基于修正雙梁理論的郵輪應(yīng)力分布特性研究

楊 斌，裴志勇，吳衛(wèi)國(guó)

（武漢理工大學(xué)a.交通學(xué)院；b.船舶郵輪中心，武漢 430063）

0 引 言

大型郵輪豐滿上層建筑帶來(lái)巨大經(jīng)濟(jì)效益的同時(shí)，也對(duì)船體結(jié)構(gòu)與強(qiáng)度設(shè)計(jì)提出了更高的要求。在郵輪設(shè)計(jì)初期一般使用簡(jiǎn)單梁理論估算結(jié)構(gòu)的應(yīng)力水平，當(dāng)大型郵輪發(fā)生中拱或中垂彎曲時(shí)，由于郵輪主船體和上層建筑結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，力并不能完全有效地向上傳遞，因此剖面內(nèi)的縱向應(yīng)力不再沿高度方向保持線性分布[1]。其次相較于一般船舶，郵輪上層建筑擁有較多的側(cè)壁開(kāi)口和甲板開(kāi)口，導(dǎo)致其剪切剛度降低，上層建筑舷側(cè)以及縱艙壁等構(gòu)件在傳遞縱向應(yīng)力的同時(shí)還需承受較大的剪切應(yīng)力。無(wú)論是力的垂向傳遞還是剪切應(yīng)力的增加，都會(huì)使得郵輪船體結(jié)構(gòu)的受力變形更加復(fù)雜。

1950 年，Crawford[2]提出“雙梁理論”，將主船體和上層建筑分別視為兩根獨(dú)立的梁，基于簡(jiǎn)單梁理論，對(duì)上層建筑的彎曲變形進(jìn)行了研究探討。隨后許多學(xué)者對(duì)此理論做出了研究和拓展。裴志勇等[3]應(yīng)用雙梁理論來(lái)模擬散貨船隔艙重載下局部彎曲引起的應(yīng)力分布，研究雙層底結(jié)構(gòu)的局部彎曲應(yīng)力對(duì)船體梁極限強(qiáng)度的影響。陳倩等[4]應(yīng)用有限元方法對(duì)鋁合金上層建筑參與船體總縱彎曲的特性進(jìn)行計(jì)算分析，得到了鋁合金上層建筑與主船體之間的應(yīng)力分布及總縱彎曲應(yīng)力在船舯剖面上的分布，并與鋼質(zhì)上層建筑的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。

Bleich[5]對(duì)上層建筑縱向應(yīng)力進(jìn)行了直接計(jì)算，對(duì)上層建筑與主船體彎曲曲率不一致的現(xiàn)象做了詳細(xì)討論。Naar 等[6]將Bleich 提出的梁理論拓展到了多層上層建筑，提出耦合梁理論，該理論假定郵輪由多個(gè)梁組成，每個(gè)梁之間由縱向和垂向分布的彈簧進(jìn)行耦合，來(lái)估算郵輪上層建筑的縱向應(yīng)力。Morshedsolouk等[7]提出了耦合梁理論的拓展公式，用于研究擁有多層上層建筑客船的縱向應(yīng)力沿高度分布特性。

Pei等[8]在雙梁理論的基礎(chǔ)上，分析了郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，對(duì)上層建筑的彎曲效率進(jìn)行了研究和討論，為郵輪上層建筑的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了技術(shù)支持。朱波[1]從上層建筑結(jié)構(gòu)形式的角度，通過(guò)理論分析與數(shù)值仿真相結(jié)合的方式，系統(tǒng)地探討上層建筑長(zhǎng)度和寬度等因素對(duì)郵輪上層建筑有效度的影響。Zou[9]以內(nèi)河郵輪為研究對(duì)象，探討并分析了上層建筑的彎曲效率對(duì)船體梁強(qiáng)度的貢獻(xiàn)程度。Romanoff 等[10]研究了在彎曲荷載作用下，客船主船體與上層建筑之間的相互作用，并考慮到各甲板之間的剛度變化。

