基于課標(biāo)與學(xué)情的教材分析
——以“弧度制”為例

張麗云

(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇南京，210023)

弧度制是高中數(shù)學(xué)教材的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中比較難處理的一塊內(nèi)容.本文基于課標(biāo)與學(xué)情對教材中弧度制的處理作些探討.

1 “弧度制”課標(biāo)要求和教材呈現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(簡稱“課標(biāo)”)明確指出：“了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的轉(zhuǎn)化，體會引入弧度制的必要性(參見案例3)”[1]．相應(yīng)地，查閱蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材[2]發(fā)現(xiàn)：教材的呈現(xiàn)順序是弧度制的定義——弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化——弧長面積公式．在弧度制的定義呈現(xiàn)上，概念的引入與章引言密切相關(guān)，因此先展示引言的內(nèi)容，如圖1所示：

圖1 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第七章章引言

引言提出了用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫周期運動的問題，進而指出了圓周上一點的運動可以用有序數(shù)對(r,α)、(r,l)、(x,y)表示．弧度制的引入則在章引言內(nèi)容基礎(chǔ)上直接提出數(shù)學(xué)問題“r，l與α之間具有怎樣的關(guān)系呢？”．接著教材介紹角度制并直接給出弧度制的定義，以“上述規(guī)定基于下面的基本事實”承上啟下，說明“角α的弧度數(shù)由角α的大小唯一確定，而與其為圓心角所在的圓的大小(半徑)無關(guān)．”體現(xiàn)弧度制定義的合理性．在弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化上，教材從360°=2πrad入手，呈現(xiàn)1°和1 rad如何轉(zhuǎn)化，并提供兩道例題讓學(xué)生練習(xí)．在弧長面積公式上，主要是公式的簡化．弧度制是在任意角的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)度量角的新制度，為建立刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)，是建立三角函數(shù)的重要工具，其重要性不言而喻．

2 教材分析

通過對教材的梳理，筆者認為，教材在弧度制的處理呈現(xiàn)上，最出彩的地方在于情境素材的選?。蛉缦拢菏紫?，摩天輪的情境位于本章節(jié)三角函數(shù)的章引言部分，是學(xué)生熟悉的典型的周期現(xiàn)象，通過對圓周運動上的點位置的刻畫能夠?qū)⑷我饨恰⒒《戎坪腿我饨堑娜呛瘮?shù)串聯(lián)起來[3]．因此在“三角函數(shù)”的起始教學(xué)(任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù))時可以用這個問題情境，進行單元教學(xué)設(shè)計，更有助于學(xué)生厘清知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，避免知識“碎片化”，從整體上理解數(shù)學(xué)．其次，使用該情境引入，給學(xué)生提供了研究新的度量角的單位制的載體——圓．不論是角度制還是弧度制，對1°和1 rad的定義都是將角當(dāng)成某個圓的圓心角．當(dāng)然，沒有使用該情境引入也可以較為自然地通過對學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)——角度制的充分回顧和總結(jié)，引出研究載體．但是相比較而言，采用摩天輪的情境更為直接，能更快速地進入主題.最后，有序數(shù)對(r,α)和(r,l)都可以表示圓周上同一個點P，使學(xué)生能初步感受圓心角與弧長之間的對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)弧度制的探究提供感性經(jīng)驗．

但是根據(jù)課標(biāo)，筆者認為教材有兩個方面需要改進，一是缺乏有關(guān)弧度制數(shù)學(xué)文化的滲透；二是沒有體現(xiàn)弧度制引入的必要性．首先，課標(biāo)在“教材編寫建議”中明確指出：“教材應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)文化融入到學(xué)習(xí)內(nèi)容中，可以適當(dāng)?shù)亟榻B數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的成果，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神．”[4]弧度制概念的產(chǎn)生有較為悠久的歷史淵源[5]，這是一個比較容易也較為合適滲透數(shù)學(xué)史的契機．但是教材在弧度制這一節(jié)沒有呈現(xiàn)任何的數(shù)學(xué)史，只有在任意角中以淺藍色字旁注的形式介紹了古巴比倫對角度和圓的劃分．

