改進(jìn)的粗糙表面線性變換重構(gòu)方法

夏富佳，唐進(jìn)元，楊鐸

摩擦磨損與潤(rùn)滑

改進(jìn)的粗糙表面線性變換重構(gòu)方法

夏富佳，唐進(jìn)元，楊鐸

（中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410083）

設(shè)計(jì)一種改進(jìn)方法，解決線性變換法無法實(shí)現(xiàn)任意偏斜度sk和峭度ku組合的粗糙表面重構(gòu)，以及無法保證表面高度極值特征參數(shù)（包括最大高度z、最大峰高p和最大谷深v）精度的問題。通過求解表面高度概率密度函數(shù)，代替線性變換法的Johnson轉(zhuǎn)換，構(gòu)造符合指定高度分布的非高斯序列，并利用時(shí)頻迭代法保證重構(gòu)表面高度參數(shù)的精度，在此基礎(chǔ)上，設(shè)置特定的sk和ku理論值，以證明所提改進(jìn)方法的優(yōu)越性，并將重構(gòu)噴丸表面和磨削噴丸表面與相應(yīng)實(shí)測(cè)表面進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證改進(jìn)方法的合理性。改進(jìn)方法對(duì)任意sk和ku組合的粗糙表面均能準(zhǔn)確重構(gòu)，且可以保證表面高度極值特征參數(shù)的精度，最大誤差不超過5%。此外，基于時(shí)頻迭代法，改進(jìn)方法有效避免了線性變換法中線性變換帶來的原理性誤差，重構(gòu)表面的精度高且魯棒性好，利用改進(jìn)方法重構(gòu)的噴丸表面和磨削噴丸表面，其高度分布、自相關(guān)函數(shù)均與實(shí)測(cè)表面吻合良好，相關(guān)粗糙度參數(shù)的最大誤差低于5%。對(duì)于任意高度分布和自相關(guān)函數(shù)的粗糙表面，文中提出的改進(jìn)方法均可實(shí)現(xiàn)高效、精準(zhǔn)的重構(gòu)，且表面q、sk和ku值能得到精確保證，表面高度極值特征參數(shù)也可得到良好表征。此外，采用改進(jìn)方法重構(gòu)的噴丸和磨削噴丸表面，其高度分布也更加符合實(shí)際。

表面重構(gòu)；線性變換；概率密度函數(shù)；時(shí)頻迭代；高度分布；自相關(guān)函數(shù)

表面粗糙度對(duì)于粗糙表面的摩擦、磨損、接觸和潤(rùn)滑等方面的性能具有重要影響[1-3]，在實(shí)際研究中，一方面如果研究完全基于大量實(shí)測(cè)樣本進(jìn)行，不僅樣本的獲取成本較高，而且難以保證樣本粗糙度參數(shù)覆蓋實(shí)測(cè)表面的有效范圍；另一方面即便通過數(shù)學(xué)優(yōu)化等方法得出了理論上具有最佳表面性能的粗糙度參數(shù)組合，找到符合這些參數(shù)的實(shí)測(cè)表面來進(jìn)行驗(yàn)證，也需要付出較大的代價(jià)[4]。由此可見，利用數(shù)值方法等來模擬指定粗糙度參數(shù)的表面，對(duì)于表面粗糙度與表面性能關(guān)系的研究具有重要的意義。

在工程實(shí)際中，大多數(shù)表面具有隨機(jī)結(jié)構(gòu)，可以通過高度分布和自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行表征[5]。基于此，發(fā)展出了快速傅里葉變換（FFT）法和線性變換法等2種主要的粗糙表面數(shù)值模擬方法，這2種方法均基于時(shí)間序列的自回歸滑動(dòng)平均模型、自回歸模型或滑動(dòng)平均模型重構(gòu)粗糙表面[6]。1982年，Watson等[7]率先提出基于自回歸滑動(dòng)平均模型的二維粗糙表面重構(gòu)方法。隨后，Whitehouse D J[8]提出了基于自回歸模型重構(gòu)三維粗糙表面的FFT法，Gu等[9]在其基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了重構(gòu)非高斯型三維表面的方法。之后，許多學(xué)者對(duì)FFT法進(jìn)行了研究和完善，其中應(yīng)用最廣泛的是Hu等[10]和Wu J J[11-12]提出的FFT法。對(duì)于線性變換法，最早由Patir N[13]提出，他通過對(duì)隨機(jī)矩陣進(jìn)行線性變換來生成滿足任意給定自相關(guān)函數(shù)的粗糙表面，實(shí)質(zhì)上就是滑動(dòng)平均模型。最初的線性變換法基于牛頓迭代法獲得滿足指定自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)系數(shù)矩陣，當(dāng)求解的非線性方程組維數(shù)較大時(shí)，效率極低，且魯棒性差[14]，因此通常只能生成自相關(guān)長(zhǎng)度有限的粗糙表面。為了解決上述問題，唐進(jìn)元等[15]采用非線性共軛梯度法代替牛頓法，有效改善了求解非線性方程組時(shí)不易收斂的問題。隨后，Liao等[6]利用最小二乘法將非線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，大大提高了線性變換法的計(jì)算效率和穩(wěn)定性。

