從圖形運(yùn)動(dòng)變化的視角,引領(lǐng)《全等三角形》復(fù)習(xí)

孫傳銀

(南京市第二十七初級(jí)中學(xué)，江蘇南京，210000)

數(shù)學(xué)蘇科版教材八年級(jí)上冊(cè)第一章《全等三角形》教學(xué)，是初中圖形教學(xué)的重要內(nèi)容，承接了七年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)的三角形的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，也為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他多邊形及其他圖形相關(guān)知識(shí)奠定了重要的知識(shí)基礎(chǔ)，提供了學(xué)習(xí)模板和方法參考.本章的學(xué)習(xí)，無(wú)論是知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，還是經(jīng)驗(yàn)和方法的學(xué)習(xí)，都具有承上啟下的重要意義.因此，除了帶領(lǐng)學(xué)生熟練掌握本章知識(shí)內(nèi)容，完成既定教學(xué)目標(biāo)任務(wù)之外，教師還應(yīng)注重學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和積累.

為了及時(shí)做好學(xué)習(xí)的歸納和鞏固，在學(xué)習(xí)完《全等三角形的性質(zhì)》以及《全等三角形的條件》中一般三角形全等的判定之后，筆者嘗試安排了一節(jié)階段性復(fù)習(xí)課，帶領(lǐng)學(xué)生從圖形運(yùn)動(dòng)變化的視角，在圖形的動(dòng)態(tài)變化中，識(shí)別全等三角形，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.經(jīng)過(guò)一次或兩次平移、旋轉(zhuǎn)、翻折運(yùn)動(dòng)變化之后的圖形組合中學(xué)生在識(shí)別兩個(gè)全等三角形，并掌握動(dòng)態(tài)變化中全等三角形的相關(guān)定理的運(yùn)用和問(wèn)題的解決方法.

1 復(fù)習(xí)教學(xué)的策略

1.1 以課程標(biāo)準(zhǔn)為根本依據(jù)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于《全等三角形》相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)要求是：理解全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形中的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角；了解三角形的穩(wěn)定性；掌握基本事實(shí)：兩邊及夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等；掌握基本事實(shí)：兩角及夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；證明定理：兩角分別相等，且其中一角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等；掌握基本事實(shí)：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等.體會(huì)通過(guò)合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論、運(yùn)用演繹推理加以證明的過(guò)程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.在畫(huà)圖、觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、交流、說(shuō)理等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，初步建立空間觀念，不斷發(fā)展推理能力.

蘇科版初中數(shù)學(xué)教材中，本章課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)思路是：在引導(dǎo)學(xué)生探索結(jié)論的過(guò)程中，把引導(dǎo)學(xué)生合情推理貫穿始終，以發(fā)展學(xué)生的合情推理能力；注重遵循小步驟、多層次的原則，由易到難、由淺入深地發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力；注重合情推理、演繹推理以及與圖形的運(yùn)動(dòng)的有機(jī)結(jié)合，這利于學(xué)生更好地發(fā)展空間觀念.

1.2 從圖形運(yùn)動(dòng)變化的視角觀察圖形，引領(lǐng)單元整體復(fù)習(xí)

在本章內(nèi)容的新課教學(xué)中，學(xué)生已掌握了研究幾何圖形的一些基本思路：概念—性質(zhì)—判定—特例—應(yīng)用.本節(jié)課是一節(jié)階段性復(fù)習(xí)課，筆者嘗試以圖形的運(yùn)動(dòng)為主軸，從圖形運(yùn)動(dòng)變化的視角，構(gòu)建整體復(fù)習(xí)架構(gòu)的教學(xué)設(shè)計(jì).這不但有利于學(xué)生從學(xué)習(xí)內(nèi)容、研究思路和研究方法上，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)全等三角形，而且有利于實(shí)現(xiàn)以全新的視角對(duì)全等三角形進(jìn)行再認(rèn)識(shí)，發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀.在結(jié)合圖形運(yùn)動(dòng)變換的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和分析圖形，對(duì)后期其它圖形內(nèi)容的學(xué)習(xí)，以及對(duì)其它圖形相關(guān)學(xué)習(xí)方法的掌握，具有借鑒意義和示范性.

2 復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)流程

活動(dòng)1全等三角形的概念

通過(guò)活動(dòng)1，復(fù)習(xí)全等三角形的概念：只要能夠重合的兩個(gè)三角形，就是全等三角形.是否全等，與擺放的位置、方向無(wú)關(guān).活動(dòng)1讓學(xué)生再次感受到，僅僅形狀相同，或者僅僅大小相同，都不是全等三角形.