傳統(tǒng)雙梁理論是在梁理論基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，并基于一定假設(shè)條件下進(jìn)行應(yīng)用。在對(duì)郵輪縱向應(yīng)力沿高度分布特性研究時(shí)，需要對(duì)雙梁理論進(jìn)行一定修正，以滿足郵輪多層上層建筑、上層建筑和主船體剛度存在差異等結(jié)構(gòu)要求。耦合梁理論沒(méi)有考慮橫艙壁、橫向強(qiáng)框架和上層建筑端部剛度等因素的影響，橫向強(qiáng)框架處的剪切應(yīng)力分布也不同于整船有限元計(jì)算結(jié)果。

本文首先探討郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，其次假定郵輪主甲板上的豎向力迫使上層建筑產(chǎn)生與主船體產(chǎn)生相同曲率的撓度變形，使剖面發(fā)生歪斜的水平剪力產(chǎn)生不同曲率的剪切變形，并詳述了修正后的雙梁理論是如何考慮總縱彎曲下的撓度變形及剪切變形；考慮主船體和上層建筑之間的力傳遞會(huì)受到剪切滯后的影響，需要使用剪切滯后系數(shù)r對(duì)上層建筑所受彎矩M1進(jìn)行修正；最后以一艘典型內(nèi)河郵輪為研究對(duì)象，分別使用簡(jiǎn)單梁理論、雙梁理論及本文提出的雙梁理論修正方法計(jì)算了郵輪主船體和上層建筑的縱向應(yīng)力，并與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。本文提出的雙梁理論修正方法考慮了郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，適用于在郵輪設(shè)計(jì)初期，對(duì)客船、郵輪等擁有多層上層建筑的大型船舶的縱向應(yīng)力估算。

1 郵輪上層建筑的變形特性

主船體最上層連續(xù)甲板以上的艙室結(jié)構(gòu)物統(tǒng)稱為上層建筑[11]。當(dāng)上層建筑擱置在主船體上，若主船體發(fā)生總縱彎曲，上層建筑仍保持原狀，于是兩部分原來(lái)在同一豎直平面內(nèi)的剖面將發(fā)生縱向移動(dòng)和分離，如圖1（a）所示。而實(shí)際情況是主船體和上層建筑之間是相互作用的，當(dāng)主船體發(fā)生總縱彎曲時(shí)，在主船體與上層建筑連接線處會(huì)產(chǎn)生相互作用的水平剪力阻止剖面的縱向移動(dòng)，以及相互作用的豎向力阻止剖面的豎向分離，如圖1（b）所示。

如圖2 所示，Q1、Q2為連接線上產(chǎn)生的相互作用的水平剪力[13]，單位是N。由于水平剪力的作用，會(huì)使主船體和上層建筑同一豎向剖面發(fā)生歪斜，并且越接近船舶首尾自由端，剖面的豎向分離越嚴(yán)重，因此產(chǎn)生的豎向力也越大，這種相互作用稱為端點(diǎn)效應(yīng)。

由首尾自由端產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)，主要表現(xiàn)在上層建筑長(zhǎng)度中點(diǎn)剖面上的彎曲應(yīng)力受上層建筑長(zhǎng)度變化的影響，如圖3 所示。對(duì)于短上層建筑，長(zhǎng)度中點(diǎn)剖面離首尾兩端較近，理論彎曲應(yīng)力將大于受端點(diǎn)效應(yīng)影響的實(shí)際彎曲應(yīng)力值；對(duì)于長(zhǎng)上層建筑，因?yàn)槠溟L(zhǎng)度中點(diǎn)剖面離首尾兩端較遠(yuǎn)，受端點(diǎn)效應(yīng)的影響較小，實(shí)際彎曲應(yīng)力近似等于理論彎曲應(yīng)力。