由于零件表面大多呈現(xiàn)非高斯分布[16-17]，因此非高斯表面的重構(gòu)顯得尤為重要。研究者通常借助Johnson轉(zhuǎn)換法生成重構(gòu)表面需要的非高斯序列[18-20]，但Johnson轉(zhuǎn)換法一方面無法滿足偏斜度sk和峭度ku的任意組合[21]，給sk和ku比較極端的粗糙表面（如噴丸和磨削噴丸表面）的重構(gòu)帶來困難，另一方面也難以表征表面高度極值特征（表面最大高度z、最大峰高p和最大谷深v），導(dǎo)致重構(gòu)表面的高度分布與實(shí)際不符。對(duì)于線性變換法，雖然自相關(guān)函數(shù)的精度比FFT法的精度更高、更穩(wěn)定，但矩陣的線性變換可能會(huì)進(jìn)一步增大sk和ku的誤差[14,22]，導(dǎo)致重構(gòu)表面的精度難以保證。

針對(duì)上述問題，文中提出一種改進(jìn)的線性變換法：不采用Johnson轉(zhuǎn)換法，而是通過求解符合指定高度分布的表面高度概率密度函數(shù)構(gòu)造非高斯序列，并基于時(shí)頻迭代法[23]，避免因矩陣線性變換造成誤差，從而高效、穩(wěn)定、精準(zhǔn)地重構(gòu)任意指定高度參數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的粗糙表面。

1 相關(guān)粗糙度參數(shù)

對(duì)比二維粗糙度參數(shù)，三維粗糙度參數(shù)涵蓋了、、等3個(gè)維度上的信息，反映的表面高度和空間形貌特征更為全面[24]，因此文中選擇ISO 25178中與表面重構(gòu)相關(guān)的三維高度參數(shù)和空間參數(shù)進(jìn)行研究[25]。

1.1 高度參數(shù)

1）算術(shù)平均高度a，即表面的平均高度，通過式（1）計(jì)算。

式中：z為各點(diǎn)高度測(cè)量值與平均值的差值；和分別為高度矩陣的行數(shù)和列數(shù)。

2）均方根高度q，即表面高度標(biāo)準(zhǔn)差，通過式（2）計(jì)算。

3）偏斜度sk，表征表面形狀（凹凸）傾向，通過式（3）計(jì)算。

4）峭度ku，表征表面形貌尖銳度，通過式（4）計(jì)算。

5）最大峰高p，即表面峰點(diǎn)的最大高度，通過式（5）計(jì)算。

6）最大谷深v，即表面谷點(diǎn)的最大深度，通過式（6）計(jì)算。

7）最大高度z，即最大峰高與最大谷深的和，通過式（7）計(jì)算。

1.2 空間參數(shù)

1）最小自相關(guān)長(zhǎng)度al，表示自相關(guān)函數(shù)從原點(diǎn)沿各個(gè)方向衰減到指定值（默認(rèn)取0.2）時(shí)的最小水平距離，通過式（8）計(jì)算。

式中：acf為歸一化的自相關(guān)函數(shù)，計(jì)算如式（9）所示。

2）紋理特征比tr，表示表面各向同性、異性程度，越接近0代表各向異性特征（條狀溝壑）越明顯，通過式（10）計(jì)算。

2 線性變換法

2.1 原理

線性變換法基于滑動(dòng)平均模型重構(gòu)粗糙表面，對(duì)于一個(gè)行、列的表面高度矩陣，可以通過一個(gè)行、列的矩陣和一個(gè)（+）行、（+）列的隨機(jī)序列通過線性變換得到，如式（11）所示。

