稀疏網(wǎng)格模型在變速箱殼體輕量化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

劉爽,吉效科,張思,華劍*，

(1.長(zhǎng)江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖北荊州 434023; 2.長(zhǎng)慶油田公司 機(jī)械制造總廠,西安 710018)

2021年以來(lái),全球出現(xiàn)原材料漲價(jià)潮,國(guó)內(nèi)原材料也相應(yīng)大幅上漲,這給國(guó)內(nèi)制造業(yè)帶來(lái)了很大的壓力[1]。因此以降本增益為目標(biāo),對(duì)變速箱設(shè)計(jì)提出的新要求是輕量化設(shè)計(jì),而變速箱殼體輕量化設(shè)計(jì)則是其重要組成部分[2]。在傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)中,人們?cè)O(shè)計(jì)所得的尺寸太過(guò)保守,過(guò)度地加大了殼體的壁厚,致使殼體質(zhì)量增加,造成了材料的浪費(fèi)。因此在滿足強(qiáng)度、剛度的要求下設(shè)計(jì)出質(zhì)量最輕的殼體結(jié)構(gòu)就顯得十分關(guān)鍵。深化變速箱殼體的輕量化技術(shù)研究,對(duì)于節(jié)約成本,提升效益有著深遠(yuǎn)的意義。

針對(duì)變速箱的輕量化設(shè)計(jì)問(wèn)題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者采用了變密度法、響應(yīng)面優(yōu)化法、靜動(dòng)態(tài)聯(lián)合拓?fù)鋬?yōu)化等方法,均取得了較好的效果。Degtyarev等[3]對(duì)運(yùn)載火箭的waffle殼截面進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,使其厚度減小,減輕了殼體質(zhì)量;王海林等[4]對(duì)拖拉機(jī)變速器箱體進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析及優(yōu)化設(shè)計(jì),質(zhì)量減少8.7%,前6階固有頻率都得到提高;李永華等[5]采用最小二乘法構(gòu)建響應(yīng)面模型,在提高蓄電池箱共振可靠性的同時(shí)減輕了結(jié)構(gòu)質(zhì)量;楊岳等[6]對(duì)水下機(jī)器人耐壓殼體進(jìn)行了結(jié)構(gòu)優(yōu)化,使耐壓殼體質(zhì)量降低15.52%。諸多學(xué)者采用其方法均取得不錯(cuò)效果,但分析發(fā)現(xiàn)針對(duì)壓裂泵用變速箱殼體的輕量化研究則很少。

本文分別研究了稀疏網(wǎng)格模型與常用近似模型預(yù)測(cè)精度問(wèn)題,提出了一種稀疏網(wǎng)格模型與MOGA算法相結(jié)合的優(yōu)化方法,在有限元分析軟件提供的協(xié)同仿真環(huán)境下,完成了殼體的參數(shù)化建模和輕量化設(shè)計(jì)。最終在保證結(jié)構(gòu)性能滿足要求的情況下使殼體質(zhì)量降低了18.1%,提高了材料的利用率。

1 近似模型研究

在復(fù)雜工程系統(tǒng)的設(shè)計(jì)優(yōu)化中,由于設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)繁多,分析中存在計(jì)算量大和優(yōu)化效率低等難題。為高效地進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化,往往會(huì)引入近似模型,在提升優(yōu)化效率和計(jì)算速度的同時(shí)也犧牲了一定精度,而常用近似模型在預(yù)測(cè)精度方面存在著差異。因此,以碟簧為背景,對(duì)常用近似模型與稀疏網(wǎng)格近似模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行對(duì)比研究。圖1為碟簧示意圖。

圖1 碟簧示意圖

以P3、P4為設(shè)計(jì)變量，最大變形為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建少極值、少變量情況,各近似模型預(yù)測(cè)精度如表1所示。

表1 碟簧單目標(biāo)預(yù)測(cè)平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE) %

