球-溝道相對運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響研究

張會華，陳觀慈

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院）

0 引言

在滾動球軸承中，由于滾球相對溝道的運(yùn)動形式復(fù)雜，包括滾動、滑動、自旋和陀螺運(yùn)動等[1]。不同的運(yùn)動形式會在接觸表面形成不同的切向力，從而影響溝道表面和次表面應(yīng)力分布，進(jìn)而影響軸承的疲勞壽命，有必要了解這些復(fù)雜運(yùn)動如何決定滾動球軸承的應(yīng)力場。目前，研究切向力對溝道應(yīng)力的影響大多數(shù)基于彈性變形，而溝道材料彈塑性行為下的切向力對溝道應(yīng)力的影響研究較少。

1896 年，HERTZ[1]提出了關(guān)于兩個半無限彈性體在一點(diǎn)發(fā)生接觸的局部應(yīng)力和變形的經(jīng)典解析解。之后，許多學(xué)者研究了表面切應(yīng)力和法向應(yīng)力對次表面應(yīng)力的影響[2-3]，得出結(jié)論：隨著摩擦系數(shù)的增加，最大Mises 應(yīng)力和最大正交切應(yīng)力更接近于溝道表面。但是滾動球軸承在運(yùn)行過程中有時會受到?jīng)_擊或重載，球與內(nèi)外圈溝道接觸區(qū)域出現(xiàn)較大的接觸變形，溝道材料發(fā)生屈服而出現(xiàn)彈塑性變形。此時，HERTZ 接觸理論已不再適用，須采用彈塑性接觸分析研究接觸應(yīng)力和變形[4]。精確的彈塑性應(yīng)力分析關(guān)鍵取決于所用材料的本構(gòu)模型。近幾十年來，國內(nèi)外學(xué)者通過研究材料的本構(gòu)方程分析材料的應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)，其中A-F 模型[5]是一種經(jīng)典的非線性強(qiáng)化模型，模型中包含背應(yīng)力的演化和對運(yùn)動強(qiáng)化規(guī)律的描述。后續(xù)發(fā)展的模型如CHABOCHE 建立的模型[6]，OHNO 和WANG 建立的模型[7]，JIANG 和SEHITOGLU 建立的模型[8]，KANG 建立的模型[9]等，先后對A-F 模型進(jìn)行了修正和擴(kuò)展。本研究首先基于準(zhǔn)確描述材料力學(xué)行為的混合硬化（非線性各向同性/隨動硬化材料），建立了GCr15 彈塑性本構(gòu)模型，然后基于球-溝道等效方法將模型等效[3]，通過有限元軟件ABAQUS 用戶子程序UMAT 將本構(gòu)模型嵌入到球-溝道等效模型中。最后研究了溝道材料彈塑性行為下，摩擦系數(shù)0～0.3 時，球相對于溝道不同運(yùn)動形式對溝道應(yīng)力分布的影響。

1 彈塑性本構(gòu)模型

式中：E——彈性模量；v——泊松比；σij——柯西應(yīng)力。

塑性應(yīng)變的演變定義為

式中：sij——偏應(yīng)力張量；αij——背應(yīng)力，用于描述材料的非線性隨動強(qiáng)化；R——屈服面的半徑，用于描述材料的各向同性硬化，其演化定義為

式中：b，R∞——實(shí)驗(yàn)確定的材料常數(shù)；——等效塑性應(yīng)變率。

隨動強(qiáng)化規(guī)則的演化規(guī)律為

式中：Ck，γk——通過實(shí)驗(yàn)確定的材料常數(shù)；m=2。

塑性應(yīng)變率方程為

等效塑性應(yīng)變率定義為

在時間步長n+1 已知總應(yīng)變增量Δε，則將應(yīng)力、背應(yīng)力和屈服極限等增量代入屈服函數(shù)求得

式（11）是變量Δpn+1的非線性函數(shù)，通過NEWTON-RAPHSON 迭代法求解得到Δpn+1，從而計(jì)算得到時間步長n+1 時的變量σn+1，εn+1，，Rn+1和pn+1。之后，根據(jù)文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步求解一致性切線剛度矩陣dΔσn+1/dεn+1。

