用『多維度量原理』破除『單位相乘』論
——關于量感前提下數學運算中法理一致性與正確性的思考

文 鄭大明

在小學階段的數學學習中，度量單位是廣泛應用的基本測度標準。但在日常教學中，關于計數和計量單位的教學，存在一定的認識和操作誤區(qū)。比如有學者在論文和講座中也提出“單位×單位=新單位”的觀點，并且運用等式的性質形式化地“證明”了小數乘除法中的通用算理是“單位乘單位等于新單位”。然而，經過搜集、查找度量單位的產生歷史和研究度量的本質后，發(fā)現這個提法有待商榷。

本文擬從以下幾方面剖析度量單位的建立與應用，厘清其在計算教學中的一些基本認知，確保數學運算中法理推演的一致性與正確性。

一、度量理論的基本內涵

度量觸及數學的本質，是貫通數量關系和空間形式的橋梁，它是人類認識、理解和表達現實世界的重要工具。度量的本質就是測度和計算數量的多與少。量感作為核心素養(yǎng)，重點是培育學生對于事物可測屬性及大小關系進行定性描述和定量感知的基本能力。其核心價值在于形成度量意識，理解和掌握度量方法。因此，我們必須弄清楚度量的基本常識如量態(tài)、量標、量程、量具、量值等度量概念的基本意義和操作辦法，避免在組織學生進行度量感知、計數與計量運算等活動時出現不必要的誤導。

1.量感是指對事物可測量屬性及相互關系的感知。

感知，就是感覺和知覺的合稱。通常把言語方式的感知稱為抽象感知，非言語方式的感知稱為直觀感知。所謂直觀感知，就是人們對事物、現象等感知對象通過看、聽、摸等活動獲得其所需要信息的過程。因此，義務教育階段的量感目標主要是對量的直觀感知，也就是要讓學生看到、聽到或者觸摸到事物的可測量屬性，比如事物的輕重、多少等，并通過其大小關系，抽象感知事物的個數、倍數等度量屬性。

2.量態(tài)是指事物的可測量屬性的確定樣態(tài)。

所謂量態(tài)，就是指事物或現象的可測定屬性的基本樣態(tài)，也就是對事物可測屬性的定性刻畫。比如，一個人，他的身高即長度、體重即質量、個頭即體積、力氣即力量等具體的可測屬性；還有學習能力、工作能力、創(chuàng)造能力等抽象的屬性。

具體可測屬性，我們可以借助尺子測身高、磅秤稱質量、體溫計測溫度等，測量結果確切，精準度高。這種直接或間接使用工具方式進行的度量樣態(tài)，通常叫做具象度量。

非具體可測屬性，我們可以采用考試、問卷、做項目等方式用打分量表的方式來度量，度量結果相對確切，但模糊性較強。還有如事物的價值指標等需求屬性，完全是約定和協(xié)商而得出度量結果的。比如一只玉鐲的單價、自由市場白菜的單價等。這種以評估、協(xié)商、約定或者規(guī)定等運用思維和意識方式進行的度量樣態(tài)，通常叫作抽象度量。

3.量標是指度量事物可測屬性的約定標準。

測量事物的不同屬性，就需要使用不同測量標準。計數或者計量的標準統(tǒng)稱度量標準，又叫作一個度量單位。一般情況下，具象度量通常以實物的標本或局部量作為單位，如長度、面積、重量、電量、時間等。抽象度量往往以設定數值或者確定分值指標等作為單位。比如十進制計數單位個、十、百、千；人民幣單位元、角、分等。

目前，除了各國規(guī)定的測量標準外，還出現了統(tǒng)一的“國際單位制”，如長度l“米制”、時間t“秒制”和重量m“千克制”等。

4.量程是度量事物可測屬性的維度和程序。

同一個事物，可以度量的屬性很多。到底應該度量事物的哪些屬性以及如何度量，完全是根據實踐的需要和研究的任務來確定的。由于不同學科、不同行業(yè)度量的目的、手段和方法是不一樣的，因此就產生了不同性質、不同次數、不同方向等的多維度量。

在小學數學教學中，可參照的度量原理（如下表1）值得我們關注。下面只就其中的度量維度做簡單的說明。

所謂度量維度，是指被測量事物的幾個屬性或者測度的方向與步驟。

零維度量：測量事物站位的存現狀態(tài)這一屬性，即這個東西在哪里，出現幾次或者占幾個位置。如“數三只羊”，只關注出現一只羊就需要占據一個空間位置，三只羊占三個位置，因此需要按頻率數三次。不關心每只羊的高矮、重量、年齡等可度量屬性。幾何特征就是“3 個點”。測量標準則抽象為自然數基本單位“1 次”，簡稱“1”。當所有事物和現象我們都只關注它的呈現頻率時，就抽象為“零維”的位置記錄屬性。