MAPE是用于評(píng)估預(yù)測(cè)性能的指標(biāo),使用百分率來(lái)衡量偏離的大小,MAPE越小,說(shuō)明模型質(zhì)量越好。由表1可知,多項(xiàng)式、Kriging和稀疏網(wǎng)格方法在處理低緯度問(wèn)題時(shí)均有不錯(cuò)的預(yù)測(cè)精度。但對(duì)比發(fā)現(xiàn),稀疏網(wǎng)格模型中平均絕對(duì)百分比誤差值最小,由此可見(jiàn)稀疏網(wǎng)格模型在少極值,少變量情況更具優(yōu)勢(shì)。

圖2為各近似模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值分布圖,樣本點(diǎn)響應(yīng)值越接近等值線(y=x),表明預(yù)測(cè)模型準(zhǔn)確性越高。

圖2 預(yù)測(cè)值與實(shí)際值分布圖

由圖2可知,多項(xiàng)式響應(yīng)面模型不適用于高緯度、多極值、多變量問(wèn)題,在此情況下其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差較大,模型精度較低;Kriging模型樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)精度較高,但插入驗(yàn)證點(diǎn)求解發(fā)現(xiàn)預(yù)測(cè)值與實(shí)際值存在差距;稀疏網(wǎng)格模型不僅樣本點(diǎn)預(yù)測(cè)精度較高,而且驗(yàn)證點(diǎn)的預(yù)測(cè)值接近實(shí)際值,表明其預(yù)測(cè)精度較高。以P1、P2、P3、P4為設(shè)計(jì)變量;質(zhì)量、最大變形、最大等效應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)構(gòu)建高緯度、多極值、多變量情況,各近似模型預(yù)測(cè)精度如表2所示。

表2 碟簧多目標(biāo)預(yù)測(cè)平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE) %

稀疏網(wǎng)格模型在質(zhì)量、最大變形、最大等效應(yīng)力的平均絕對(duì)百分比誤差均為3者中最小,表明其模型預(yù)測(cè)值誤差最小,模型質(zhì)量最高。

稀疏網(wǎng)格模型在構(gòu)建少極值、少變量問(wèn)題及多極值、多變量問(wèn)題時(shí)預(yù)測(cè)精度均優(yōu)于其他兩種近似模型。本文將基于稀疏網(wǎng)格模型對(duì)變速箱殼體展開(kāi)輕量化設(shè)計(jì)。

2 變速箱殼體模型分析

2.1 幾何模型

殼體為左右對(duì)稱式結(jié)構(gòu),大半圓為輸入軸軸承座,小半圓為輸出軸軸承座,壁厚和4根加強(qiáng)筋用來(lái)支撐載荷。采用三維軟件進(jìn)行建模,幾何模型如圖3所示。

圖3 變速箱殼體幾何模型

考慮后續(xù)有限元分分析計(jì)算量較大,對(duì)殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行以下簡(jiǎn)化,以降低優(yōu)化復(fù)雜性:

1)去除不影響結(jié)構(gòu)強(qiáng)度,剛度的凸臺(tái)和孔等;

2)忽略殼體上各種尺寸的圓角、倒角,防止引起網(wǎng)格密集,花費(fèi)大量時(shí)間。

采用自動(dòng)劃分網(wǎng)格方法,網(wǎng)格尺寸為5 mm,劃分網(wǎng)格后殼體模型節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為397 697,單元個(gè)數(shù)為229 565,網(wǎng)格平均質(zhì)量為0.82,網(wǎng)格質(zhì)量良好。殼體的網(wǎng)格模型如圖4所示,殼體的材料屬性如表3所示。