由于郵輪上層建筑幾乎與主船體等長(zhǎng)，屬于長(zhǎng)上層建筑，根據(jù)圖3所示，在郵輪上層建筑中點(diǎn)剖面處的總縱應(yīng)力應(yīng)近似等于理論彎曲應(yīng)力。由于自由端的端點(diǎn)效應(yīng)導(dǎo)致的應(yīng)力變化可忽略不計(jì)，因此本文選擇郵輪上層建筑中點(diǎn)剖面作為研究對(duì)象，分析郵輪縱向應(yīng)力沿高度分布特性。

郵輪上層建筑的變形特性需考慮到剪切滯后的影響。剪切滯后效應(yīng)在結(jié)構(gòu)工程中是一個(gè)普遍存在的力學(xué)現(xiàn)象，從力學(xué)本質(zhì)上說(shuō)，是圣維南原理，具體表現(xiàn)是在某一局部范圍內(nèi)，剪力所能起的作用有限，所以正應(yīng)力分布不均勻，把這種正應(yīng)力分布不均勻的現(xiàn)象叫做剪切滯后[15]。

由于主船體和上層建筑之間的剛度存在差異以及剪切滯后的影響，主船體和上層建筑在主甲板處計(jì)算得到的縱向應(yīng)力并不一致，為了考慮剪切滯后的影響，引入剪切滯后系數(shù)r[12]，主船體與上層建筑相接處的縱向應(yīng)力比，與上層建筑的長(zhǎng)度l和寬度b有關(guān)。表達(dá)式如式（1）所示。

2 雙梁理論及修正思想

2.1 雙梁理論

由于船舶主船體與上層建筑之間的剛度差異，在船舶結(jié)構(gòu)與強(qiáng)度設(shè)計(jì)中需考慮主船體與上層建筑的相互作用。雙梁理論的核心思想是將主船體與上層建筑看作兩根獨(dú)立的梁，它們之間受到豎向力和水平剪力的相互作用，假設(shè)主船體受到外力作用的情況下，通過(guò)梁理論、能量法以及變分法等計(jì)算得到上層建筑與主船體的應(yīng)力分布。

取船舶模型如圖4 所示，設(shè)上層建筑為梁1，長(zhǎng)度為l，主船體為梁2，長(zhǎng)度為L(zhǎng)；上層建筑中和軸距主甲板距離為aa1，主船體中和軸距主甲板距離為aa2，上層建筑中和軸和主船體中和軸距離為a；y1和y2為上層建筑和主船體由于外力作用產(chǎn)生的撓度變形。

雙梁模型受力分析如圖5 所示，上層建筑和主船體相互連接，連接線處的水平剪力和豎向力可相互傳遞。上層建筑力平衡方程為

主船體力平衡方程為

式中：N1、N2分別為上層建筑和主船體所受軸向力；M1、M2分別為上層建筑和主船體所受彎矩；A1、A2分別為上層建筑和主船體斷面的橫截面積；I1、I2分別為上層建筑和主船體對(duì)其本身中和軸的剖面慣性矩。

如圖5 所示，由于外載荷的作用，上層建筑和主船體會(huì)產(chǎn)生軸向拉（壓）和彎曲變形。

上層建筑正應(yīng)力表達(dá)式為

主船體正應(yīng)力表達(dá)式為

式中，y1、y2分別為所求截面上的應(yīng)力點(diǎn)到上層建筑和主船體中性軸的距離。

利用“勢(shì)能理論”，可以獲得關(guān)于撓度變形y1和y2的微分方程，外力總勢(shì)能UW=UP+US+UM，其中UP、US、UM是由外載荷P、剪力S和彎矩M產(chǎn)生的勢(shì)能。

總應(yīng)變能V=V1a+V1b+V1c+V2a+V2b+V2c+Vd，其中V1a、V2a是上層建筑和主船體軸向拉伸（壓縮）產(chǎn)生的應(yīng)變能；V1b、V2b是上層建筑和主船體由于彎曲產(chǎn)生的應(yīng)變能；V1c、V2c是上層建筑和主船體由于垂直剪切力產(chǎn)生的應(yīng)變能；除了縱向應(yīng)力的應(yīng)變能外，艙壁或甲板梁也會(huì)儲(chǔ)存能量，以抵抗上層建筑和船體的相對(duì)垂直位移，這部分應(yīng)變能可以表示為彈簧常數(shù)K的形式，符號(hào)是Vd。

