基于Reissner 原理的波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析

黃洪猛 ，張元海

（蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

波形鋼腹板箱梁因為能減輕結(jié)構(gòu)自重、減小預(yù)應(yīng)力損失、避免腹板斜裂縫而成為具有廣闊應(yīng)用前景和吸引力的新型橋梁結(jié)構(gòu)[1-2]. 不同于混凝土箱梁，波形鋼腹板箱梁用波形鋼腹板替換混凝土腹板后，箱梁的抗扭剛度被顯著削弱[2-3]，因此其扭轉(zhuǎn)和畸變效應(yīng)也更加突出.

國內(nèi)外學(xué)者對波形鋼腹板箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)開展了不少研究工作. 楊丙文等[4]分析了單箱單室波形鋼腹板箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，但在懸臂板自由端出現(xiàn)了剪應(yīng)力，與實際不符. 馬磊等[5]推導(dǎo)了單箱雙室波形鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)控制微分方程，但僅分析了翹曲正應(yīng)力. 鄧文琴等[6]推導(dǎo)了單箱三室波形鋼腹板懸臂梁扭轉(zhuǎn)控制微分方程，并給出了翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力計算式. Nie 等[7-8]等在波形鋼腹板箱梁的試驗研究結(jié)果中靠近頂?shù)装寰植繀^(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了可觀的正應(yīng)變. 張元海等[9]指出分析波形鋼腹板箱梁的約束扭轉(zhuǎn)時應(yīng)考慮頂?shù)装鍖Σㄐ武摳拱宓募s束作用. 以上都是基于烏曼斯基第二理論（下文簡稱烏-Ⅱ理論）建立約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程并開展的理論分析，而烏-Ⅱ理論應(yīng)用了剪應(yīng)力的兩種算式，出現(xiàn)了兩種不一致的縱向翹曲位移[10]. 張元海等[11]指出約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力應(yīng)按微元體平衡條件或根據(jù)自由扭矩和二次扭矩計算，不能直接按胡克定律計算. 此外，Kato 等[12]采用矩陣法提出了波形鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)效應(yīng)計算理論. 李運(yùn)生等[13]采用能量變分法推導(dǎo)了波形鋼腹板曲線梁彎扭控制微分方程，并采用伽遼金法求得其解析解. 徐勛等[14]在廣義坐標(biāo)法的基礎(chǔ)上基于混合變分原理建立了薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析新理論，與Reissner 原理的結(jié)果是統(tǒng)一的，均考慮了全部次生剪應(yīng)力對中面剪切變形的影響，計算精度更高. 鮑永方等[15]對適用于剛性扭轉(zhuǎn)的烏曼斯基理論和Reissner 原理進(jìn)行比較，指出Reissner 原理的計算精度高于烏曼斯基理論.

為了更加合理地分析波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)，本文將位移和應(yīng)力同時作為變分參量，應(yīng)用Reissner 原理推導(dǎo)出約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程，給出了不同于烏-Ⅱ理論的翹曲系數(shù). 同時考慮波形鋼腹板的褶皺效應(yīng)，合理計算截面幾何特性，推演出翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力的計算公式. 結(jié)合波形鋼腹板簡支箱梁數(shù)值算例，研究了應(yīng)力分布特征及截面幾何參數(shù)變化對應(yīng)力的影響規(guī)律.

1 波形鋼腹板的等效

1.1 等效剪切模量及等效厚度

圖1 為波形鋼腹板的形狀簡圖. 圖中：a、c、d分別為直板段長、斜板段投影長、斜板段長；hw、tw分別為波高和板厚.

圖1 波形鋼腹板形狀Fig. 1 Shape of corrugated steel web

因組成波形鋼腹板箱梁的各板件材料不同，約束扭轉(zhuǎn)分析時需通過等效原則將材料統(tǒng)一. 本文根據(jù)波形鋼腹板的力學(xué)性能先將其等效為正交異性平鋼板，再等效為混凝土腹板. 將波形鋼腹板等效為正交異性平鋼板后的等效剪切模量[16]為

式中：Gs為鋼板剪切模量； η =(a+c)/(a+d) .

波形鋼腹板在箱梁的受力中主要承受剪力，由式（1）采用剪切模量比可計算波形鋼腹板等效為混凝土腹板的厚度，波形鋼腹板的等效厚度為

式中：Gc為混凝土剪切模量；nG為鋼板與混凝土的剪切模量比，nG=Gs/Gc.