表3 HT200殼體材料屬性

圖4 變速箱殼體網(wǎng)格模型

2.2 殼體靜態(tài)特性分析

變速器工作時(shí),箱座除了承受上箱體的重力載荷外還要承受的工作載荷,軸承與軸承座以相互接觸的方式來(lái)傳遞工作載荷。在齒輪工作過(guò)程中,法向載荷Fn垂直于齒面,將Fn沿齒輪的周向、徑向及軸向分解成3個(gè)垂直的力,其大小分別為:

(1)

式中:F1為周向力;F2為徑向力;F3為軸向力;T1為轉(zhuǎn)矩;d為節(jié)圓直徑;αn為法向壓力角;β為節(jié)圓螺旋角。

軸承座為載荷主要作用區(qū)域,載荷沿軸承座的圓周分布力可以表示為

(2)

軸承載荷分布如圖5所示。軸承工作擠壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生變形,所以周向軸承并不是180°,而是按照周向120°的區(qū)域承載來(lái)模擬軸承的工作情況,載荷在120°范圍內(nèi)可假定按余弦函數(shù)分布[7]。殼體被底座上的螺釘完全固定,靜力分析時(shí)對(duì)底座進(jìn)行完全約束。

圖5 軸承載荷分布

通過(guò)計(jì)算取整得到大半圓面的軸向力為3 230 N,小半圓面的軸向力為2 750 N,殼體上表面承受來(lái)自上箱體的重力,上箱體的質(zhì)量約為303.4 kg,計(jì)算得到重力為2 973 N的力,圖6為殼體載荷約束圖。

圖6 殼體載荷約束圖

在有限元分析軟件Workbench設(shè)置載荷及約束計(jì)算求解,得到殼體的變形云圖如圖7所示,等效應(yīng)力云圖如圖8所示。

圖7 殼體變形云圖

圖8 殼體等效應(yīng)力云圖

由圖7和圖8可知,殼體變形主要發(fā)生在與變速箱上殼體接觸位置的中部,最大變形值為0.005 6 mm;殼體應(yīng)力主要集中輸入軸軸承座的兩側(cè)加強(qiáng)筋處,最大等效應(yīng)力為1.9 MPa,遠(yuǎn)低于材料的極限強(qiáng)度200 MPa,對(duì)殼體結(jié)構(gòu)影響較小。

由此可見(jiàn),在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中,為了滿足強(qiáng)度與剛度,殼體的壁厚常常被過(guò)度地增加,致使結(jié)構(gòu)主體應(yīng)力水平較低,材料性能沒(méi)有充分發(fā)揮,有進(jìn)一步輕量化設(shè)計(jì)的空間。

2.3 殼體動(dòng)態(tài)特性分析

對(duì)殼體底座施加約束進(jìn)行模態(tài)分析,根據(jù)振動(dòng)理論得知,低階模態(tài)最能展現(xiàn)結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性。因此提取殼體前6階的固有頻率與振型數(shù)據(jù)如表4所示。

表4 殼體前6階固有頻率及振型

由表4可知,殼體約束后前6階模態(tài)中最低階模態(tài)頻率為394.28 Hz,最高階模態(tài)頻率為938.88 Hz,振型主要表現(xiàn)為整體振動(dòng)變形,殼體振動(dòng)明顯的部位主要集中在殼體上端中部?jī)蓚?cè)以及前后兩側(cè)。

3 優(yōu)化分析過(guò)程

3.1 優(yōu)化流程圖

以最小質(zhì)量為最優(yōu)優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)。主要步驟包括:有限元模型建立與分析、靈敏度分析確定設(shè)計(jì)變量、基于稀疏網(wǎng)格模型理論構(gòu)建近似模型建、利用多目標(biāo)遺傳算法MOGA算法搜索以及獲取最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，詳細(xì)流程如圖9所示。