2 球-溝道彈塑性等效模型

2.1 球-溝道等效模型

彎曲溝道給有限元仿真增加了難度，應(yīng)用文獻(xiàn)[3]中提出的球-溝道接觸的等效方法將彎曲溝道等效為線性溝道。本研究中，R1x=R1y=11.00 mm，R2x=70.00 mm，R2y=11.51 mm 。球和溝道的接觸有2個主平面：平面1 和平面2。球-溝道接觸模型的尺寸如圖1 所示。經(jīng)過幾何等效之后，球在平面1上的半徑變?yōu)?.51 mm，溝道在平面1 上的半徑變?yōu)闊o窮大。球在平面2 上的半徑變?yōu)?.51 mm，溝道在平面2 上的半徑變?yōu)?.89 mm。

圖1 主平面上的幾何等效Fig.1 Geometric equivalent in plane

圖2（a）所示為實(shí)際工況中球-溝道接觸模型的有限元模型。由于球不是本研究分析的主要對象，且球的材料Si3N4 比溝道材料GCr15 硬，所以本文在有限元軟件ABAQUS 中將球建模為解析剛體，溝道建模為對稱約束，以簡化模型，提高計(jì)算效率。溝道的下表面被完全約束，八節(jié)點(diǎn)六面體C3D8 單元用于建模。由于應(yīng)力集中在接觸區(qū)域，因此球與溝道的接觸區(qū)域網(wǎng)格尺寸較小，而其他區(qū)域網(wǎng)格尺寸較大。球的下表面被設(shè)置為接觸主面，溝道的上表面被設(shè)置為接觸從面，有限元模型的接觸屬性為硬接觸。將切向接觸屬性設(shè)置為罰函數(shù)，并可以通過設(shè)置0～0.3 范圍內(nèi)的幾個系數(shù)以研究不同摩擦系數(shù)的狀況?；瑒臃绞綖橛邢藁?，離散方法為面對面。溝道材料表現(xiàn)出彈塑性變形行為，材料密度為7 800 kg/m3。根據(jù)文獻(xiàn)[11]，表1 列出了所建立彈塑性本構(gòu)模型中的所有材料參數(shù)。

圖2 有限元模型Fig.2 Finite element models

表1 GCr15 彈塑性模型的材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of elastoplastic model for GCr15

圖3 所示為球與溝道的接觸示意圖。球相對于溝道的4 個運(yùn)動分量分別為V3，VR1，VR2，VR3，其中V3為平行z軸的線速度。角速度VR1，VR2和VR3分別繞x軸，y軸和z軸。當(dāng)球相對于溝道滾動時，球的瞬軸為接觸橢圓的x軸；當(dāng)球相對溝道滑動時，接觸橢圓上的滑移線的方向?yàn)榻佑|橢圓的z軸方向；當(dāng)球自旋時，球的瞬軸為經(jīng)過圓心的y軸。

圖3 球和溝道接觸狀態(tài)Fig.3 Contact state of ball and raceway

2.2 本構(gòu)模型的有限元實(shí)現(xiàn)

本構(gòu)模型是通過ABAQUS 中的用戶子程序UMAT 實(shí)現(xiàn)的，該子程序在每個時間增量開始時在所有材料積分點(diǎn)處調(diào)用。時間增量結(jié)束時，用戶子程序?qū)?yīng)力和相關(guān)的狀態(tài)變量更新為它們的值，然后更新相應(yīng)的雅可比矩陣。詳細(xì)的求解步驟如下：

（1）首先，獲取時刻n的應(yīng)力、應(yīng)變、塑性應(yīng)變、背應(yīng)力、等效塑性應(yīng)變增量及屈服應(yīng)力等參量。增量步開始時，ABAQUS 主程序根據(jù)邊界條件、載荷增量等計(jì)算出當(dāng)前的應(yīng)變增量，并將應(yīng)變增量、相關(guān)材料參數(shù)傳遞到UMAT 中；

（2）調(diào)用UMAT 計(jì)算下一時刻n+1 的預(yù)測應(yīng)力值，根據(jù)Mises 屈服準(zhǔn)則判斷材料是否處于屈服狀態(tài)。如果F≤0，材料處于彈性階段，計(jì)算結(jié)束，更新相應(yīng)的變量，返回ABAQUS 主程序。F＞0，材料處于屈服狀態(tài)，需要進(jìn)行塑性修正；

