兩類(lèi)極小二元線性碼的構(gòu)造

杜小妮 胡金霞 金文剛 孫彥中

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 蘭州 730070)

1 引言

線性碼因其具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)、易于描述和加解密等特性，在通信、數(shù)據(jù)存儲(chǔ)、信息安全和密碼學(xué)等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用。特別地，極小線性碼是一類(lèi)特殊的線性碼，在構(gòu)造具有良好訪問(wèn)結(jié)構(gòu)的秘密共享方案[1,2]和兩方安全計(jì)算[3,4]中起著重要的作用。線性碼的重量分布既能說(shuō)明碼的糾錯(cuò)能力，又可用來(lái)計(jì)算信息在傳輸過(guò)程中發(fā)生錯(cuò)誤的概率，因而確定線性碼的重量分布問(wèn)題是編碼理論中的一個(gè)重要課題，但確定一般線性碼的重量分布是非常困難的。

布爾函數(shù)作為一類(lèi)重要的密碼學(xué)函數(shù)在編碼密碼領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如利用布爾函數(shù)的Walsh譜值分布來(lái)構(gòu)造極小線性碼、雷德-穆勒(Reed-Muller,RM) 碼[5]和Kerdock碼[6]等。1972 年，Baumert等人[7]首次提出了基于定義集構(gòu)造具有較低重量線性碼的方法，隨后，學(xué)者們基于該方法設(shè)計(jì)了多類(lèi)低重線性碼[8,9]。2016年，Ding[10]通過(guò)選取合適的定義集，提出了利用布爾函數(shù)的Walsh譜值分布研究2元線性碼的方法。2018年，Chang等人[11]提出了一類(lèi)不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼。隨后，Heng等人[12]構(gòu)造了一類(lèi)不滿足Ashikhmin-Barg條件的無(wú)限族極小3元線性碼，并給出了判斷極小線性碼的充分必要條件。同年， Ding等人[13]得到了3類(lèi)不滿足Ashikhmin-Barg條件的無(wú)限族極小2元碼，并給出了碼的重量分布，且提出了新的判斷極小線性碼的充要條件。2020年，Mesnager等人[14]利用特征函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)[13]的結(jié)果。

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文利用所設(shè)計(jì)的布爾函數(shù)的Walsh譜值分布構(gòu)造了兩類(lèi)極小2元線性碼。具體地，首先得到了給定的Maiorana-McFarland類(lèi)布爾函數(shù)中某些特殊函數(shù)的Walsh譜值分布，利用文獻(xiàn)[13]中的方法，以布爾函數(shù)的Walsh變換為工具，構(gòu)造了第1類(lèi)極小2元線性碼，并確定了其參數(shù)和重量分布。其次，利用文獻(xiàn)[14]中的方法，結(jié)合特征函數(shù)的性質(zhì)，構(gòu)造了第2類(lèi)極小2元線性碼，確定了碼的參數(shù)和重量分布。結(jié)果表明，本文所構(gòu)造的這兩類(lèi)碼均是不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼，可用于設(shè)計(jì)具有良好訪問(wèn)結(jié)構(gòu)的秘密共享方案。

本文的組織結(jié)構(gòu)如下，第2節(jié)主要介紹有限域中的一些定義和基本事實(shí)；第3節(jié)給出了兩類(lèi)線性碼的構(gòu)造；最后，總結(jié)全文。

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)介紹一些基本的概念和已有的結(jié)論。

3 主要結(jié)論及證明

本節(jié)將利用一般的Maiorana-McFarland類(lèi)布爾函數(shù)和特征函數(shù)的性質(zhì)，得到了兩類(lèi)不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼。

3.1 第1類(lèi)極小2元線性碼

設(shè)m是任意正整數(shù)，s和t是滿足s+t=m的兩個(gè)正整數(shù)。一般Maiorana-McFarland類(lèi)函數(shù)形式為

(2) 和(3)的證明與(1)類(lèi)似，此處不再贅述。

表1 碼C f 的重量分布

3.2 第2類(lèi)極小2元線性碼

CfˉD[2m-1,m+1]

結(jié)合引理3和式(34)，可得碼的長(zhǎng)度和維數(shù)參數(shù)為。

又由式(34)可得

結(jié)合引理3，整理可得表2。

表2 碼Cf Dˉ的 重量分布

再結(jié)合表2可知

4 結(jié)論

本文在文獻(xiàn)[13, 14]的基礎(chǔ)上，利用一類(lèi)特殊的Maiorana-McFarland函數(shù)得到了兩類(lèi)不滿足Ashikhmin-Barg條件的極小2元線性碼，并給出了碼的參數(shù)和重量分布。結(jié)果表明，構(gòu)造的這兩類(lèi)極小2元線性碼均可用作設(shè)計(jì)具有良好訪問(wèn)結(jié)構(gòu)的秘密共享方案。