新的單位是怎樣產(chǎn)生的
——基于知識(shí)本質(zhì)剖析的度量單位教學(xué)思考

文|池紅梅

量感，是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一。主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。具體表現(xiàn)有以下幾個(gè)方面：一是知道度量的意義;二是能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性；三是會(huì)針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，會(huì)在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算；四是初步感知度量工具和方法引起的誤差，能合理得到或估計(jì)度量的結(jié)果。針對(duì)以上表現(xiàn)，我們可以從中抽取幾個(gè)關(guān)于量感認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵詞“度量意義”“度量單位”“度量方法”“度量工具”“定量描述”。其中，度量單位是在人類漫長(zhǎng)的發(fā)展過程中，逐步建立和完善起來的度量標(biāo)準(zhǔn)和度量系統(tǒng)。關(guān)于度量單位的教學(xué)，就成了量感培養(yǎng)的重點(diǎn)。

在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，度量單位是一個(gè)核心概念。但在日常教學(xué)中，關(guān)于度量單位的教學(xué)，特別是涉及數(shù)的運(yùn)算與圖形的測(cè)量部分，存在一定的認(rèn)識(shí)誤區(qū)。如“10×10=100”，認(rèn)為是計(jì)數(shù)單位“十”乘計(jì)數(shù)單位“十”產(chǎn)生新的計(jì)數(shù)單位“百”，如“3 厘米×3 厘米=9平方厘米”，認(rèn)為是“厘米乘厘米產(chǎn)生平方厘米”，真的是這樣嗎？

本文擬從以下幾方面進(jìn)行剖析，從而在厘清知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)上探索出與度量單位有關(guān)內(nèi)容的正確教學(xué)路徑，從而幫助學(xué)生形成量感。

一、單位如何自成體系

單位是指計(jì)量事物的標(biāo)準(zhǔn)量的名稱。什么是計(jì)量事物的標(biāo)準(zhǔn)量呢？因?yàn)槎攘康谋举|(zhì)是指用統(tǒng)一的度量單位去測(cè)量，看度量對(duì)象包含多少個(gè)單位，最后為度量對(duì)象賦值也就得到了度量的結(jié)果。度量包括抽象度量和具象度量，抽象度量是用通過抽象得到的計(jì)數(shù)單位去測(cè)量，如數(shù)數(shù)、寫數(shù)、比等；具象度量主要是指利用工具得到的計(jì)量單位去刻畫事物的重量、長(zhǎng)度、能量、體積、溫度、速度等。下面我們分別以“計(jì)數(shù)單位”與“長(zhǎng)度單位”為例進(jìn)行分析。

國際通用的計(jì)數(shù)單位是以十進(jìn)制為基礎(chǔ)，人類首先將自然數(shù)1定義為最基本的計(jì)數(shù)單位“一”，然后滿十進(jìn)一，將10 個(gè)一定義為一1 個(gè)十，10 個(gè)十定義為1 個(gè)百，以此類推。也就是說，從計(jì)數(shù)單位一到十，并不是由計(jì)數(shù)單位一相乘得到的，而是由于計(jì)數(shù)單位一的累加，達(dá)到了一個(gè)新的標(biāo)準(zhǔn)（十進(jìn)制下新的標(biāo)準(zhǔn)就是累加達(dá)到10個(gè)），于是就定義產(chǎn)生了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位“十”。同理，計(jì)數(shù)單位0.1，是將計(jì)數(shù)單位一進(jìn)行十份的細(xì)分，將細(xì)分后的其中一份（即十分之一）命名為計(jì)數(shù)單位0.1，而0.01 又是將0.1 細(xì)分后命名的其中一份（即百分之一）。

國際通用的長(zhǎng)度單位也經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的發(fā)展過程。1889 年第一屆國際計(jì)量大會(huì)決定，把長(zhǎng)度單位“米”固化，制作出了“米原器”，并以“米”為基本單位。通過十進(jìn)制，衍生出了現(xiàn)在統(tǒng)一使用的國際度量長(zhǎng)度單位體系。先定義了1 米，再將1 米平均分成十份，其中一份命名為分米，再將1分米平均分成十份，其中一份命名為厘米，這是長(zhǎng)度單位往小的細(xì)分；而長(zhǎng)度單位往大的累加，也應(yīng)該有十米、百米。其實(shí)關(guān)于十米百米的長(zhǎng)度單位，在面積單位里是有專門命名的。如邊長(zhǎng)為一米的正方形面積是一平方米，邊長(zhǎng)為一百米的正方形面積為一公頃，邊長(zhǎng)為一千米的正方形面積為一平方千米。由于省略了“平方十米”的學(xué)習(xí)，小學(xué)階段的學(xué)習(xí)是平方米、公頃、平方千米，學(xué)生往往記不住它們之間的進(jìn)率。