一維度量：度量一個事物的某一個可測量屬性。如“一只羊的肉可以切成幾塊來等分?！边@就是一個度量維度，按“塊數”切分一只羊。如果一只羊的肉切成10塊，它的度量標準就是“1 塊”，度量結果就是“1 只羊的肉=10 塊羊肉”。幾何特征就是“一條10 等分線段中的一段”，表示一塊羊肉是整只羊肉的十分之一。這里度量標準就抽象為按“1 塊”計數，然后數出對整只羊進行等分后的塊數。這時用到的度量單位是具象的單位“1 塊”，復合表示為“只/塊”。

二維度量：同時度量一個事物的某兩個屬性或者連續(xù)兩次度量事物的同一屬性。如“一只羊可以等分成幾塊，一塊可以等分出幾斤。”這就是兩個度量維度。它的度量程序是先按照“塊數”等分一只羊，再按照“斤數”等分一塊羊肉的質量。如果一只羊等分成10 塊，再等分稱出10 斤，它的度量標準就是“1 塊”和“1 斤”，度量結果就是“1 只羊的肉=10 塊羊肉=100 斤”。幾何特征就是“一個正方形等分為100 份中的一份”。可以理解為先x 軸方向10 等分，再y 軸方向10 等分，一共將正方形100 等分。表示一塊羊肉是整只羊肉的十分之一，一斤羊肉是一塊羊肉的十分之一，也就是一斤是整只羊肉的百分之一。測量標準抽象為先按“1 塊”再按“1斤”對整體事物進行二次等分后進行數數。這時用到的度量單位是具象的單位“1 斤”，這里復合表示為“只/塊/斤”。

多維度量：同時度量某一事物的三個以上屬性或者連續(xù)三次以上度量事物的同一屬性，就稱為多維度量。其度量規(guī)則就是按照零維、一維、二維的規(guī)律以此類推進行理解。其維度的多少是按照度量的需要來確定的。比如“一斤羊肉可以裝幾袋”“一袋羊肉含多少克蛋白質”等，都是我們可以類比思考和操作的。

表1 多維度量原理示意表

5.量值是度量事物的頻次和結果的定量表征。

所謂量值，目前存在兩個基本意義。一是表示度量的基本單位與導出單位之間的比率關系，也就是“進率”。如1 百÷1 個=100；1 分米÷1 米=0.1，1 平方分米÷1 平方米=0.01。二是表示被測事物度量結果與標準單位的比率關系。如長方形的長5 米，寬3 米，它的面積：1 平方米×3=3 平方米，3 平方米×5=15平方米。二次度量結果與標準單位的比率為“15 平方米÷1 平方米=15”。這里的100,0.1,0.01,15，計量學上均稱為量值。

計數單位的量值根據使用規(guī)則確定。如十進制記數單位之間的量值按位置數確定計數標準：個位標準“1”、十位標準“10”、百位標準“100”、千位標準“1000”。其他如二進制、十二進制、百分制等，均按具體需要進行規(guī)定。

二、多維度量的基本原理

1.量標建立的手段：約定與法定。

在原始階段，人們用結繩計數、用身體量物、用腳步測量、以物易物等，實現了一定的商品流通和物資交換的需要。這時，度量的標準，就是生活在一定社會群落的人們約定怎么計量，相對統(tǒng)一就可以了。

然而，隨著商品流通和物質生產范圍不斷擴大，各自約定的度量標準不統(tǒng)一，影響物資生產技術的標準性和商品流通的公平性。于是就出現了“秦始皇統(tǒng)一度、量、衡”案例，讓秦國各地在計量物體長短、容積、輕重上有了標準的度量準則，給當時的商業(yè)和經濟發(fā)展提供了便利。

如今為了滿足世界技術標準和商品流通，各國在保留自己的度量標準后，法定使用了“時間、長度、重量、電流”等國際單位制，比如基本單位“秒、米、千克、安培”等。

2.量標推演的原則：導出和轉換。

在具體生產和流通領域，只有基本單位還不能滿足需要。因為只用基本單位測量時，量值太大或者太小，不方便交流。于是人們在基本單位上進行了擴展，采用導出法和轉換法，創(chuàng)造出一系列新的單位。

（1）一維度量單位的導出。

度量事物的一種屬性，我們稱為“同類量”度量。“十進制計數法”的新單位導出算法是：基本單位“1”乘進率“10n”。土地或平面的面積計量的新單位導出算法是：基本單位“1m2”乘進率“100n”。

（2）二維度量單位的轉換。

●同質度量的單位轉換。

所謂同質度量，就是多維度量時，都是度量事物的相同屬性。比如加、減、乘、除法。計算中都是在數數，由于數的增加，不斷更換較大或較小的單位（如圖1）。計算度量面積和體積，都是度量長度，但是單位就需要轉換（圖2）。

例1.十進制計數法的計數單位轉換。

“9+3=12”，第一次度量數“9個1”，第二次度量數“3 個1”。合并時“9+1”換成新單位“十”表示，余下的“2”還是原單位“1”。類比得出：“90+30=120”“9 米+3 米=12米”“90 噸+30 噸=120 噸”。