1.2 縱向等效彈性模量

在一個波長的波形鋼腹板兩端施加一對等值、反向的軸向力，采用卡氏第二定理計算出彎矩和軸力下的軸向位移，根據(jù)位移等效原則可求得波形鋼腹板等效為平鋼板的縱向彈性模量為

式中：Es為鋼板彈性模量； κ 為系數(shù)，

根據(jù)Ecetwe=Esetw及式（2）、（3）求出波形鋼腹板等效為混凝土腹板的縱向等效彈性模量為

式中：Ec為混凝土彈性模量；nE為鋼板與混凝土的彈性模量比，nE=Es/Ec；系數(shù) λ=κnE/(ηnG) .

由于tw/hw一般很小，κ、λ則更小，波形鋼腹板表現(xiàn)出明顯的褶皺效應(yīng).

1.3 基本假定

根據(jù)薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)分析理論，結(jié)合波形鋼腹板的力學(xué)性能，對波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)分析時作以下基本假定：

1） 剛性周邊假設(shè)，橫截面周邊不變形；

2） 橫截面上的翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布；

3） 混凝土頂?shù)装迮c波形鋼腹板間不產(chǎn)生界面滑移，波形鋼腹板不發(fā)生剪切屈曲；

4） 波形鋼腹板箱梁處于線性彈性工作狀態(tài).

2 約束扭轉(zhuǎn)應(yīng)力

2.1 約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力

分析波形鋼腹板箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)時需考慮二次剪切變形的影響，引入廣義翹曲位移 β′(x) . 壁厚中面上任一點的縱向翹曲位移u(x,s)和切向位移v(x,s)分別為

式中： β′(x) 為廣義翹曲位移，x為縱向坐標(biāo)；為廣義主扇性坐標(biāo)，s為沿箱壁的曲線坐標(biāo)，本文s原點取在豎向?qū)ΨQ軸與頂板中面的交點處； ρ(s) 為扭心至各板壁厚中面的垂直距離； φ (x) 為橫截面扭轉(zhuǎn)角.

由式（5）可得壁厚中面任一點的翹曲正應(yīng)變和剪應(yīng)變分別為

根據(jù)剛性周邊假設(shè)得各板件橫向正應(yīng)變 εs=0 ，將式（6a）代入平面問題的物理方程求得翹曲正應(yīng)力為

式中：Eo=Ec/(1-) ，μc為混凝土泊松比.

引起翹曲正應(yīng)力的內(nèi)力定義為扭轉(zhuǎn)雙力矩Bωˉ，借助式（7），可得

聯(lián)立式（7）和式（8）可得翹曲正應(yīng)力與扭轉(zhuǎn)雙力矩的關(guān)系式為

2.2 約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力

約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力應(yīng)按微元體平衡條件或根據(jù)自由扭矩和二次扭矩計算. 約束扭轉(zhuǎn)總扭矩Mz分解為自由扭轉(zhuǎn)扭矩M1和二次扭矩M2，對應(yīng)總剪應(yīng)力τz包含自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力τ1和二次剪應(yīng)力 τ2. 在閉口箱壁和懸臂板內(nèi)同時存在τ1和 τ2，但是在懸臂板內(nèi)的τ1沿壁厚呈線性分布且在壁厚中面上為0，故懸臂板承擔(dān)的自由扭轉(zhuǎn)扭矩和提供的抗扭剛度較小.

閉口箱壁中面上任一點的自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力為

式∮中：Msc為閉口箱壁承擔(dān)的自由扭矩；ψ=Ω//tds，Ω為箱∮梁橫截面閉口箱壁中面所圍面積的2 倍；Id=Ω2/ 1/tds+/3 ，為全截面抗扭慣性矩；t為壁厚.

根據(jù)波形鋼腹板箱梁的抗扭特性需對抗扭慣性矩進(jìn)行修正，考慮懸臂板的貢獻(xiàn)，抗扭慣性矩[17]為

式中：ζ為修正系數(shù)，對矩形波形鋼腹板箱梁，ζ=0.400bw/bt-0.060 ≥0.

將式（9）代入各板件微元體平衡方程?qωˉ/?s+(∮/?x)t=0，根據(jù)截面翹曲位移連續(xù)性條件(qωˉ/t)ds=0 ，求得各板件的二次剪力流qωˉ，進(jìn)而可得壁厚中面上任一點的二次剪應(yīng)力 τ2為

式中：M2=；為廣義扇性靜面矩.