活動(dòng)2在圖形的動(dòng)態(tài)變換中，識(shí)別全等三角形

師：請(qǐng)大家拿出課前準(zhǔn)備好的兩個(gè)全等三角形，你能用它們拼出不同的圖形組合來(lái)嗎？在圖形經(jīng)歷變換后，你能再指出其中的全等三角形，并準(zhǔn)確說(shuō)出全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角嗎？

這個(gè)活動(dòng)，是建立在活動(dòng)1：認(rèn)識(shí)全等三角形的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的，是對(duì)全等三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步提升.活動(dòng)2，旨在讓學(xué)生結(jié)合近幾節(jié)課學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)或自由發(fā)揮想象，動(dòng)手拼出不同的組合方案，在活動(dòng)中進(jìn)一步感受：全等三角形在經(jīng)歷平移、旋轉(zhuǎn)、翻折動(dòng)態(tài)變換中的一種或幾種變換后仍然能夠互相重合，仍是全等三角形.通過(guò)這個(gè)活動(dòng)，幫助學(xué)生動(dòng)態(tài)地識(shí)別全等三角形，在運(yùn)動(dòng)變化中認(rèn)識(shí)全等三角形，確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，為以后在具體情境中動(dòng)態(tài)識(shí)別全等三角形及其對(duì)應(yīng)元素打下基礎(chǔ).

從課堂上學(xué)生的反饋來(lái)看，思考很積極，沒(méi)有了之前學(xué)習(xí)新課時(shí)的陌生感，非常踴躍，拼出了許多種圖形組合，并積極地展示給大家，也拼搭出了前幾節(jié)課堂中未曾出現(xiàn)過(guò)的一些圖形組合.

以下是學(xué)生們展示出的一部分圖例.

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) (8)

(9)

在同學(xué)們親自動(dòng)手操作，拼搭出全等三角形的組合后，筆者要求學(xué)生指出它們的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，并在圖中用不同顏色標(biāo)注對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，進(jìn)一步鞏固、復(fù)習(xí)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素.同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考：每一組圖形中的2個(gè)全等三角形是通過(guò)怎樣的變換方式變成了這個(gè)圖形組合.這不僅讓學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)靜態(tài)的全等三角形，更能夠在動(dòng)態(tài)變化中識(shí)別出全等三角形及對(duì)應(yīng)元素.接著，引導(dǎo)學(xué)生將這些全等圖形組合按照變換的方式進(jìn)行如下分類(lèi)：

按平移變換得到的組合：(1).

按翻折變換得到的組合：(3)(7)(8)(9)，也可以說(shuō)圖形整體具有軸對(duì)稱(chēng)性.

按旋轉(zhuǎn)變換得到的組合：(2)(4)(5)(6).

而其中，(4)也可以看成既有旋轉(zhuǎn)變換，又有平移變換.

像這樣，從動(dòng)態(tài)的圖形變換中識(shí)別全等三角形、識(shí)別對(duì)應(yīng)元素，有利于學(xué)生后面進(jìn)一步的深入學(xué)習(xí).

活動(dòng)3 全等三角形的性質(zhì)定理及判定定理的運(yùn)用

例1如圖，點(diǎn)A、B、C、D在一條直線上，EA∥FB，EC∥FD，EA=FB.

求證:AB=CD．

例1是在平移變換中識(shí)別全等三角形及對(duì)應(yīng)元素，并運(yùn)用AAS判定定理證明全等三角形，同時(shí)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)定理，得出對(duì)應(yīng)邊AC=BD，從而進(jìn)一步可以說(shuō)明其中對(duì)應(yīng)的線段AB=CD.

例2如圖，在四邊形ADBC中，AD∥BC，AD=BC．

求證:AC∥BD．

在例2的教學(xué)中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圖例中的兩個(gè)三角形是經(jīng)歷了旋轉(zhuǎn)變換拼合而成的，識(shí)別了旋轉(zhuǎn)變換就更便于識(shí)別全等三角形和進(jìn)一步識(shí)別兩個(gè)三角形中的對(duì)應(yīng)要素，從而輕松地確定證明三角形全等的判定方法，完成證明.

變式1如圖，點(diǎn)E、F在CD上，且CF=DE，AC∥BD,AE∥BF.

① 求證:△AEC≌△BFD.

② 你還能證得其他新的結(jié)論嗎？

在學(xué)生回答變式1前，可以適當(dāng)對(duì)學(xué)生做一些引導(dǎo).例如，該圖形與例2中的圖形是否有關(guān)？是在例2的基礎(chǔ)上作了怎樣的圖形運(yùn)動(dòng)？通過(guò)這樣的引導(dǎo)，可以幫助學(xué)生理解兩個(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)變換的實(shí)質(zhì)，便于問(wèn)題的解決.

變式2如圖，AB、CD相交于點(diǎn)E，且E是AB、CD的中點(diǎn)．

求證：① △AEC≌△BED.②AC∥DB．

這里也可以對(duì)學(xué)生做類(lèi)似的引導(dǎo)，如變式2與變式1圖形是否有關(guān)聯(lián)？另外，因?yàn)檫@個(gè)圖形的特殊性，除了認(rèn)為是在變式1基礎(chǔ)上繼續(xù)作平移之外，還可以認(rèn)為這個(gè)圖形組合是怎樣運(yùn)動(dòng)變化而來(lái)的？

變式3點(diǎn)E、F在線段CD上，且CF=DE，∠B=∠A，AE∥BF，你能證明AC=BD嗎？

變式3的圖形，承襲了變式1的運(yùn)動(dòng)變化特點(diǎn)，繼續(xù)將一個(gè)三角形平移.

