究生。既然分?jǐn)?shù)階微積分在理工科的許多領(lǐng)域都有著非常多的應(yīng)用，就有必要在本科階段學(xué)習(xí)。如何學(xué)習(xí)，這就需要教師和學(xué)生發(fā)揮主觀能動(dòng)性，充分利用有限的課堂學(xué)習(xí)時(shí)間學(xué)習(xí)最新知識(shí)。因此，在本科階段的數(shù)學(xué)課堂中為學(xué)生介紹分?jǐn)?shù)階微積分很有必要，不僅可以讓學(xué)生學(xué)到新知識(shí)，還可以激發(fā)學(xué)生探索未知的興趣，促進(jìn)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，為本科畢業(yè)繼續(xù)攻讀研究生打好基礎(chǔ)。陳安等[3]對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分在數(shù)值分析課程中的融合進(jìn)行了探索。

(二)分?jǐn)?shù)階微積分引入的具體實(shí)踐

微分和積分是高等數(shù)學(xué)的兩大核心內(nèi)容，在整個(gè)課程中占的比例最大。在同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編的《高等數(shù)學(xué)第七版》[1]教材中，導(dǎo)數(shù)和微分的內(nèi)容分為第二章的《導(dǎo)數(shù)與微分》和第三章《微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》。積分的內(nèi)容分為第四章《不定積分》、第五章《定積分》、第六章《定積分的應(yīng)用》、第十章《重積分》和第十一章《曲線積分與曲面積分》。

這些關(guān)于微分和積分的定義及運(yùn)算都指整數(shù)階形式，即函數(shù)關(guān)于自變量的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、…、n階導(dǎo)數(shù)；函數(shù)在區(qū)間上的一重積分、二重積分、…、n重積分。而分?jǐn)?shù)階微積分就是常見經(jīng)典整數(shù)階的微積分運(yùn)算推廣到非整數(shù)階的微分和非整數(shù)階的積分。如何在學(xué)習(xí)完微積分的內(nèi)容后，拓展學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)階微積分的一些知識(shí)呢？

筆者在教學(xué)實(shí)踐中采取探索式、啟發(fā)式的方法引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)推廣學(xué)習(xí)。下面，我們通過例子來說明介紹分?jǐn)?shù)階微積分的過程。

在學(xué)生學(xué)完《高等數(shù)學(xué)》上冊(cè)的導(dǎo)數(shù)和積分的內(nèi)容后，提出問題，函數(shù)的0.5階積分和0.5階導(dǎo)數(shù)分別等于多少？例如：

(1)

一開始，學(xué)生可能感到一頭霧水，不知怎樣計(jì)算，如何回答。

接著，采用循序漸進(jìn)的教學(xué)方式，以一元函數(shù)f(x)=eax的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)為例，引導(dǎo)學(xué)生展開思考，按照所學(xué)的知識(shí)分組進(jìn)行討論，在掌握一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，能否分析推測(cè)出函數(shù)f(x)=eax的r(r>0)階導(dǎo)數(shù)是多少，即通過計(jì)算下列導(dǎo)數(shù)：

能否發(fā)散思維，可以合理定義：

當(dāng)r>0時(shí)，表示對(duì)函數(shù)f(x)求r階導(dǎo)數(shù);當(dāng)r<0時(shí)，表示函數(shù)f(x)的r階積分。

等到學(xué)生有了這樣的直觀感覺后，筆者結(jié)合自己的科研工作，用一節(jié)課的時(shí)間介紹兩種常見的分?jǐn)?shù)階微積分定義[2]，即Riemann-Liouville(RL)型和Caputo型的定義。同時(shí)，再介紹一些分?jǐn)?shù)階微積分的歷史和發(fā)展現(xiàn)狀，并舉例說明在學(xué)生未來工作或者科學(xué)研究中的一些應(yīng)用。最后，通過復(fù)習(xí)Gamma函數(shù)和Betta函數(shù)回答提出的問題。

首先，通過提問的方式回顧Gamma函數(shù)、Beta函數(shù)的定義和性質(zhì)，即：

Gamma函數(shù)和Beta函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)如下：

(1)Γ(s+1)=sΓ(s)(s>0)

(2)Γ(s)→+∞，s→0+

在高等數(shù)學(xué)教材中，對(duì)函數(shù)f(x)求n(n∈N)重積分可以表示為:

將上式中的n推廣到非整數(shù)情形，用Gamma函數(shù)的定義和性質(zhì)給出RL型分?jǐn)?shù)階積分的定義。

定義1[2]:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，r>0，則函數(shù)f(x)的r階RL型分?jǐn)?shù)階積分定義為:

定義2[2]:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，n-1≤α

定義3[2]:Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，n-1<α≤n，n為正整數(shù)，則f(x)的α階Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

接下來，回到問題(1)，讓學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)和分?jǐn)?shù)階微積分的定義計(jì)算函數(shù)f(x)=x的0.5階RL型積分和0.5階Caputo型導(dǎo)數(shù)。大部分學(xué)生能夠計(jì)算得到：

最后，讓學(xué)生利用定義2、3分組討論計(jì)算常數(shù)的RL型和Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，從而得出RL型和Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要區(qū)別，即常數(shù)的Caputo型導(dǎo)數(shù)為0，而常數(shù)的RL型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)不等于0。這個(gè)結(jié)論與學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)儲(chǔ)備相悖，這個(gè)過程不僅使他們加深認(rèn)識(shí)了“常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0”這一高等數(shù)學(xué)課程中學(xué)到的重要結(jié)論，而且激發(fā)了學(xué)生研究RL型和Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)區(qū)別和聯(lián)系的興趣。

筆者在實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生還想繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)階微積分的知識(shí)，并且能夠把學(xué)到的知識(shí)應(yīng)用到數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽、“互聯(lián)網(wǎng)+”等競(jìng)賽中。這樣的課堂教學(xué)改革不僅會(huì)活躍課堂學(xué)習(xí)氛圍，也會(huì)讓本科生接觸前沿研究成果，激發(fā)他們對(duì)科學(xué)研究的興趣。

二、結(jié)論

眾所周知，本科階段的課程學(xué)習(xí)為學(xué)生未來的工作或者科研打基礎(chǔ)，不管是科研創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還是工作創(chuàng)新能力的積累，都離不開本科階段基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)。高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)這兩門公共數(shù)學(xué)課程給很多學(xué)生留下了深刻印象。本文以在微積分內(nèi)容的課堂教學(xué)中引入分?jǐn)?shù)階微積分概念為例，介紹了在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中科研反哺教學(xué)的一種探索，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力提供指導(dǎo)。在后續(xù)的教學(xué)活動(dòng)中，將結(jié)合學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，把最新科研成果轉(zhuǎn)化為教學(xué)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生專業(yè)學(xué)習(xí)興趣。