由式（10）、（11）可得各板壁厚中面上任一點的總剪應(yīng)力為

3 基于Reissner 原理建立控制微分方程

基于Reissner 原理建立波形鋼腹板箱梁的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程時，將位移和應(yīng)力同時作為了變分參量，建立的能量泛函[18]為

式中： σ 為應(yīng)力向量；u為位移向量； ε (u) 為應(yīng)變向量；V(σ) 為余能密度；F為體力向量，本文中為0；P為面力向量；V為體積；l為計算跨徑.

能量泛函中的應(yīng)變能為

將式（6）、（9）和式（12）代入式（14），得

余能函數(shù)為

將式（9）和式（12）代入式（16），得

當(dāng)箱梁上僅作用分布扭矩mt時，外力勢能為

將式（15）、（17）和式（18）代入式（13），并對能量泛函數(shù) ΠR進(jìn)行一階變分運(yùn)算，可得

由 δ ΠR=0 可得能量泛函的約束條件：

1） 力與位移的關(guān)系條件

2） 力的平衡條件

借助式（20）和式（21），并忽略mt的高階微分，可得波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程為

不同于Reissner 原理，采用烏Ⅱ-理論推導(dǎo)波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程時，首先要確定廣義翹曲位移 β′與扭率 φ′之間的關(guān)系. 由剪切胡克定律及式（6b）可得總剪力流qz為

M1和M2疊加得Mz，即

將式（24）及 dMz=-mtdz代入式（25），忽略mt的高階微分，可得約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程為

兩種方法推導(dǎo)的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程表達(dá)式相同，且均可采用初參數(shù)法求解[19]，但翹曲系數(shù)公式不同. 采用烏-Ⅱ理論推導(dǎo)約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程時應(yīng)用了由胡克定律和微元體平衡條件得到的剪力流的兩種算式及兩種不一致的縱向翹曲位移[10]，且未考慮全部次生剪應(yīng)力對中面剪切變形的影響. 應(yīng)用Reissner 原理建立扭轉(zhuǎn)控制微分方程時將位移和應(yīng)力同時作為變分參量，并考慮了全部次生剪應(yīng)力對中面剪切變形的影響，通過建立能量泛函并對其變分，得出力與位移的關(guān)系條件及力的平衡條件，與剛性周邊假設(shè)下的力與位移的關(guān)系條件及力的平衡條件是相符的，因此該理論更準(zhǔn)確.

4 算例分析

4.1 算例概況

算例采用計算跨徑為40 m 的簡支波形鋼腹板箱梁，梁端設(shè)置1.5 m 厚混凝土橫隔板，跨中作用集中扭矩荷載=1 000 kN·m ，箱梁橫截面尺寸見圖2. 圖2 中還示出了計算點Ⅰ ～ Ⅵ 的位置. 波形鋼腹板采用1600 型，其幾何尺寸：a=d=430 mm，c=370 mm，hw=220 mm，tw=16 mm. 混凝土的材料特性：Ec=34.5 GPa，Gc=13.8 GPa，μc=0.2；鋼板的材料特性：Es=206 GPa，Gs=79 GPa，μs=0.31. 求得扭心至頂板中面的距離為0.595 0 m，極慣性矩Iρ=4.823 6 m4，抗扭慣性矩Id=4.059 8 m4，廣義主扇性慣性矩Iωˉ=0.755 5 m6，按烏-Ⅱ理論和本文方法計算的翹曲系數(shù)分別為ξw=0.158 3，ξR=0.069 3.

圖2 波形鋼腹板箱梁橫截面 （單位：m）Fig. 2 Cross-section of box girder with CSWs （unit：m）

4.2 理論驗證

圖3 為按本文方法和烏-Ⅱ理論計算的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力分布曲線. 由圖3 可以看出：按不同方法計算的雙力矩和二次扭矩在跨中截面有明顯差異，按烏-Ⅱ理論計算的雙力矩和二次扭矩分別比本文方法計算的約增大了51%和128%. 由于兩種方法計算的翹曲系數(shù)差異較大導(dǎo)致扭轉(zhuǎn)內(nèi)力的差異較大，也說明不同方法計算的翹曲系數(shù)對扭轉(zhuǎn)內(nèi)力有顯著影響.

