準確把握認知起點 提高數(shù)概念課教學(xué)的有效性
——“倍的認識”案例分析

陜西省安康市教學(xué)研究室 李 志

案例背景：

“倍的認識”是人教版數(shù)學(xué)三年級上冊第五單元第一課時的內(nèi)容，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的一節(jié)典型概念課。比較兩個數(shù)量大小，一種是比較它們的差（相差問題），另一種是比較它們的比率關(guān)系（倍比問題），比率這一概念在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有重要的作用，是學(xué)生進一步學(xué)習(xí)比例、一次函數(shù)的基礎(chǔ)。而倍的認識又是進一步認識分數(shù)、百分數(shù)、比這些比率關(guān)系的基礎(chǔ)。

在學(xué)習(xí)“倍”之前，學(xué)生頭腦中建立的是“加法結(jié)構(gòu)”，是數(shù)量的合并與多少的比較，而對兩個量之間的比率關(guān)系問題的理解，則需要在頭腦中建構(gòu)起“乘法結(jié)構(gòu)”，“倍的認識”正是建構(gòu)乘法結(jié)構(gòu)的開始。心理學(xué)研究表明：“乘法認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展，乃是對乘除法問題中的兩組對應(yīng)的四個數(shù)值構(gòu)成的關(guān)系（對應(yīng)、倍數(shù)關(guān)系）的認知過程”，可見，理解兩個量的倍數(shù)關(guān)系（比率）也是學(xué)生乘法認知結(jié)構(gòu)建立的重要方面。

乘法結(jié)構(gòu)是在加法結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上產(chǎn)生的高層次的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)。從加法結(jié)構(gòu)到乘法結(jié)構(gòu)，學(xué)生的認知需要發(fā)生一定程度“質(zhì)”的變化?！氨丁钡膶W(xué)習(xí)是發(fā)生質(zhì)的變化的第一次機會（乘法的認識還是“合并”與“累加”的過程，本質(zhì)還是“加法結(jié)構(gòu)”）。學(xué)生學(xué)習(xí)倍需要經(jīng)歷認知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變，而認知結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)變是學(xué)習(xí)中最大的困難。因此，建構(gòu)倍的直觀模型，認識倍這個抽象的概念學(xué)生存在困難就很容易理解了。

平利縣教研師訓(xùn)中心呂蒙老師執(zhí)教的“倍的認識”一課，就為廣大教師提供了很好的范式。其課堂最大的亮點在于教師能夠根據(jù)學(xué)生的年齡特點，準確把握學(xué)生的認知起點，做到了三個注重：一是注重用直觀、趣味化的呈現(xiàn)方式引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)概念；二是注重用多樣化的體驗方式引導(dǎo)學(xué)生感知內(nèi)化概念；三是注重用靈活的變式學(xué)習(xí)活動拓展學(xué)生的思維寬度。抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在有趣的情境、豐富的活動、多維的思考中落地生根。

一、課前精彩互動，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感有溫度

【片段】

師：同學(xué)們，你們喜歡看電視嗎？喜歡看什么電視節(jié)目呀？

生：動畫片、科幻片……

師：溫馨小提示，同學(xué)們看電視可要控制好時間，注意保護好我們的視力！你們想知道老師喜歡看什么電視節(jié)目嗎？

生（急切）：想！

師：老師可喜歡看魔術(shù)表演了。今天，老師也給大家?guī)砹艘粋€小魔術(shù)，你們想看嗎？不過呀，今天我?guī)淼男∧g(shù)需要和同學(xué)們合作才能完成，你們愿意跟老師合作嗎？

生（激動）：愿意！

師：（師出示道具）現(xiàn)在由你們來施魔法，一起做手勢說魔法咒語“魔法變變變”看看會發(fā)生什么奇跡呢？

…………

魔術(shù)表演，很吸引學(xué)生的眼球，伴隨著“魔法變變變”的聲音，開始魔術(shù)表演。

片段分析：

魔術(shù)表演既為探索新知做了鋪墊，又讓課堂有序有度，有思維含量。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性高了，學(xué)習(xí)熱情就高了。這樣的課堂，學(xué)生喜歡，課堂氛圍也非常好。