式中：為待求的自相關(guān)系數(shù)矩陣；為均值0、方差1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，滿足式（12）所示關(guān)系。

在離散形式下，矩陣的自相關(guān)函數(shù)有偏估計(jì)形式，定義如式（13）所示。

聯(lián)立式（11）—（13），可得式（14）。

求解式（14）所示的非線性方程組，即可根據(jù)式（1）得到滿足指定自相關(guān)分布的表面，求解過程的迭代初值可近似為式（15）。

由于非線性方程組的求解較困難，尤其當(dāng)矩陣的維數(shù)較大時(shí)，很容易出現(xiàn)不收斂的情況，因此Liao等[6]將非線性方程組的求解轉(zhuǎn)換為式（16）所示的無約束非線性優(yōu)化問題，并給出了式（17）所示的梯度的顯示表達(dá)式，大大提高了求解的效率和穩(wěn)定性。

式中：R, τy為指定的自相關(guān)函數(shù)，通常為式（18）所示指數(shù)衰減形式，其中*和*分別為自相關(guān)函數(shù)沿2個(gè)主方向衰減到初始值的10%時(shí)的自相關(guān)長(zhǎng)度。

2.2 高斯表面與非高斯表面的重構(gòu)

對(duì)于高斯表面的重構(gòu)，直接用計(jì)算機(jī)生成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差為q的高斯分布隨機(jī)序列，再與求得的自相關(guān)系數(shù)矩陣根據(jù)式（1）進(jìn)行線性變換即可。對(duì)于非高斯表面的重構(gòu)，則需要通過Johnson轉(zhuǎn)換法生成相應(yīng)的非高斯序列。然而，非高斯序列與自相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行線性變換后生成的表面，其偏斜度和峭度值相對(duì)于已經(jīng)發(fā)生了改變，因此需要進(jìn)行以下修正，如式（19）所示。

式中：sk和ku分別為待生成表面的偏斜度和峭度；*sk和*ku分別為非高斯序列的偏斜度和峭度。

根據(jù)式（19）求得修正后的偏斜度與峭度，再通過Johnson轉(zhuǎn)換法得到相應(yīng)的非高斯序列，利用式（1）即可得到指定偏斜度和峭度的表面*。

由于對(duì)*進(jìn)行整體放縮并不會(huì)改變其偏斜度和峭度，因此可以通過式（20）來保證最終所得表面的均方根高度q。

式中：std(*)為*的標(biāo)準(zhǔn)差。

3 缺陷及改進(jìn)

在實(shí)際工程中，材料表面絕大多數(shù)都為非高斯表面。在多數(shù)情況下，借助Johnson轉(zhuǎn)換法都能夠準(zhǔn)確地生成符合指定sk和ku的非高斯序列，但對(duì)于某些復(fù)雜表面（如噴丸表面）的sk和ku組合，利用Johnson轉(zhuǎn)換法無法構(gòu)造滿足參數(shù)精度的非高斯表面，所生成表面的sk和ku與指定值相比存在較大誤差，且p和v的值與工程實(shí)際表面相比偏差較大。此外，經(jīng)式（11）的線性變換后得到表面的sk和ku會(huì)發(fā)生改變，因此需要利用式（19）進(jìn)行修正。由于修正值可能超出Johnson法的有效范圍，部分sk和ku可達(dá)值需要通過大量嘗試才能保證其準(zhǔn)確度，仍然可能出現(xiàn)較大的誤差。針對(duì)上述問題，嘗試對(duì)線性變換法進(jìn)行改進(jìn)，通過求解符合指定高度分布的表面高度概率密度函數(shù)代替Johnson轉(zhuǎn)換法來構(gòu)造非高斯序列，并借助傅里葉變換在頻域內(nèi)進(jìn)行迭代計(jì)算，實(shí)現(xiàn)對(duì)任意指定高度分布和自相關(guān)函數(shù)的粗糙表面高效、精準(zhǔn)的重構(gòu)。具體的實(shí)現(xiàn)步驟如下。