（3）利用NETWON-RAPHSON 迭代法計(jì)算Δpn+1，判斷計(jì)算是否收斂。如果收斂，可以確定在時間步長n+1 時的變量σn+1，εn+1，，Rn+1和pn+1；

（4）更新雅克比矩陣dΔσn+1/dεn+1。

3 結(jié)果與討論

在有限元ABAQUS 中設(shè)置2 個分析步。在step1 中，接觸載荷被施加在球的參考點(diǎn)上；在step2 中，接觸載荷持續(xù)施加，同時球相對于溝道的運(yùn)動被施加。在step1 中，接觸載荷為8 kN，方向沿y軸負(fù)方向。參考點(diǎn)的y方向位移自由度被釋放，其他的自由度被約束；在step2 中，當(dāng)球沿著z軸滑動時，在球的參考點(diǎn)施加線速度V3，其他的角速度和線速度限制為0。當(dāng)球相對于溝道純滾動時，線速度V3和角速度VR1被加載在球參考點(diǎn)上，由于球的半徑為9.51 mm，因此V3=9.51VR1。其他運(yùn)動依此類推。將摩擦系數(shù)設(shè)置為0～0.3，研究不同摩擦系數(shù)下溝道應(yīng)力的變化規(guī)律。

3.1 滾動對溝道應(yīng)力的影響

如圖4 所示，球相對于溝道滾動時，隨著摩擦系數(shù)的增加，溝道的最大接觸應(yīng)力從3 269.82 MPa增長到3 376.16 MPa，增幅為106.34 MPa。最大Mises 應(yīng)力先從1 946.69 MPa 減小到1 920.38 MPa，然后增加到1 925.15 MPa，波動幅度為1.35%。曲線幅值為最大值和最小值差值的一半。摩擦系數(shù)從0 增至0.3 時，最大正交切應(yīng)力S23從796.45 MPa增加到833.36 MPa，增幅為36.91 MPa，其應(yīng)力深度從0.212 32 mm 逐漸減小到0.172 57 mm。S23所在路徑上應(yīng)力曲線的幅值從788.99 MPa 增加到839.03 MPa，增幅為50.04 MPa。

圖4 滾動時，不同摩擦系數(shù)下溝道的接觸應(yīng)力、最大Mises 應(yīng)力及其深度和最大正交切應(yīng)力S23 幅值及其深度Fig.4 Contact stress,maximum Mises stress and its depth,maximum orthogonal shear stress S23,amplitude and depth of raceway under different friction coefficients during rolling

3.2 滑動對溝道應(yīng)力的影響

圖5 所示為球相對于溝道沿z軸滑動時，由壓縮和滑動產(chǎn)生的接觸表面切向力。黑色箭頭所指的點(diǎn)為接觸中心，每個節(jié)點(diǎn)切向力的方向如箭頭所示，平行于z軸滑動方向。

圖5 滑動時接觸表面的切向力Fig.5 Tangential force on contact surface during sliding

圖6 所示為球相對于溝道滑動時，摩擦系數(shù)從0 增加到0.3，溝道的最大Mises 應(yīng)力及其深度和最大正交切應(yīng)力S23及其幅值、深度。隨著摩擦系數(shù)的增加。最大Mises 應(yīng)力從1 946.69 MPa 逐漸增加到2 021.39 MPa，增幅為74.70 MPa。其所在深度從0.254 71 mm 逐漸減小到0.217 84 mm，S23從796.45 MPa 增至1 039.02 MPa，增幅為242.57 MPa。其所在深度從接觸表面下0.212 32 mm 減小到0.164 89 mm。S23所在路徑上應(yīng)力曲線的幅值從788.99M Pa 減小到742.15 MPa，變動幅度為5.94%。

圖6 滑動時，不同摩擦系數(shù)下溝道的最大Mises 應(yīng)力及其深度和最大正交切應(yīng)力、幅值及其深度Fig.6 Maximum Mises stress and its depth,maximum orthogonal shear stress,amplitude and depth of raceway under different friction coefficients during sliding