圖3 箱梁扭轉(zhuǎn)內(nèi)力曲線Fig. 3 Torsional forces of box girder

為驗證本文方法合理性，按本文方法、烏-Ⅱ理論計算橫截面翹曲正應(yīng)力和總剪應(yīng)力，并與有限元解對比. 有限元解是采用ANSYS 軟件建立空間有限元模型求得，有限元模型如圖4 所示. 混凝土板和波形鋼腹板分別采用SOLID45 實體單元和SHELL63殼單元模擬，由于分析時假設(shè)波形鋼腹板與混凝土頂?shù)装逯g無界面滑移[20]，故在模型中殼單元和實體單元間用主從約束法作剛性連接處理；每側(cè)梁端底板上設(shè)置2 個支座，左側(cè)梁端約束為3 個坐標(biāo)軸方向的平動位移Ux、Uy和Uz，右側(cè)梁端約束為橫向和豎向平動位移Uy和Uz；集中扭矩荷載等效成剛性扭轉(zhuǎn)荷載的力流形式，均勻施加于跨中截面閉合箱壁各單元的節(jié)點上，頂?shù)装迨┘臃聪蛩胶奢d/(2h)，其中，h為梁高，波形鋼腹板施加反向豎直荷載Mˉ/(2bt) . 剛性扭轉(zhuǎn)荷載下的箱梁有限元模型在縱向僅產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力.

圖4 波形鋼腹板箱梁有限元模型Fig. 4 Finite element model of box girder with CSWs

為避免有限元模型中集中扭矩施加位置的局部應(yīng)力影響，根據(jù)扭轉(zhuǎn)內(nèi)力分布及有限元模型的應(yīng)力分布，選取距跨中1.6 m 的左截面正面（外法線方向與x軸一致的橫截面為正面）為分析截面. 以該截面上的Ⅰ、Ⅱ、Ⅴ 3 個計算點進(jìn)行翹曲正應(yīng)力對比，Ⅲ、Ⅳ、Ⅵ 3 個計算點進(jìn)行總剪應(yīng)力對比，各計算點的應(yīng)力結(jié)果見表1. 表1 中的相對誤差為本文方法解或烏-Ⅱ理論解與有限元解的差除以有限元解求得. 由表1 可以看出，本文方法計算的應(yīng)力與有限元解吻合更好. 但是由于剛性周邊等假設(shè)，理論解與有限元解之間還是存在一定的誤差.

表1 距跨中1.6 m 左截面應(yīng)力比較Tab. 1 Comparison of stresses at left section 1.6 m from mid-span

4.3 應(yīng)力分布

為了解波形鋼腹板箱梁的應(yīng)力在橫截面上的分布規(guī)律，圖5 為跨中左截面翹曲正應(yīng)力、二次剪應(yīng)力、總剪應(yīng)力的分布圖，其中箭頭方向為剪應(yīng)力的方向. 由圖5 可以看出：點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應(yīng)力絕對值較大，而波形鋼腹板幾乎不產(chǎn)生翹曲正應(yīng)力；點Ⅴ和點Ⅵ的二次剪應(yīng)力絕對值較大，腹板的二次剪應(yīng)力與自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力疊加后使得總剪應(yīng)力減小且沿梁高呈均勻分布，而底板的二次剪應(yīng)力與自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力疊加后使得總剪應(yīng)力增大，懸臂板壁厚中面上不產(chǎn)生自由扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力，但存在二次剪應(yīng)力.

圖5 跨中左截面應(yīng)力分布（單位：kPa）Fig. 5 Stress distribution at left section from mid-span（unit： kPa）

4.4 參數(shù)影響分析

為進(jìn)一步探索截面幾何參數(shù)變化對波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響，選取不同高寬比的梁為分析對象. 梁高h(yuǎn)分別取值為2.15、4.30 m，即高寬比h/bt分別為0.5、1.0. 根據(jù)圖2 分別改變tw、bf，腹板厚度tw以2 mm 為步長從8 mm 增大至22 mm，懸臂板單側(cè)寬度bf從0 開始以0.215 m 為步長增大至4.300 m，即懸臂板寬度與閉合箱壁寬度的比值（簡稱懸臂板寬度比，bf/bt）從0 開始以0.05 為步長增大至1.00.

為比較烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數(shù)的差異，圖6 繪制了烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數(shù)比值 ξw/ξR隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖6可以看出：翹曲系數(shù)比值受腹板厚度和懸臂板寬度比的影響顯著，且隨腹板厚度和懸臂板寬度比的增大呈增長趨勢，不同高寬比梁的翹曲系數(shù)比值增長趨勢有差異；當(dāng)tw＞10 mm 和bf/bt＞0.20 時，翹曲系數(shù)比值大于1；翹曲系數(shù)比值偏離1 越遠(yuǎn)，則兩種方法的計算結(jié)果差異越大；當(dāng)腹板厚度為22 mm時，高寬比較小的梁的翹曲系數(shù)比值達(dá)到了4.70；當(dāng)懸臂板寬度比為1.00 時，高寬比較大的梁的翹曲系數(shù)比值達(dá)到了3.10.