二、靈活處理教材，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)參與有興趣

【片段】

師：剛才我們一起玩了一個小魔術(shù)，好玩嗎？

生（興奮拍手）：好玩好玩！

師：在今天的數(shù)學(xué)課堂上，我們也來感受一下魔法的神奇、魔術(shù)的魅力吧！

課件出示：

師：看，這里有3個水果魔盒（蘋果、梨、桔子），只要你在任意一個水果魔盒里面放入相應(yīng)的一個水果，它就能變出不止一個這樣的水果，想不想來見證一下？

生（迫不及待）：想！

師：我們首先來看看蘋果魔盒吧！當(dāng)在魔盒里放入一個蘋果后，大家就一起說魔法咒語“魔法變變變”，看看會有什么神奇的變化呢？

…………

（伴隨著“魔法變變變”的有節(jié)奏的聲音，學(xué)生在神奇的魔術(shù)變化中發(fā)現(xiàn)蘋果魔盒變出了2個蘋果，梨魔盒變出了6個梨，教師板貼其個數(shù)，為新知學(xué)習(xí)提供了素材。）

師：我發(fā)現(xiàn)咱們班的同學(xué)都有一雙數(shù)學(xué)的眼睛，作為數(shù)學(xué)老師，必須為你們點贊！數(shù)學(xué)的課堂，不僅需要我們具有數(shù)學(xué)的眼光，還要能從數(shù)學(xué)的角度思考問題才行，那現(xiàn)在請同學(xué)們比一比這兩種水果的數(shù)量，說說有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：梨比蘋果多4個。

生2：梨的個數(shù)是蘋果的3倍。

師：是的，在比較兩個事物的數(shù)量時，除了誰比誰多、誰比誰少這種相差關(guān)系，還有一種關(guān)系就是剛才這位同學(xué)（生2）說的倍的關(guān)系。今天這節(jié)課，我們就一起來研究：倍的認識。（生書空板書課題。）

片段分析：

教師評價語言豐富、多樣，對學(xué)生的評價有揚有抑，并且絲絲入扣，直抵內(nèi)心。教師在自然和諧的氛圍中與學(xué)生一起寫課題“倍的認識”，小手隨教師板書書空，有示范性和重點強調(diào)的作用。在有趣的情境中，從學(xué)生已有認知出發(fā)，讓學(xué)生感受到了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)他們主動參與的意識和愿望。

三、注重操作體驗，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)知識有建構(gòu)

【片段】

師：剛才這位同學(xué)說是3倍的關(guān)系，你能說說是怎樣想的嗎？

生：蘋果有2個，我看梨有3份蘋果那么多，所以數(shù)量就是蘋果的3倍。

師：有什么好辦法能讓別人從圖中一眼看出梨的個數(shù)是蘋果的3倍嗎？

（生將梨2個2個圈起來。）

師：她剛才是怎樣圈的？（2個2個圈）你有什么疑問？

生：我想問你，你為什么要兩個兩個圈呀？

師：這位同學(xué)是今天課堂上第一個主動提出問題的，會提問的學(xué)生一定是會思考、會學(xué)習(xí)的學(xué)生，希望大家能向她學(xué)習(xí)。

生：蘋果有2個，2個2個地圈能讓我們清楚看出梨有這樣的3份，就是蘋果個數(shù)的3倍。

師引導(dǎo)梳理：哦！蘋果有2個，梨圈出了（3個2），也就是圈出了這樣的3份，我們就說梨的個數(shù)是蘋果的（3倍）。（板書：梨的個數(shù)是蘋果的3倍。）

師：圈的過程中有什么要注意？

生：不能隨便圈。

生：要把蘋果的數(shù)量看作一份，2個2個地圈。

片段分析：

核心環(huán)節(jié)教學(xué)活動的組織，一定要讓學(xué)生在自主參與中經(jīng)歷概念的形成過程。教師在引導(dǎo)學(xué)生感知兩種水果倍數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上，啟發(fā)思考：為什么這樣做？這樣做要注意什么問題？很好地將操作和思維有機結(jié)合，不僅更好地建構(gòu)“倍”的直觀模型，也促進了學(xué)生思維的發(fā)展。

【片段】

師：剛才我們用的什么方法一眼看出來梨的個數(shù)是蘋果的3倍？

生：圈一圈。

師：我們一起再來回顧一下剛才的過程吧！

…………

師：誰能完整地再說一說？

片段分析：

課堂中，教師反復(fù)讓學(xué)生完整的表達和清晰的思考，從這一過程中，學(xué)生不僅能初步感知倍的概念，還能體會到語言表達的重要性。語言是思維的外殼，只有想得清，才能說得明。注重語言表達的條理性，就能有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性。而且在說的過程中，還明確了標準量和比較量的關(guān)系，讓倍的概念真正內(nèi)化于學(xué)生心中。