3.3 自旋對溝道應(yīng)力的影響

由壓縮和自旋產(chǎn)生的接觸表面切向力如圖7 所示。箭頭所指的點(diǎn)為接觸中心。每個節(jié)點(diǎn)切向力的方向如箭頭所示，垂直于節(jié)點(diǎn)與接觸中心的連線。如圖8 所示，隨著摩擦系數(shù)的增加，溝道的最大Mises 應(yīng)力從1 946.18 MPa 增加到2 230.06 MPa，增幅為283.88 MPa，其所在的深度從0.255 50 mm逐漸減小到0 mm，即最大Mises 應(yīng)力出現(xiàn)在溝道的接觸表面上。原因是隨著摩擦系數(shù)的增加，不同溝道深度下的Mises 應(yīng)力都在增加，但是溝道接觸表面上的應(yīng)力增加速度相較于次表面的應(yīng)力增加速度快。因此，Mises 應(yīng)力在摩擦系數(shù)0.100 和0.125之間必然存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，在這個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，溝道次表面的最大Mises 應(yīng)力等于表面的最大Mises 應(yīng)力。在轉(zhuǎn)折點(diǎn)之前，次表面的最大Mises 應(yīng)力大于表面的最大Mises 應(yīng)力；在轉(zhuǎn)折點(diǎn)之后，次表面的最大Mises 應(yīng)力小于表面的最大Mises 應(yīng)力。

圖7 自旋時接觸表面的切向力Fig.7 Tangential force on contact surface under spin

圖8 自旋時，溝道的最大Mises 應(yīng)力及其深度Fig.8 Maximum Mises stress and its depth of raceway under spin

3.4 組合運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響

研究自旋和滑動的組合運(yùn)動時，如前文所述，將角速度VR2和線速度V3同時施加在球參考點(diǎn)上。只施加自旋運(yùn)動時，球的瞬心為接觸橢圓的中心；只施加滑動運(yùn)動時，瞬心在無窮遠(yuǎn)處。因此，當(dāng)某一滑動速度與不同的自旋速度同時施加時，球旋轉(zhuǎn)的瞬軸會在接觸橢圓的長軸上移動[3]。以滑動速度V3是旋轉(zhuǎn)角速度VR2的0.5 倍為例，則瞬軸在接觸橢圓長軸上偏離接觸中心0.5 mm。摩擦系數(shù)以0.05和0.30 為例，圖9 顯示了瞬軸偏離接觸中心0.5 mm時由壓縮和自旋產(chǎn)生的接觸表面切向力。

圖9 旋滑組合運(yùn)動時接觸表面的切向力Fig.9 Tangential force on contact surface in combined motion of spinning and sliding

圖10 為摩擦系數(shù)分別為0.05 和0.30 時瞬心位置變化對滾道Mises 應(yīng)力的影響。摩擦系數(shù)為0.05 時，隨著瞬心位置的變化，最大Mises 應(yīng)力從1 934.55 MPa 增加到1 948.11 MPa，增幅為13.55 MPa；摩擦系數(shù)為0.30 時，隨著瞬心位置的變化，最大Mises 應(yīng)力從2 230.06 MPa 減小到2 021.37 MPa，減幅為208.69 MPa。值得注意的是，二者所在深度都是在瞬心位置距離接觸中心2 mm 處接近滑動時所在深度。

圖10 旋滑運(yùn)動時溝道的最大Mises 應(yīng)力及其深度Fig.10 Maximum Mises stress of raceway and its depth during combined motion

綜上所述，摩擦系數(shù)為0.05 時，瞬心位置的變化對溝道應(yīng)力影響很小。其原因是摩擦系數(shù)0.05小于自旋運(yùn)動和滑動運(yùn)動單獨(dú)作用時的溝道的最大Mises 應(yīng)力的摩擦系數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。滑動運(yùn)動時，溝道的最大Mises 應(yīng)力的摩擦系數(shù)在0～0.3 范圍內(nèi)不存在轉(zhuǎn)折點(diǎn)。自旋運(yùn)動時，溝道的最大Mises 應(yīng)力的摩擦系數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在0.100～0.125 之間。因此在摩擦系數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)之前，最大Mises 應(yīng)力增加特別緩慢。故摩擦系數(shù)為0.05 時，兩個獨(dú)立運(yùn)動和其組合運(yùn)動對溝道的最大Mises 應(yīng)力影響很小。摩擦系數(shù)為0.30 時，瞬心距離接觸中心不同位置對溝道上的最大Mises 應(yīng)力差異明顯。瞬心在不同位置時，溝道上的最大Mises 應(yīng)力位于滑動和自旋運(yùn)動時溝道的最大Mises 應(yīng)力之間，且在瞬心位置距離接觸中心1.5～2.0 mm 之間存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，使得應(yīng)力深度突變到接近滑動時所在深度。