通過改變表面的高度分布，在不違背粗糙度參數(shù)定義和參數(shù)間相關(guān)性規(guī)律的前提下，可以得到任意高度參數(shù)組合的粗糙表面，因此可以從優(yōu)化的角度出發(fā)，以高度參數(shù)q、sk、ku、p、v與指定值的誤差最小值作為優(yōu)化目標(biāo)（a與q高度線性相關(guān)，因此任意選擇1個(gè)即可；p、v和z存在等式關(guān)系，因此任意選擇2個(gè)即可），構(gòu)建優(yōu)化模型，求解表面高度的概率密度函數(shù)，從而生成非高斯序列。

由于離散表面高度的概率密度函數(shù)曲線也是離散的，其橫坐標(biāo)由一系列長(zhǎng)度相等的表面高度子區(qū)間組成。設(shè)需要重構(gòu)的表面高度矩陣為行列，子區(qū)間的數(shù)量為，長(zhǎng)度為，以高度z為中心、/2為半徑的高度區(qū)間[z–/ 2, z+/ 2]對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)值為f，則該子區(qū)間內(nèi)的表面離散點(diǎn)數(shù)量為MNlf。

與和z之間的關(guān)系可由式（21）表示。

當(dāng)取一個(gè)較大的值時(shí)，為一個(gè)接近0的極小值。當(dāng)遠(yuǎn)小于z時(shí)，得到式（22）。

式中：z為高度區(qū)間[z–/ 2, z+/ 2]內(nèi)第個(gè)點(diǎn)的高度；l為z與z的差值，–/ 2 <l

當(dāng)表面離散點(diǎn)的高度值為相對(duì)平均面的大小，即表面平均高度m= 0時(shí)，對(duì)于表面均方根高度q，存在式（23）所示的關(guān)系。

式中：z為表面第個(gè)點(diǎn)的高度。

當(dāng)z在零點(diǎn)附近時(shí)，雖然遠(yuǎn)小于z的條件并不成立，但此時(shí)式（22）約等號(hào)兩邊的值均趨于0，因此式（23）仍然成立，故q可近似表示為式（24）。

同理，sk和ku可近似表示為式（25）—（26）。

對(duì)于表面高度的概率密度函數(shù)曲線，存在如下約束：各高度子區(qū)間對(duì)應(yīng)的概率密度均大于0，整個(gè)高度區(qū)域的概率密度函數(shù)的積分為1。由此，可以得到優(yōu)化模型，如式（27）所示。

式中：1、2、3分別為q、sk、ku對(duì)應(yīng)的權(quán)值，一般均取為1。當(dāng)某個(gè)參數(shù)遠(yuǎn)小于其他參數(shù)或?qū)δ硞€(gè)參數(shù)重點(diǎn)關(guān)注時(shí)可以適當(dāng)提高其對(duì)應(yīng)的權(quán)值。為未知數(shù)數(shù)量，過小會(huì)導(dǎo)致表面的高度參數(shù)誤差較大，過大則會(huì)導(dǎo)致求解效率較低，建議取100～200即可。

對(duì)于迭代過程初值的選取，這里參考高斯分布的概率密度函數(shù)形式，結(jié)合大量的實(shí)際仿真結(jié)果，給出式（28）所示的參考公式。

對(duì)式（27）進(jìn)行求解，可以得到滿足條件的概率密度函數(shù)曲線。對(duì)于高度區(qū)間[z–/ 2, z+/ 2]，可以通過式（29）生成相應(yīng)的高度序列{z}。對(duì)每個(gè)高度子區(qū)間進(jìn)行同樣的操作，將得到的高度值匯總，并隨機(jī)打亂后重新排列成行列的矩陣，即可得到符合指定高度參數(shù)要求的非高斯序列。

式中：rand為Matlab中生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，rand(1, MNlf)表示隨機(jī)生成大小在0～1之間的1行MNlf列矩陣。

通過上述方法可以生成指定高度參數(shù)的非高斯序列2。由前面的內(nèi)容可知，不需要借助Johnson轉(zhuǎn)換法就可以根據(jù)式（11）生成滿足指定自相關(guān)函數(shù)的高斯序列1。如果將2中各高度點(diǎn)的分布方式調(diào)整為與1一致，并利用傅里葉變換在頻域?qū)?的幅頻與調(diào)整高度分布后的2的相頻進(jìn)行點(diǎn)乘，再進(jìn)行傅里葉反變換，得到新的1，則新得到的序列1的高度分布會(huì)比原來更接近2，且自相關(guān)函數(shù)不會(huì)改變[23]。重復(fù)上述步驟，可以使1的高度分布逐漸與2的高度分布保持一致，而高度參數(shù)完全由高度分布計(jì)算得到，因此1的高度參數(shù)也會(huì)逐漸與2的高度參數(shù)（即指定值）接近。上述方法簡(jiǎn)稱為時(shí)頻迭代法，由于1和2均為有限表面，因而無論迭代多少次，兩者的高度分布也無法完全一致，但通常迭代10次以下就能獲得較高的精度，具體實(shí)現(xiàn)過程如下。