圖9 優(yōu)化分析流程圖

3.2 殼體設(shè)計(jì)變量

在確保殼體形狀不發(fā)生改變,僅改變厚度的前提下,選取P1為殼體中部?jī)蓚?cè)壁厚;P2為殼體前壁厚;P3為殼體后壁厚;P4為殼體中部深度;P5為底板厚度;P6為4根筋寬度和P7為4根筋的長(zhǎng)度作為設(shè)計(jì)變量,如圖10所示。設(shè)計(jì)變量均以初始值的±30%來(lái)設(shè)置上下限,如表5所示。

圖10 設(shè)計(jì)變量示意圖

表5 殼體設(shè)計(jì)變量上下限

3.3 設(shè)計(jì)變量靈敏度分析

靈敏度分析方法可反映設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)影響的變化梯度,通過(guò)該法可分析出各個(gè)設(shè)計(jì)變量對(duì)于目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)程度及敏感性參數(shù)值[9]。靈敏度的思想穿插于眾多學(xué)科中,在各領(lǐng)域中均有涉及。

連續(xù)可導(dǎo)的設(shè)計(jì)變量(x1,x2,…,xn)用函數(shù)表示為

F(x)=F(x1,x2,…,xn)

(3)

F(x)對(duì)應(yīng)的1階靈敏度用函數(shù)表示為

(4)

高階微分靈敏度及高階差分靈敏度可以表示為

(5)

(6)

靈敏度S可以表示為

(7)

變速箱殼體的7個(gè)尺寸參數(shù)對(duì)輸出變量的靈敏度如圖11所示。

圖11 靈敏度分析圖

靈敏度為正值表示優(yōu)化目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量成正相關(guān),即各優(yōu)化目標(biāo)隨變量數(shù)值的增大而增大,負(fù)值表示優(yōu)化目標(biāo)與設(shè)計(jì)變量成負(fù)相關(guān),即各優(yōu)化目標(biāo)隨變量數(shù)值的增大而減小[10]。由圖11可知：P1、P5對(duì)質(zhì)量的影響最大;P1、P7對(duì)最大變形的影響最大;P1、P6對(duì)最大等效應(yīng)力的影響最大;P1、P7對(duì)1階固有頻率的影響最大。因此選擇對(duì)質(zhì)量P8、最大變形P9、最大等效應(yīng)力P10和1階固有頻率P11影響最大的尺寸參數(shù)P1、P5、P6、P7作為設(shè)計(jì)變量。

3.4 優(yōu)化目標(biāo)模型

輕量化目標(biāo)是進(jìn)一步地減輕殼體的質(zhì)量,同時(shí)還要確保殼體具有足夠的強(qiáng)度、剛度。將通過(guò)靈敏度分析篩選出的4個(gè)設(shè)計(jì)變量(P1、P5、P6、P7)表示為

X=[P1,P5,P6,P7]T

(8)

由此可知目標(biāo)函數(shù)表示為:

(9)

以最輕質(zhì)量、最小總體變形、最大等效應(yīng)力小于200 MPa,最大1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)。其中,影響各優(yōu)化目標(biāo)的設(shè)計(jì)變量P(1、5、6、7)在規(guī)定的取值空間內(nèi)變化,構(gòu)建的優(yōu)化模型通過(guò)多目標(biāo)遺傳算法尋優(yōu)。

3.5 構(gòu)建稀疏網(wǎng)格模型

近年來(lái),以Smolyak準(zhǔn)則為基礎(chǔ)的稀疏網(wǎng)格法被廣泛地應(yīng)用到插值、數(shù)據(jù)壓縮、數(shù)值積分、微分方程的求解以及隨機(jī)不確定性的傳遞等領(lǐng)域中[11]。它能夠在一定程度上解決維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題,即傳統(tǒng)數(shù)值積分計(jì)算量隨變量維數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)問(wèn)題,因此其在高維積分問(wèn)題上有著很好的適用性[12]。

使用稀疏網(wǎng)格方法求解一維模型問(wèn)題的公式可以構(gòu)建為

(10)

在求解高維度問(wèn)題時(shí),采用Smlolyak算法和張量積公式,模型的求解公式可以變換為

(11)