四、落實四基四能，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維有發(fā)展

【片段】

師：我們再來看看桔子魔盒有什么神奇的魔力吧?。ㄕn件演示：魔盒中放入一個桔子，變出12個桔子。）

生（驚訝）：哇！變出了這么多的桔子呀！

師：當(dāng)然魔盒的魔力變大了，思考的難度也就變大了。仔細觀察，桔子和蘋果的數(shù)量，想一想，它的個數(shù)和蘋果又有著怎樣的倍數(shù)關(guān)系呢？

生：桔子的個數(shù)是蘋果的6倍。

師：咦，同樣都是和蘋果比較，為什么這次比出的倍數(shù)關(guān)系不一樣呢？

生：因為蘋果有2個，梨圈出了3個2，梨的個數(shù)是蘋果的3倍；而桔子圈出了6個2，桔子的個數(shù)就是蘋果的6倍，所以它們的倍數(shù)關(guān)系不一樣。

片段分析：

在學(xué)生通過“圈一圈”的活動初步感知倍的概念后，讓學(xué)生在觀察、對比中引發(fā)進一步思考：為什么梨、桔子都和蘋果比，倍數(shù)關(guān)系不一樣？（標準相同，倍數(shù)變化）教學(xué)中，教師抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以標準量為切入點，引發(fā)學(xué)生思考，不僅使學(xué)生對倍的認識更加深刻，而且也把學(xué)生的思維逐步引向了深入。將思考與操作有機結(jié)合，層層遞進，讓學(xué)生的操作更有效，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有序。

五、感悟數(shù)學(xué)思想，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動有意義

【片段】

師：同樣都是在跟蘋果比，梨有3個2，梨是蘋果的3倍，桔子有6個2，桔子的個數(shù)就是它的6倍。如果桔子魔盒的魔力更大，變出這樣的10個2呢？

生：它的個數(shù)就是蘋果的10倍。

師：如果變出這樣的50個2呢？

生：它的個數(shù)就是蘋果的50倍。

師：如果變出100個2呢？

生：它的個數(shù)就是蘋果的100倍。

師：如果再繼續(xù)這樣變的話，誰能用一句話概括一下？

生：桔子的個數(shù)變出了這樣的幾個2，它的個數(shù)就是蘋果的幾倍。

師：說得太好了！在比較的時候，雖然它們的倍數(shù)關(guān)系不一樣，但是它們有沒有什么相同的地方？

生：都是2個2個一圈。

師：為什么都是2個2個的圈呢？

生：因為都在和蘋果比較，蘋果有2個。

師：蘋果有2個，我們就把蘋果的這兩個作為一份。我們?nèi)Τ隽诉@樣的幾份，個數(shù)就是它的幾倍。

師：再來看看這些水果的數(shù)量，你還有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我發(fā)現(xiàn)桔子的個數(shù)是梨的2倍。

師：你是怎么看出來的呢？

生：把6個梨的數(shù)量看成一份，桔子能圈出這樣的2份，所以桔子的個數(shù)就是梨的2倍。

師（故作疑惑）：咦，剛才不都是2個2個的圈，這次怎么要6個作為一份圈呢？

…………

引導(dǎo)小結(jié)：一份的量變了，它們之間的倍數(shù)關(guān)系也就變了。看來，我們在比較的時候，確定一份的量很重要。

片段分析：

抽象、推理、模型是基本的數(shù)學(xué)思想。數(shù)概念課是培養(yǎng)學(xué)生抽象思想的一種非常好的載體。本節(jié)課從蘋果和梨、蘋果和桔子具體的3倍、6倍的倍數(shù)關(guān)系，到誰里面有幾個幾，誰就是誰的幾倍，以及在活動中進一步引發(fā)思考：為什么梨、蘋果都和桔子比，倍數(shù)也變了？（標準不同，倍數(shù)就不同。）這不僅讓學(xué)生更加深入理解倍的概念，也體現(xiàn)了從具體到一般的推理思想。在這個過程中，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用完整的數(shù)學(xué)語言表達，這正是在培養(yǎng)學(xué)生的模型思想。