圖1

看圖視角：加法從上往下看，減法從下往上看。

“9×3=27”，第一次度量得出“9個1”，第二次度量得出“3 個9”。合并時“3 個9”轉換成“2 個10 和7 個1”表示，也就得到“27 個1”。

圖2

看圖視角：乘法從左往右看，除法從右往左看。

我們從基本度量單位看，兩次度量的基本單位“1”沒有變化，只是度量單位的對應的量值在累加。

“9＋3”：9 個1 加3 個1 得12個1。

“9×3”：9 個1 連續(xù)加3 遍得27 個1。

在小數和分數的計算中，同質的大小不同的度量單位，可以通過進率規(guī)則對一個單位進行累加或者細分，不斷導出和轉換使用新單位參與計算（如圖3）。

圖3

例2 .小數和分數的計算，分別由基本單位“自然數1”導出“十分之一”和“百分之一”參與計算。

“0.2×0.4=0.08”：根據結合律將算式拆分為“（1×0.1×0.1）×（2×4）”。

第一次度量，1×0.1 理解為把自然數單位‘1’等分為10 份，得到新單位“1”的十分之一。

第二次度量，把新單位“十分之一”再等分為10 份，得到最新單位“1”的百分之一。

第三次度量，相當于2 個百分之一連續(xù)取了4 次，一共取了8個百分之一，得到百分之八。

看圖視角：乘法從左往右看，除法從右往左看。

例3.面積測量計量單位轉換。

“長方形長9 米，寬3 米，面積3×9=27（平方米）”。第一次度量邊長9 個1 米，對應9 個1 平方米；第二次度量邊長3 米，對應3個9 平方米。所以“1 平方米×9×3=27 平方米”。

我們從基本度量單位看，兩次度量的基本單位沒有變化，只是度量單位的量值在累加。

第一次度量，長度單位選用的“1 米”，量值對應9 個1 平方米。

第二次度量，長度單位選用“1 米”，量值對應3 個9 平方米，連加三遍得出27 個“1 平方米”。

同理得出：計算物體的體積，也是用基本單位“1 立方米”與長度的對應關系計算出體積的度量值。

●異質度量的單位轉換。

所謂異質度量，就是對事物相關屬性的多維度量。比如購物需要價格與數量，開車需要度量路程和時間，用電需要度量功率與時間等。有時我們就用復合單位表示，有時又會使用新的度量單位表示。

例1.媽媽購買了5 斤蘋果，用了20 元。每斤多少元？

第一次度量付錢20 元，度量單位是“1 元”；第二次度量稱重5斤。如何知道每斤的單價呢？就按照斤數第三次去度量錢數。按斤數等分20 元，得出“20÷5=4（元/斤）”這里的單價就是復合單位。小學算術里面不寫復合單位，轉化為用“元”替代書寫，答語寫“每斤5 元”。

例2.小王家有4 個空調，每個3500 瓦。一天，他們家開了6小時空調，用電多少度？每度0.52元，要花多少錢？

第一次度量4 個空調?？偣β适?500 個1 瓦，連加4 次得14000 瓦也就是14 千瓦。

3500×4=14000（瓦）=14（千瓦）

第二次度量4 個空調開了6小時，也就是14 千瓦要連續(xù)加6次得出84 個“千瓦·小時”。因為“1千瓦·小時”是復合單位，為了方便記錄，使用新單位“1 度”記錄。

14×6=84（千瓦·時）=84（度）

第三次度量，每度電0.52 元，84 度的價錢就是0.52 元連續(xù)加84 次得出43.68 元。

0.52元/度×84 度=43.68元

三、結語：度量標準的唯一性保證運算推演的一致性

1.由于量標的獨立性和唯一性，所以單位本身不能運算。

由于量態(tài)的不同，事物的可測屬性和度量標準是具有獨立性和唯一性的。如自然數的“1”、時間的“秒”、質量的“千克”等是專門約定的，單位與單位之間不能相互推演。即使是“個、十、百、千”這類的單位，也是唯一的個體。因為每個單位都沒有第二個，所以就不會出現“十減十等于零”“百乘百等于萬”的現象。

在物理量計算中遇到復合單位，即以二維度量使用不同屬性的測度標準，有些可以換成新單位表示。如電功率單位“伏特·安培”用“瓦特”表示。土地丈量的面積單位，比如因縱橫兩次使用長度單位“米”度量正方形或者長方形，因此換用“1 平方米”的標準正方形作單位。

所以，“單位乘單位等于新單位”的說法是錯誤的。

2.由于量值的可加性和可分性，所以單位可以參與運算。

由于同質單位和導出單位之間有量值（進率）關系，決定了它們可以組合與分解，即可參與計算。

比如“一”與“二分之一”的關系是“兩個二分之一組成一”，量值（進率）是2，所以1 個二分之一加1 個二分之一，得2 個二分之一，就可以換成“一”表示。

比如長3 米和2 米的長方形，“1 米”作單位的量值長3、寬2，對應的面積單位“1 平方米”的量值也是長3、寬2，總量值“3×2=6”。所以結果是6 個“1 平方米”。

所以，“所有的計算都是對度量單位個數的累加和細分”的說法是正確的。