1）通過線性變換法生成一個(gè)指定大?。ㄔO(shè)為行、列）和自相關(guān)函數(shù)的高斯序列1。

2）通過求解表面高度概率密度函數(shù)生成一個(gè)行、列的符合指定偏斜度和峭度的非高斯序列2。

3）將1、2展平，并從小到大排列，記錄新的1中每個(gè)點(diǎn)原來的位置，設(shè)為序列，將1和2按照記錄的順序重新排列為一個(gè)行、列的矩陣。

4）對(duì)1和2進(jìn)行式（30）所示的變換。

式中：fft 2和ifft 2分別表示二維傅里葉變換和反變換，矩陣之間的乘除運(yùn)算均為點(diǎn)乘和點(diǎn)除。

5）計(jì)算的高度參數(shù)與指定值的誤差，達(dá)到精度要求或最大迭代步數(shù)則停止迭代，否則令1=，并轉(zhuǎn)到步驟3。

通過上述改進(jìn)方法，可以重構(gòu)滿足任意指定高度分布和自相關(guān)函數(shù)的高精度粗糙表面，具體流程如圖1所示。

圖1 改進(jìn)方法重構(gòu)表面流程

4 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

常見齒輪加工表面（如磨削表面、超聲磨削表面、噴丸表面等）的偏斜度sk和峭度ku一般分別為?1.5～1和2～10，因此為了對(duì)現(xiàn)有線性變換法[6]和基于時(shí)頻迭代的改進(jìn)方法詳細(xì)進(jìn)行比較，分別取sk為?1、?0.5、0.5，ku為2.3、4.5、9，并分別采用2種方法進(jìn)行表面重構(gòu)，比較所得表面sk和ku的精度，結(jié)果如表1所示。其中，誤差均為相對(duì)誤差（重構(gòu)值與指定值的差再與指定值的比值，下同），表面尺寸取1 000 μm × 1 000 μm，自相關(guān)函數(shù)均采用式（18）所示的指數(shù)衰減形式，且(maxτ)/*=(maxτ)/*=100/30。由于q可以通過式（20）保證其精度，且不改變sk和ku的值，因此這里統(tǒng)一取q= 1。

由表1可知，對(duì)于全部的sk和ku組合，現(xiàn)有線性變換法在許多情況下的誤差都較大，而改進(jìn)方法的誤差均較小，最大不超過5%。分析其原因主要有以下2點(diǎn)。

1）Johnson轉(zhuǎn)換法本身具有一定局限性，并不能重構(gòu)任意sk和ku組合的非高斯序列，尤其是當(dāng)ku<3時(shí)。第1、2、4、7組對(duì)應(yīng)的就是這類情況，因此改進(jìn)方法在表面重構(gòu)時(shí)采用文中提出的非高斯序列構(gòu)造方法。

表1 現(xiàn)有線性變換法與改進(jìn)方法的對(duì)比

Tab.1 Comparison between existing linear transformation method and improved method