在例2及各變式訓(xùn)練中，應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：這幾組圖形都是先經(jīng)歷了動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)變換又經(jīng)歷了不同程度的平移變換而生成的.能夠在動(dòng)態(tài)中識(shí)別出全等三角形，便能較為輕松地找到兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)要素，便于后一步分析問(wèn)題、解決問(wèn)題.具體說(shuō)明過(guò)程中，分別使用到了SAS、ASA、AAS、SSS等定理判定三角形全等，并進(jìn)一步運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)得出全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而還可以得出其它一些對(duì)應(yīng)線段的關(guān)系.

例3如圖，BE=CD，∠1=∠2，則

(1)AB=AC嗎？ 為什么？

(2) 連接BC，圖中還有其他全等三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

教學(xué)中首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：這個(gè)圖形給我們?cè)鯓拥母杏X(jué)？學(xué)生很快會(huì)聯(lián)想到軸對(duì)稱(chēng)，很自然也就聯(lián)系到了前面說(shuō)到的圖形的翻折變換，再聯(lián)系到前面我們分析過(guò)的圖形組合，這就在很大程度上幫助學(xué)生把這樣一個(gè)復(fù)雜的圖形分解成我們想找到的兩個(gè)三角形.

而這里的問(wèn)題(1)，要證明結(jié)論AB=AC，應(yīng)該首先分析AB、AC是哪兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)元素？可以證明哪兩個(gè)三角形全等？從而倒推證明三角形全等需要什么樣的條件.通過(guò)這樣倒序的分析，得出應(yīng)由已知的∠1=∠2，得出它們的鄰補(bǔ)角也相等，即∠ADC和∠AEB相等.顯然，這里應(yīng)注重引導(dǎo)，讓學(xué)生感受到兩個(gè)三角形所構(gòu)成的圖形具有軸對(duì)稱(chēng)性，也就是它們是翻折運(yùn)動(dòng)變化的結(jié)果.以此幫助學(xué)生在翻折變換的圖形中找到主體對(duì)象，便于從研究的圖形入手，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法.

問(wèn)題(2)中，連接BC后，所得圖形仍然具有軸對(duì)稱(chēng)性.除了原來(lái)的圖形外，學(xué)生還可從中分解出其它的也具有軸對(duì)稱(chēng)性的圖形組合，同樣能夠感受到一個(gè)三角形翻折變化后的更多不同組合，從而找到全等的三角形.

顯然，在問(wèn)題的分析過(guò)程中，從圖形動(dòng)態(tài)變化的視角，認(rèn)識(shí)全等三角形的運(yùn)動(dòng)變化，熟悉圖形的運(yùn)動(dòng)變換后的不同組合，可以為我們之后進(jìn)一步分析問(wèn)題、解決問(wèn)題帶來(lái)很大的幫助.這也可以為學(xué)生在以后更進(jìn)一步、更深層次地研究圖形帶來(lái)幫助.

3 教學(xué)思考

本節(jié)課中，學(xué)生通過(guò)親身經(jīng)歷的操作活動(dòng)，感受運(yùn)動(dòng)變化，詳細(xì)分析并深刻認(rèn)識(shí)到在平移、翻折、旋轉(zhuǎn)與全等運(yùn)動(dòng)變化之間的諸多內(nèi)在邏輯關(guān)系，從而更準(zhǔn)確地識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，而后運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)定理和判定定理，建立邏輯體系，發(fā)展和提高合情推理與演繹推理的能力.

在平時(shí)的新課教學(xué)中，可以逐步引導(dǎo)和帶領(lǐng)學(xué)生不孤立地看待圖形，從一個(gè)個(gè)單獨(dú)的圖形中，分析出其中所包含的運(yùn)動(dòng)變化或者是多種圖形動(dòng)態(tài)變換的組合，從圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的動(dòng)態(tài)變化的視角，把常見(jiàn)的圖形作一些分類(lèi)，以帶領(lǐng)學(xué)生從更高層面認(rèn)識(shí)這些圖形，找到圖形和圖形運(yùn)動(dòng)變化之間的聯(lián)系.

在初中階段，圖形的平移、翻折和旋轉(zhuǎn)，這些圖形的運(yùn)動(dòng)變化是發(fā)展學(xué)生空間觀念的重要抓手，也是研究圖形的基本方法，是發(fā)現(xiàn)和構(gòu)造不變量和不變關(guān)系的重要途徑.在關(guān)注內(nèi)在聯(lián)系的基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生細(xì)心觀察，深入思考，不斷培養(yǎng)學(xué)生的圖形觀和運(yùn)動(dòng)視覺(jué)，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.