其次，課標(biāo)在案例3[6]說明了引入弧度制的必要性，意在幫助教師更好地理解課標(biāo)的要求．必要性主要有3點：第一，從函數(shù)定義的要求上，弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小，統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，只有這樣才能進行基本初等函數(shù)的運算(四則運算、復(fù)合、求反函數(shù)等)，使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性；第二，從簡化運算的需要上，弧度制的引入能為微積分的計算提供方便；第三，從三角函數(shù)的實用性上，三角函數(shù)能較好地描述鐘擺、潮汐等周期現(xiàn)象，自變量除了角度外，還可能是時間或其他量．可見弧度制在數(shù)學(xué)中扮演著非常重要的角色．反觀教材，按照這樣的引入方式，學(xué)生可能難以明白為什么要學(xué)習(xí)弧度制？會誤以為僅僅是度量角的大小的另一種單位制．但其實從學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)來看，不論是從函數(shù)的要求，還是簡化運算的需要，亦或是三角函數(shù)的實用性上，教材也很難能在弧度制引入時就充分地體現(xiàn)必要性．事實上，關(guān)于弧度制引入必要性上，一直以來是比較棘手的問題．周杰和汪曉勤[7]曾分析20世紀(jì)中葉前的59種西方三角學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)多數(shù)教科書編寫者都未能很好地處理引入弧度制的必要性問題．

3 教學(xué)設(shè)計分析

針對上述教材中的不足，本文將以江蘇省2019年高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽中14份弧度制教學(xué)設(shè)計為研究素材，分析一線教師在教學(xué)中基于學(xué)情是如何讓學(xué)生體會弧度制引入的必要性及是否滲透數(shù)學(xué)史．值得注意的是，該大賽的參賽者都是各地級市的優(yōu)秀青年教師代表，教學(xué)設(shè)計也是事先經(jīng)過多次磨課修改后才呈現(xiàn)在大賽上，可以說是集體智慧的結(jié)晶．因此，該材料能夠在一定程度上反映一線教師對弧度制內(nèi)容的認識．

在數(shù)學(xué)史方面，共有12份教學(xué)設(shè)計向?qū)W生介紹了與弧度制相關(guān)的歷史，而且都涉及到歐拉所做的貢獻．表明絕大部分教師都比較認可本節(jié)課是滲透數(shù)學(xué)文化的良機．

在弧度制引入的必要性上，共9份教學(xué)設(shè)計有體現(xiàn)，占總教學(xué)設(shè)計的64.3%，具體體現(xiàn)方式見表1．表明一線教師還是較為重視弧度制引入的必要性，在備課時也不僅僅只是依據(jù)教材，而是立足課標(biāo)，結(jié)合學(xué)情在教材基礎(chǔ)上進行適當(dāng)創(chuàng)造．從表1可以發(fā)現(xiàn)，教師都是從進制不一致的角度來讓學(xué)生體會弧度制引入的必要性，只是不同的老師得到進制不統(tǒng)一的途徑可能會不一樣．其中，教學(xué)設(shè)計Ⅴ是由章引言情境得到弧長、半徑和角度度量進制的不同來體現(xiàn)；而教學(xué)設(shè)計Ⅱ、Ⅲ和Ⅸ都是在復(fù)習(xí)角度制后由教師解釋角度制是六十進制，會給數(shù)學(xué)研究帶來不便．其他5份教學(xué)設(shè)計則是用銳角三角函數(shù)的自變量和因變量不一致來體現(xiàn)．

表1 教學(xué)設(shè)計中弧度制引入必要性的方式

續(xù) 表

4 建議

綜合課標(biāo)與教師基于學(xué)生學(xué)情的教學(xué)設(shè)計分析，針對教材中的不足提出以下兩點建議：

第一、適當(dāng)增加一些與弧度制相關(guān)的歷史．其實在教師用書[8]中有向教師建議可向?qū)W生介紹或讓學(xué)生查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料，既然如此不妨將該“建議”換成“要求”在教材上適當(dāng)呈現(xiàn)，也是一種意識形態(tài)的體現(xiàn)，更對教師教學(xué)提出了要求．

第二、在教材目前的組織邏輯和學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)上，對弧度制引入的必要性進行說明．通過上述教學(xué)設(shè)計的分析，本研究認為教材可以在本節(jié)的一開始對長度(弧長、半徑)和角(圓心角)進制的不同會給數(shù)學(xué)研究帶來非常多的不便進行說明，從而引出需要學(xué)習(xí)新的度量角的十進制單位制．