2）線性變換法本身具有一定的局限性，式（11）所示的線性變換會(huì)導(dǎo)致生成表面的sk和ku與指定值存在偏差。雖然利用式（19）進(jìn)行了修正，但式（19）只是近似公式，并不能完全修正偏差，且修正值可能超出Johnson法的有效范圍，導(dǎo)致出現(xiàn)較大的誤差。第6、9組對(duì)應(yīng)的就是這類情況，這并不是由Johnson轉(zhuǎn)換法造成的。為了更直觀地進(jìn)行對(duì)比，改進(jìn)方法在構(gòu)造非高斯序列時(shí)仍然采用Johnson轉(zhuǎn)換法，但借助了時(shí)頻迭代法以保證參數(shù)的精度。由表1可以看出，改進(jìn)方法的精度與原方法相比得到了顯著提高。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)方法的有效性，分別基于實(shí)測(cè)的噴丸表面和磨削噴丸（先磨削再噴丸）表面，利用改進(jìn)方法進(jìn)行表面重構(gòu)，實(shí)測(cè)表面材料均為12Cr2Ni4A，無滲碳淬火，硬度小于20HRC，表面尺寸均為800 μm × 800 μm，采樣間距為4 μm。上述2類加工表面屬于形貌較復(fù)雜的表面，ku經(jīng)常小于3，利用現(xiàn)有線性變換法無法對(duì)其進(jìn)行重構(gòu)，因此如圖2—4所示的表面三維形貌對(duì)比圖、自相關(guān)函數(shù)對(duì)比圖和高度概率密度函數(shù)對(duì)比圖只給出了改進(jìn)線性變換法重構(gòu)的表面與實(shí)測(cè)表面的對(duì)比。為了證明現(xiàn)有線性變換法不能重構(gòu)上述實(shí)測(cè)噴丸表面和磨削噴丸表面，在對(duì)比實(shí)測(cè)表面與重構(gòu)表面的粗糙度參數(shù)時(shí)（見表2），改進(jìn)線性變換法和現(xiàn)有線性變換法得到的結(jié)果均會(huì)給出。

從表面三維形貌、自相關(guān)函數(shù)和高度概率密度函數(shù)特征來看，采用改進(jìn)方法重構(gòu)的噴丸表面和磨削噴丸表面基本還原了實(shí)測(cè)表面的紋理結(jié)構(gòu)特征。由圖3可知，采用改進(jìn)方法生成的噴丸表面與磨削噴丸表面的自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation function，圖中簡(jiǎn)稱acf）與實(shí)測(cè)表面基本一致，重構(gòu)表面能夠準(zhǔn)確地還原實(shí)測(cè)表面的空間特征。由圖4可見，重構(gòu)表面與實(shí)測(cè)表面的高度概率密度函數(shù)（Probability density function）的形狀和趨勢(shì)基本吻合，噴丸表面由于只經(jīng)過了噴丸處理，因此其表面高度分布只具有一種主要特征，與之對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線表現(xiàn)為單峰形狀；磨削噴丸表面經(jīng)過了磨削和噴丸等2道工藝處理，因此其表面高度分布同時(shí)具有2種主要特征，與之對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)曲線則表現(xiàn)為雙峰形狀。從圖4還可以看到，改進(jìn)方法重構(gòu)的磨削噴丸表面也具有雙峰高度分布，對(duì)于多道加工工藝的復(fù)雜表面也能夠準(zhǔn)確地得到與實(shí)測(cè)表面相符的高度分布特征。

從參數(shù)角度出發(fā)，根據(jù)表2實(shí)測(cè)表面與線性變換法和改進(jìn)方法分別得到的重構(gòu)表面粗糙度參數(shù)的對(duì)比可以看出，采用線性變換法生成表面的高度參數(shù)與實(shí)測(cè)表面相差較大，尤其是p、v、z。分析原因，一方面是Johnson轉(zhuǎn)換法難以生成ku<3的非高斯序列，對(duì)于ku更小的磨削噴丸表面，這一缺陷表現(xiàn)得更加明顯；另一方面，Johnson轉(zhuǎn)換法主要通過調(diào)整表面峰點(diǎn)和谷點(diǎn)來保證sk和ku，因此p、v、z往往比較極端，與實(shí)際不符。改進(jìn)方法通過求解高度概率密度函數(shù)生成非高斯序列，并借助時(shí)頻迭代保證了所得表面的精度，有效地解決了上述問題，生成表面的高度參數(shù)和空間參數(shù)與指定值的最大誤差不超過5%。

圖2 三維形貌對(duì)比

圖3 實(shí)測(cè)表面與重構(gòu)表面自相關(guān)函數(shù)對(duì)比

圖4 實(shí)測(cè)表面與重構(gòu)表面高度概率密度函數(shù)的對(duì)比

表2 實(shí)測(cè)表面與重構(gòu)表面粗糙度參數(shù)的對(duì)比

Tab.2 Comparison of roughness parameters between measured surfaces and reconstructed surfaces

5 結(jié)論

1）現(xiàn)有線性變換法只能重構(gòu)有限sk和ku組合的粗糙表面，文中提出的重構(gòu)表面改進(jìn)方法能夠重構(gòu)任意sk和ku組合的粗糙表面，參數(shù)誤差最大不超過5%，為實(shí)際工程中研究表面特性提供了理論基礎(chǔ)。