長(zhǎng)度單位與面積單位的發(fā)展結(jié)構(gòu)，如圖所示：

國際通用的七個(gè)基本單位為長(zhǎng)度m、時(shí)間s、質(zhì)量kg 等，每一個(gè)單位體系都在基本單位的基礎(chǔ)上通過往大的累加和往細(xì)的均分形成自己的單位體系。

二、單位能相互運(yùn)算嗎

1.計(jì)數(shù)單位能相乘嗎？

以40×20 與0.4×0.2 為例，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算律，可以進(jìn)行如下運(yùn)算：

這樣的運(yùn)算，背后的算理是什么呢？我們用幾何直觀來說理，如圖：

40×20，表示40 個(gè)20 相加，可以先將10 個(gè)10 打包，累加為一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位百，會(huì)發(fā)現(xiàn)有這樣的8 個(gè)百。實(shí)際上在計(jì)算10×10 中兩個(gè)10 所表示的意義是不一樣的。第一個(gè)10 作為計(jì)數(shù)單位十，第二個(gè)10 就表示的是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是10 個(gè)，10 個(gè)十累加為1 個(gè)百，并不是計(jì)數(shù)單位十乘十的結(jié)果，而是因?yàn)?0 個(gè)十達(dá)到了新的計(jì)數(shù)單位的標(biāo)準(zhǔn)。

0.4×0.2，首先在圖中表示出0.4，根據(jù)小數(shù)的意義，0.2×0.4 就是求0.4的是多少。把0.4 看作一個(gè)整體，將它平均分成10份，取其中的2 份。這時(shí)通過圖能看到0.4 的0.2 是8 小格，那這個(gè)每一小格是多少呢？這時(shí)發(fā)現(xiàn)如果僅僅將0.4 平均分成10 份，并沒有把原來的整體1 平均分成一樣的份數(shù)，而要將剩下的0.6 都均分成10 份，其實(shí)也就是將整體平均分成了100 份，每一份就是0.01。由此可見，0.1×0.1，也并不是兩個(gè)計(jì)數(shù)單位0.1 相乘，同理也是一個(gè)0.1 表示計(jì)數(shù)單位，一個(gè)0.1表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，也就是將計(jì)數(shù)單位再進(jìn)一步細(xì)分成十份，取其中一份，從而產(chǎn)生了新的計(jì)數(shù)單位。

2.長(zhǎng)度單位能相乘進(jìn)而產(chǎn)生面積單位嗎？

長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬，當(dāng)一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3 厘米，寬為2厘米時(shí)，它能擺下6 個(gè)面積為1平方厘米的面積單位，這個(gè)“6”得到的過程，就正好是3×2。實(shí)際上嚴(yán)格地來講3×2=6，6 的單位不應(yīng)該直接帶平方厘米，而應(yīng)該是3×2=6（個(gè)平方厘米）。數(shù)學(xué)上為了表達(dá)更加簡(jiǎn)潔，我們就約定省略掉“個(gè)”，于是才有3×2=6（平方厘米）。同上面的計(jì)數(shù)單位的運(yùn)算相同，這里的3 和2，所表示的并不是3 厘米和2 厘米的長(zhǎng)度，3 代表的是一行可以擺3 個(gè)面積為1 平方厘米的面積單位，2 表示可以擺這樣的2 行，最后的結(jié)果就是3×2=6，6 是計(jì)算得到的面積單位的數(shù)量。長(zhǎng)度單位的變化，是因?yàn)樗鶎?duì)應(yīng)的面積單位發(fā)生了變化。而面積單位規(guī)定了邊長(zhǎng)為1 厘米的正方形面積就是1 平方厘米。

到體積單位，也是同理可證。我們先定義了棱長(zhǎng)為1 厘米的正方體體積為1 立方厘米、棱長(zhǎng)為1分米的正方體體積為1 立方分米，然后再計(jì)算長(zhǎng)方體里包含了多少個(gè)這樣的體積單位，也就是最后的度量結(jié)果。如圖：