圖6 翹曲系數(shù)比值隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 6 Variation of warping coefficient ratio with web thickness and cantilever slab width ratio

由于點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應(yīng)力絕對值較大，圖7繪制了跨中左截面點Ⅰ和點Ⅴ翹曲正應(yīng)力隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖7 可以看出：點Ⅰ和點Ⅴ的翹曲正應(yīng)力絕對值均隨腹板厚度的增大而減少，隨懸臂板寬度比的增大先增大后減少，bf/bt=0.10 時開始減??；當(dāng)bf/bt＞0.10 時，懸臂板寬度增大可以減少翹曲正應(yīng)力.

圖7 翹曲正應(yīng)力隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 7 Variation of warping normal stress with web thickness and cantilever slab width ratio

圖8 繪制了跨中左截面點 Ⅳ 和點 Ⅵ 的總剪應(yīng)力隨tw、bf/bt的變化曲線. 由圖8 可以看出：高寬比較小的梁的總剪應(yīng)力明顯大于高寬比較大的梁；對高寬比較大的梁，當(dāng)tw=8 mm 和bf/bt=0.30 時，點Ⅵ總剪應(yīng)力分別達(dá)到點 Ⅳ總剪應(yīng)力的34.4%、30.2%，而混凝土與鋼板的剪切模量比為0.17，底板總剪應(yīng)力顯然不容忽視，經(jīng)分析，懸臂板根部的總剪應(yīng)力同樣不容忽視. 因此，在波形鋼腹板箱梁設(shè)計時，應(yīng)對頂?shù)装暹M(jìn)行精細(xì)化設(shè)計，防止斜裂縫的產(chǎn)生；隨著懸臂板寬度的增大，當(dāng)bf/bt＞0.30 時，總剪應(yīng)力幾乎不變；對高寬比較小的梁的總剪應(yīng)力隨腹板厚度增大而減小，而對高寬比較大的梁，腹板厚度對總剪應(yīng)力的影響不顯著.

圖8 總剪應(yīng)力隨腹板厚度和懸臂板寬度比的變化曲線Fig. 8 Variation of total shear stress with web thickness and cantilever slab width ratio

5 結(jié) 論

1） Reissner 原理將位移和應(yīng)力同時作為變分參量，考慮約束扭轉(zhuǎn)全部次生剪應(yīng)力對中面剪切變形的影響來推導(dǎo)波形鋼腹板箱梁約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程，理論更準(zhǔn)確. 本文推導(dǎo)的約束扭轉(zhuǎn)控制微分方程表達(dá)式與烏-Ⅱ理論的相同，但翹曲系數(shù)公式不同.數(shù)值算例的結(jié)果表明，相對于烏-Ⅱ理論，本文方法的計算結(jié)果與有限元解吻合更好，驗證了本文方法的合理性.

2） 按烏-Ⅱ理論與本文方法計算的翹曲系數(shù)的比值表征了兩種理論計算結(jié)果的差異，翹曲系數(shù)比值偏離1 越遠(yuǎn)，則計算結(jié)果的差異越大. 兩種方法計算的翹曲系數(shù)受腹板厚度和懸臂板寬度的影響顯著，翹曲系數(shù)比值最大可達(dá)到4.70.

3） 波形鋼腹板箱梁發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時，波形鋼腹板幾乎不承擔(dān)翹曲正應(yīng)力，主要承擔(dān)剪應(yīng)力，混凝土頂?shù)装寮瘸袚?dān)翹曲正應(yīng)力又承擔(dān)剪應(yīng)力. 底板總剪應(yīng)力可達(dá)到腹板總剪應(yīng)力的34.4%，而混凝土相對鋼板的抗剪性能較差，應(yīng)對頂?shù)装逵枰灾匾?，并對其精?xì)化設(shè)計，防止主拉應(yīng)力超限引起斜裂縫.

4） 波形鋼腹板厚度增大可以減小約束扭轉(zhuǎn)翹曲正應(yīng)力；隨著懸臂板寬度的增大，懸臂板寬度比大于0.10 時，翹曲正應(yīng)力減小，而當(dāng)懸臂板寬度比大于0.30 時，總剪應(yīng)力幾乎無變化.