式中:d為所求解模型的維數(shù);i1,i2,…,id為所求解模型各維度的精度等級(jí);mi1,mi2,…,mid為求解模型各維度樣本點(diǎn)的數(shù)目。

稀疏網(wǎng)格理論在其分層基函數(shù)的擬合精度方面也具有先驗(yàn)性,通過(guò)其分層近似模型,得到的擬合精度為

(12)

利用稀疏網(wǎng)格初始采樣,在設(shè)計(jì)域空間自動(dòng)抽取10個(gè)初始樣本點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,極大程度上減少了初始試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)的數(shù)量。維度自適應(yīng)算法自動(dòng)細(xì)化取點(diǎn)構(gòu)建響應(yīng)區(qū)域,快速達(dá)到指定響應(yīng)精度,減少了構(gòu)建響應(yīng)面的時(shí)間。圖12為稀疏網(wǎng)格模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值分布圖。模型預(yù)測(cè)精度如表6所示。

圖12 預(yù)測(cè)值與實(shí)際值分布

表6 殼體多目標(biāo)預(yù)測(cè)平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE) %

樣本點(diǎn)和細(xì)化點(diǎn)擬合時(shí)越接近等值線,模型的預(yù)測(cè)精度越高[13]。由圖12和表6可知:殼體的質(zhì)量、最大變形、最大等效應(yīng)力以及1階固有頻率的細(xì)化點(diǎn)均在等值線上;平均絕對(duì)百分比誤差值很小,證明預(yù)測(cè)值與真實(shí)值差距較小,模型預(yù)測(cè)精度較高。該響應(yīng)面具有可靠性并可以用來(lái)完成相關(guān)后續(xù)結(jié)構(gòu)分析和優(yōu)化任務(wù)。

計(jì)算求解后可以得到設(shè)計(jì)變量對(duì)優(yōu)化目標(biāo)影響的響應(yīng)曲面,對(duì)各設(shè)計(jì)變量進(jìn)行組合,能夠獲得不同的設(shè)計(jì)變量和優(yōu)化目標(biāo)之間的擬合圖。圖13所示分別為設(shè)計(jì)變量P5和P7對(duì)質(zhì)量的響應(yīng)圖,底板厚度和加強(qiáng)筋的長(zhǎng)度越大,則質(zhì)量也越大;設(shè)計(jì)變量P1和P7對(duì)最大變形的響應(yīng)圖,兩側(cè)壁厚和加強(qiáng)筋長(zhǎng)度越小,則最大變形越越大;設(shè)計(jì)變量P5和P6對(duì)最大應(yīng)力的響應(yīng)圖,底板厚度和加強(qiáng)筋寬度越小,則最大等效應(yīng)力越大;設(shè)計(jì)變量P1和P7對(duì)1階固有頻率的響應(yīng)圖,兩側(cè)壁厚和加強(qiáng)筋長(zhǎng)度越大,則1階固有頻率越大。由此可以得知各設(shè)計(jì)變量與優(yōu)化目標(biāo)的影響關(guān)系圖。

圖13 參數(shù)響應(yīng)圖

3.6 MOGA遺傳算法尋優(yōu)

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題可表示為

(13)

式中:x為決策空間，x=[x1,x2,…,xn]T∈RN,xn為決策變量;y為目標(biāo)空間，y=[y1,y2,…yq]T∈Rq,yq為目標(biāo)函數(shù);gi(x)為可行解區(qū)域[14]，由m個(gè)不等式約束函數(shù)組成。采用多目標(biāo)遺傳算法來(lái)尋優(yōu)時(shí),最會(huì)得到一個(gè)均衡了各個(gè)目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)Pareto解集。