3.5 不同運(yùn)動形式對比

3 種獨(dú)立運(yùn)動和2 種組合運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響被比較，摩擦系數(shù)選取0.05 和0.30?；瑒雍妥孕M合運(yùn)動選取了瞬心距離接觸中心0.5 mm 和2.5 mm 2 種情況。瞬心距離接觸中心0.5 mm 代表瞬心靠近接觸中心的情況，瞬心距離接觸中心2.5 mm代表瞬心遠(yuǎn)離接觸中心的情況。

圖11 為摩擦系數(shù)0.05 或0.30 時，3 種獨(dú)立運(yùn)動和2 種組合運(yùn)動下，溝道的最大Mises 應(yīng)力、最大正交切應(yīng)力S23以及S23所在路徑的應(yīng)力曲線的幅值，以無摩擦?xí)r各種應(yīng)力為參照。

圖11 應(yīng)力比較Fig.12 Stress comparison

摩擦系數(shù)為0.05 時，3 種獨(dú)立運(yùn)動和2 種組合運(yùn)動對溝道的最大Mises 應(yīng)力和S23所在路徑曲線上的幅值影響都較小；滑動和自旋以及2 種組合運(yùn)動對溝道的S23稍有影響；純滾動運(yùn)動對其基本無影響。摩擦系數(shù)為0.30 時，3 種獨(dú)立運(yùn)動和2 種組合運(yùn)動對S23所在路徑曲線上的幅值影響較??；滾動對溝道的最大Mises 應(yīng)力和S23影響很小，原因是在摩擦系數(shù)0～0.30 范圍內(nèi)，滾動運(yùn)動沒有發(fā)現(xiàn)摩擦系數(shù)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，且在該范圍內(nèi)應(yīng)力的增長速度較慢。滑動和自旋以及2 種組合運(yùn)動對溝道的最大Mises 應(yīng)力和S23影響很大，原因是滑動運(yùn)動時，雖然摩擦系數(shù)在0～0.30 沒有發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，但是在該范圍內(nèi)應(yīng)力的增長速度較快，因此，滑動運(yùn)動時對溝道的最大Mises 應(yīng)力和S23影響很大。自旋時，溝道的最大Mises 應(yīng)力存在摩擦系數(shù)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，摩擦系數(shù)0.30 大于這個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，故自旋運(yùn)動對溝道的最大Mises 應(yīng)力和S23影響最大。自旋和滑動的組合運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響介于自旋和滑動運(yùn)動單獨(dú)作用對溝道應(yīng)力影響之間。

4 結(jié)論

本研究對球軸承溝道材料彈塑性行為下，摩擦系數(shù)0～0.3 范圍內(nèi)，球相對于溝道的3 種單獨(dú)運(yùn)動和組合運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響進(jìn)行分析。總結(jié)了溝道的最大Mises 應(yīng)力和最大正交切應(yīng)力S23隨摩擦系數(shù)以及不同運(yùn)動形式的變化規(guī)律。主要結(jié)論如下：

（1）隨著摩擦系數(shù)的增加，滾動、滑動、自旋和組合運(yùn)動對正交切應(yīng)力S23的幅值影響較小，滾動對溝道次表面的應(yīng)力值影響很小，但最大應(yīng)力所在的位置逐漸趨近于溝道表面。

（2）滑動和自旋運(yùn)動作用時，溝道的應(yīng)力隨著摩擦系數(shù)的增加而逐漸增大?；瑒訒r，最大應(yīng)力所在的位置有從溝道次表面轉(zhuǎn)移到表面上的趨勢；自旋時，最大應(yīng)力所在的位置逐漸從溝道次表面轉(zhuǎn)移到表面上，且摩擦系數(shù)存在一個轉(zhuǎn)折點(diǎn)，使得最大應(yīng)力突變到溝道表面上，發(fā)生表面屈服。

（3）自旋和滑動的組合運(yùn)動對溝道應(yīng)力的影響在自旋對溝道應(yīng)力影響和滑動應(yīng)力影響之間，自旋對溝道應(yīng)力影響最大，然后滑動，滾動最小。因此，實(shí)際工況中，當(dāng)摩擦系數(shù)較大時，應(yīng)盡量減小軸承中某些運(yùn)動分量。