長(zhǎng)為5 厘米，寬為3 厘米，高為3 厘米。長(zhǎng)乘寬，計(jì)算出一層可以擺5×3=15（個(gè)立方厘米）；高為3，可以像這樣擺3 層，即15×3=45（個(gè)立方厘米），也就是5×3×3=45（立方厘米）。因此，長(zhǎng)×寬×高，并不是長(zhǎng)度乘長(zhǎng)度再乘長(zhǎng)度就能得到體積單位，而內(nèi)在的邏輯是先定義了相關(guān)的體積單位，再計(jì)算出體積單位的個(gè)數(shù)。

綜上所述，無論是計(jì)數(shù)還是測(cè)量，涉及的相關(guān)運(yùn)算，都是在計(jì)算已確認(rèn)的計(jì)量單位的個(gè)數(shù)。

三、如何基于意義的理解開展教學(xué)

1.基于運(yùn)算的一致性，理解運(yùn)算的法理。

算理就是運(yùn)算的道理，算法是基于運(yùn)算的道理而抽象形成的運(yùn)算方法?；诶斫獾乃惴ㄕ莆諘?huì)更利于學(xué)生遷移與運(yùn)用。

整數(shù)加減的算法是數(shù)位對(duì)齊，小數(shù)加減的算法是小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，本質(zhì)都是相同數(shù)位對(duì)齊，因?yàn)橄嗤?jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)才能相加減。同分母分?jǐn)?shù)加減的算法是分母不變分子相加減，異分母分?jǐn)?shù)的算法是先通分為同分母分?jǐn)?shù)再加減，分母相同是為了保證分?jǐn)?shù)單位相同，再計(jì)算分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)。

整數(shù)的乘法是先分別計(jì)算有幾個(gè)一幾個(gè)十幾個(gè)百再相加，小數(shù)乘法是先按照整數(shù)乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)確定積的小數(shù)位數(shù)，其實(shí)最后確定積的小數(shù)位數(shù)點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，也就是在確定每一個(gè)相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。小數(shù)除法是在整數(shù)除法的基礎(chǔ)上，將無法在計(jì)數(shù)單位一的基礎(chǔ)上進(jìn)行平均分的數(shù)細(xì)分為更小的計(jì)數(shù)單位來均分。分?jǐn)?shù)乘法中分母乘分母是根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義確定新細(xì)分的分?jǐn)?shù)單位，分子乘分子是在計(jì)算新的分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)。

整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，其本質(zhì)都是在計(jì)算計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。理通則法自明，學(xué)生能理解了計(jì)算背后的道理，所有的運(yùn)算法則就不再是繁雜的添加，而僅僅是算理一致性這條主干上所生長(zhǎng)出的枝杈而已。

2.基于度量的一致性，理解度量的本質(zhì)。

長(zhǎng)度與角度的度量，都是先確定一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，然后再利用相應(yīng)的度量工具（長(zhǎng)度的度量工具是直尺，角度的度量工具是量角器），再采用一定的度量方法，最后獲得度量結(jié)果。面積和體積的度量，沒有具體的度量工具，試想生活中我們?nèi)绾文弥? 平方米的面積工具去鋪地呢？又或者如何拿著體積為1 立方米的小方塊去堆積？于是聰明的人想到了將二維的度量與三維的度量都轉(zhuǎn)化為利用一維的量去計(jì)算出結(jié)果。如前文所述，測(cè)量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，就能計(jì)算出能鋪滿的面積單位的個(gè)數(shù)；測(cè)量出長(zhǎng)寬高，就能計(jì)算出能堆積的體積單位的個(gè)數(shù)。在教學(xué)面積、體積的內(nèi)容時(shí)，就一定要讓學(xué)生理解公式所代表的意義。

有了對(duì)度量單位本質(zhì)和體系的認(rèn)識(shí)，學(xué)生就能在真實(shí)情境中選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，并在同一度量方法下進(jìn)行不同單位的換算，感受單位的換算只是改變度量單位和度量單位的個(gè)數(shù)，其度量值本身沒有變化。

總之，小學(xué)階段關(guān)于度量單位的教學(xué)，占據(jù)了較大篇幅。無論是抽象的計(jì)數(shù)還是具象的測(cè)量，其本質(zhì)都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加與細(xì)分的過程，而不是單位乘單位的過程。運(yùn)算中單位的變化，都是往大乘倍率、往小乘分率的結(jié)果。