六、關(guān)注知識本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)定位有高度

【練習(xí)一：填一填】

課件出示：

練習(xí)一中呈現(xiàn)了綠、黃、藍3種點子圖，分四個層次完成，先讓學(xué)生們自己獨立完成，然后集體匯報,誰是誰的幾倍？然后教師追問，還能看到其他的倍數(shù)關(guān)系嗎？學(xué)生說出了藍色圓點個數(shù)是黃色圓點的2倍。最后教師追問，在完成的過程中你們?nèi)α藛幔繛槭裁床蝗?？引出?dāng)一組一組呈現(xiàn)的時候不用圈，可以一眼看出來。

練習(xí)一片段分析：

這是一道基礎(chǔ)性練習(xí)題，綠色、藍色、黃色三種點子圖，在顏色區(qū)分與一組一組的呈現(xiàn)方式中，學(xué)生可以很直觀地看出三種量中存在的倍數(shù)關(guān)系，鞏固了本節(jié)課的重點知識。教師善于挖掘素材中存在的知識點，完整找出三種量的倍數(shù)關(guān)系，這樣的倍數(shù)關(guān)系顯性的有兩組，隱性的有一組。同時教師注重數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)，一組一組地看，一組一組地引導(dǎo)。

【練習(xí)二：想一想】

課件出示：

這是一道比較開放的題，呈現(xiàn)的素材是4朵紫花6朵黃花，分三個層次教學(xué)：首先明確兩種花有關(guān)系嗎？學(xué)生受新知學(xué)習(xí)的影響，認為沒有關(guān)系。教師繼續(xù)追問：兩個量一點關(guān)系都沒有嗎？引出：兩個量雖然沒有整數(shù)倍關(guān)系，但是它們有相差的關(guān)系，不能“結(jié)識了新朋友忘了老朋友”。最后教師追問：如果要是黃花的朵數(shù)是紫色的2倍，可以怎么辦？給了學(xué)生充分表達的機會：可以添上2朵黃花，也可以去掉1朵紫花，或是同時去掉2朵紫花和2朵黃花……這樣就使得原本不具備整數(shù)倍關(guān)系的兩個量變成有倍數(shù)關(guān)系的兩個量。在改變標準量與比較量的過程中，不變的是倍的本質(zhì)屬性，一種量中有幾個另一種量，它就是另一個量的幾倍。

練習(xí)二片段分析：

這里的設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，構(gòu)建了生本、師本、文本的和諧關(guān)系，打破學(xué)生的固化思維，體現(xiàn)了“溫故知新”“學(xué)而時習(xí)之”的理念。

【練習(xí)三：變魔術(shù)】

課件出示：

課件中呈現(xiàn)直觀的兩條絲帶，分四個層次教學(xué)：首先綠色絲帶的長度不變，不斷變化紅色絲帶的長度，使紅絲帶的長度是綠絲帶的1倍、2倍、3倍、4倍，在不斷的變化中，體現(xiàn)了一份量不變，變化比較量，倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化，突出了1份量的重要性；接著標準量（綠絲帶）增加一節(jié)，即1份量變化了，倍數(shù)關(guān)系發(fā)生了變化；第三個層次是要使紅絲帶的長度是綠絲帶的3倍，怎么辦？（增加兩節(jié)紅絲帶。）這個時候1份量不變，變化比較量。在這三個層級的基礎(chǔ)上最后教師把這兩根絲帶不斷變細，變成線段圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個量之間長度的倍數(shù)關(guān)系是不變的，突出了倍的本質(zhì)屬性，倍就是兩個量之間的一種關(guān)系。

練習(xí)三片段分析：

這樣的練習(xí)設(shè)置體現(xiàn)了層次性，從基礎(chǔ)練習(xí)到拓展性練習(xí)，層層遞進，由概念的表象層向深層本質(zhì)挖掘；讓學(xué)生從這些實物中抽取共同的、本質(zhì)的特征，舍棄非本質(zhì)的特征，以加深學(xué)生對抽象的“倍”的認識，從而對倍本質(zhì)屬性的認識逐步加深。

總之，概念課教學(xué)是抽象的，枯燥的，教師要關(guān)注學(xué)生的個體，和諧共進，創(chuàng)造有溫度的課堂；有效地整合教材內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；重視學(xué)生的操作體驗，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷模型的建構(gòu)過程；關(guān)注多維目標的落實，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓概念課教學(xué)的有效實施真正地落地生根。