2）現(xiàn)有線性變換法無法反映表面的高度極值信息，與實(shí)際不符，基于時(shí)頻迭代的改進(jìn)方法能夠有效保證z、p、v的值，可將誤差控制在5%以內(nèi)，能夠較好地表征表面高度極值特征。

3）基于時(shí)頻迭代的表面重構(gòu)方法克服了線性變換法難以保證噴丸表面和磨削噴丸表面高度分布準(zhǔn)確性的問題。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，改進(jìn)方法重構(gòu)的表面，其高度分布和自相關(guān)函數(shù)均與實(shí)測(cè)值吻合良好。

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Improved Linear Transformation Method for Rough Surface Reconstruction

,,

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, Central South University, Changsha 410083, China)

The work aims to design an improved method to solve the problems that the linear transformation method can not realize the rough surface reconstruction of arbitrary skewnessskand kurtosiskucombination or guarantee the accuracy of surface height extreme characteristic parameters (maximum heightz, maximum peak heightpand maximum pit heightv). The Johnson transformation in the linear transformation method was replaced by solution of probability density function of surface height. A non-Gaussian sequence conforming to the specified height distribution was constructed and the accuracy of reconstructed surface height parameters was ensured by time-frequency iteration method. All the surface height roughness parameters (if there were several parameters with strong linear correlation or equality relationship, some parameters would be eliminated until the remaining parameters did not meet the above relationship) were used as constraints to construct a nonlinear optimization equation so that the surface height probability density function could be directly solved. In order to avoid the error caused by the linear transformation of the matrices in the linear transformation method on the height roughness parameters, the time-frequency iteration method was further used to iterate the non-Gaussian sequence obtained above and the autocorrelation coefficient matrix satisfying the specified autocorrelation function for several times in time domain and frequency domain, so as to ensure that the accuracy of the final reconstructed surface could meet the requirement. In addition, specific theoretical values ofskandkuwere set to prove the advantages of improved method, and the shot peening surface and grinding-shot peening surface which were difficult to be reconstructed by the existing linear transformation method were used as the experimental objects and reconstructed by the improved method. The reconstructed rough surfaces were compared with the corresponding measured surfaces to further verify the accuracy of the improved method. The improved method could reconstruct the rough surfaces of anygiven combination ofskandkuaccurately and guarantee the accuracy of height extreme characteristic parameters, with a maximum error no more than 5%. With the help of time-frequency iteration method, the improved method could effectively avoid the error caused by the linear transformation in linear transformation method, and the reconstructed surfaces had high accuracy and good robustness. The height distributions and autocorrelation functions of shot peening surface and grinding-shot peening surface generated by the improved method were consistent with the measured surfaces, and the maximum error of correlation roughness parameters was less than 5%. Compared with the existing linear transformation method, the improved method can achieve efficient and accurate reconstruction of rough surfaces with arbitrary height distribution and autocorrelation function, guarantee the accuracy of surfaceroughness parametersq,skandkuand characterize the surface height extreme characteristic parameters well. In addition, the height distribution of shot peening and grinding-shot peening surfaces reconstructed by the improved method is more realistic.

surface reconstruction; linear transformation; probability density function; time-frequency iteration; height distribution; autocorrelation function

TG84

A

1001-3660(2022)10-0176-09

10.16490/j.cnki.issn.1001-3660.2022.10.017

2021?09?09；

2021?12?31

2021-09-09；

2021-12-31

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃（2020YFB2010200）

National Key R&D Program of China (2020YFB2010200)

夏富佳（2002—），男，碩士生，主要研究方向?yàn)榇植诒砻嬷貥?gòu)。

XIA Fu-jia (2002-), Male, Postgraduate, Research focus: rough surface reconstruction.

唐進(jìn)元（1962—），男，碩士，教授，主要研究方向?yàn)閺?fù)雜曲面零件制造。

TANG Jin-yuan (1962-), Male, Master, Professor, Research focus: manufacturing of sculptured surface parts.

夏富佳, 唐進(jìn)元, 楊鐸. 改進(jìn)的粗糙表面線性變換重構(gòu)方法[J]. 表面技術(shù), 2022, 51(10): 176-184.

XIA Fu-jia, TANG Jin-yuan, YANG Duo. Improved Linear Transformation Method for Rough Surface Reconstruction[J]. Surface Technology, 2022, 51(10): 176-184.

責(zé)任編輯：彭颋