多目標(biāo)優(yōu)化技術(shù)是在響應(yīng)面設(shè)計(jì)提供的優(yōu)化樣本集中,尋找“最好”的可行解。本文選用MOGA算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算,MOGA 算法以生物自然競(jìng)爭(zhēng)為優(yōu)化原型,以目標(biāo)函數(shù)為適應(yīng)度控制個(gè)體淘汰或生存,簡(jiǎn)單易用,穩(wěn)定性好,是一種具有全局優(yōu)化性能并適合于并行處理的優(yōu)化算法[15]。

為最大程度提升材料利用率,以質(zhì)量最小值、最大變形、最大等效應(yīng)力,1階固有頻率最大值為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行Pareto的搜索,搜索時(shí)將質(zhì)量的客觀重要性設(shè)置為Higher;最大變形、最大等效應(yīng)力、1階固有頻率客觀重要性設(shè)置為Default。MOGA遺傳算法相關(guān)參數(shù)設(shè)置如表7所示。

表7 MOGA遺傳算法參數(shù)設(shè)置表

4 結(jié)果分析及驗(yàn)證

基于MOGA算法搜索得到的3個(gè)優(yōu)化備選方案如表8所示,以減輕質(zhì)量為首選優(yōu)化目標(biāo),選取方案1為最優(yōu)方案。將最優(yōu)方案的設(shè)計(jì)尺寸代入模型重新求解,得到優(yōu)化后的應(yīng)力云圖及變形云圖如圖14和圖15所示。最優(yōu)解與初始解對(duì)比如表9所示。

表8 備選方案

圖14 優(yōu)化后變形云圖

圖15 優(yōu)化后應(yīng)力云圖

表9 最優(yōu)解與初始解對(duì)比

將優(yōu)化前后的參數(shù)對(duì)比可知,減速箱殼體的質(zhì)量由261.56 kg下降至214.27 kg,降低了18.1%;最大變形量由0.005 6 mm上升至0.010 6 mm;最大應(yīng)力值由1.9 MPa上升至3.72 MPa,雖然最大變形值和最大等效應(yīng)力值都有所增加,但它們依然滿足強(qiáng)度與剛度要求。此方法有效提升了材料的利用率,實(shí)現(xiàn)了輕量化的目標(biāo)。

使用優(yōu)化后尺寸對(duì)殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析驗(yàn)證,殼體優(yōu)化的固有頻率及振型如表10所示。

表10 優(yōu)化后殼體前6階固有頻率及振型

由表10可知,殼體優(yōu)化后前6階模態(tài)頻率為322.08～897.01 Hz,模態(tài)頻率雖有所減小但低階模態(tài)頻率依然避開(kāi)了內(nèi)部激勵(lì)頻率4.2～263 Hz,故殼體不會(huì)產(chǎn)生共振。

研究?jī)?yōu)化后靜力分析和模態(tài)分析數(shù)據(jù)可知,該變速箱優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)性能可以滿足使用要求,實(shí)現(xiàn)了殼體減重的目的,達(dá)成了降本增益的目標(biāo),也證明了利用稀疏網(wǎng)格模型對(duì)變速箱殼體的輕量化設(shè)計(jì)是十分合理的。

5 結(jié)論

1)以碟簧為背景,對(duì)比分析傳統(tǒng)近似模型與稀疏網(wǎng)格近似模型的預(yù)測(cè)精度,得出稀疏網(wǎng)格模型在預(yù)測(cè)精度方面更具優(yōu)勢(shì)。

2)對(duì)變速箱殼體進(jìn)行靜動(dòng)態(tài)特性分析,結(jié)果表明殼體滿足強(qiáng)度與剛度要求且不會(huì)產(chǎn)生共振,需對(duì)殼體進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì),提高經(jīng)濟(jì)效益。

3)利用稀疏網(wǎng)格近似模型與MOGA遺傳算法聯(lián)合進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì),使變速箱殼體重量減輕了18.1%,取得了較好的優(yōu)化效果。為變速箱殼體輕量化提供了一種新途徑,也可為其它機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化提供參考。