至此，在得到總勢(shì)能U=V+UW后，利用變分法原理求解δU=0，得到兩個(gè)微分方程，通過(guò)變分法確定微分方程通解中出現(xiàn)的任意常數(shù)所需要的邊界條件。聯(lián)立微分方程組進(jìn)行求解，得到上層建筑和主船體的撓度變形y1和y2，進(jìn)而得到上層建筑和主船體沿高度方向的縱向正應(yīng)力。

2.2 修正雙梁理論

傳統(tǒng)雙梁理論是在梁理論基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，并基于一定假設(shè)條件下應(yīng)用。但由于方程數(shù)量過(guò)多和計(jì)算難度大等特點(diǎn)，很難在短時(shí)間內(nèi)獲得一個(gè)準(zhǔn)確可靠的計(jì)算結(jié)果。

本文認(rèn)為雙梁連接線上的豎向力迫使上層建筑產(chǎn)生與主船體產(chǎn)生相同曲率的彎曲變形，水平剪力使剖面發(fā)生歪斜，上層建筑與主船體產(chǎn)生不同曲率的剪切變形；基于梁理論，對(duì)彎曲及剪切變形產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行了理論推導(dǎo)；考慮雙梁連接線處剪切滯后的原因，使用剪切滯后系數(shù)r對(duì)上層建筑所受彎矩M1進(jìn)行修正。

設(shè)上層建筑為梁1，主船體為梁2，雙梁模型中和軸位置如圖6 所示。圖中h1、h2為上層建筑和主船體的高度，單位是cm；e1、e2分別為上層建筑和主船體中和軸到主甲板的距離，單位是cm；e0為雙梁模型的中和軸高度，單位是cm。

中拱彎曲下雙梁模型連接線處受力示意如圖7所示。P1、P2為連接線上產(chǎn)生的相互作用的水平剪力，γ1、γ2表示由于剪切力Q1、Q2引起的剪切應(yīng)變。P1、P2和Q1、Q2的關(guān)系如式（6）所示：

當(dāng)梁的高度遠(yuǎn)小于跨度時(shí)，梁理論一般會(huì)忽略橫向剪切變形的影響，但由于大型郵輪多層上層建筑的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，致使橫向剪切變形的影響變得不可忽略。梁由于剪切變形導(dǎo)致的剖面歪斜如圖8（b）所示，此時(shí)橫向剪切力Q所產(chǎn)生的剪切變形會(huì)將引起梁的附加撓度，并導(dǎo)致原來(lái)垂直于中面的剖面發(fā)生歪斜。γ表示由于剪切力Q引起的剪切應(yīng)變，梁理論一般會(huì)忽略橫向剪切變形的影響，γ為0，即截面的轉(zhuǎn)動(dòng)等于撓度曲線切線的斜率，從而保證符合平斷面假定，如圖8（a）所示，表示為

式中，dw/dx表示撓度曲線切線的斜率，θ表示由于彎曲變形引起的截面轉(zhuǎn)動(dòng)。

定義梁的變形曲率為ξ，考慮剪切變形的影響后，如圖8（b）所示，ξ可表示為

假設(shè)雙梁模型在外力作用下變形為純彎曲，模型長(zhǎng)度中點(diǎn)剖面受力示意圖如圖9所示。

圖中M為模型所受外力，單位是N·cm；M1、M2分別為上層建筑和主船體彎矩，單位是N·cm；N1、N2分別為彎矩M引起的上層建筑和主船體的軸向力（中和軸處），大小相等，方向相反，單位是N；l為上層建筑長(zhǎng)度，單位是cm；L為主船體長(zhǎng)度，單位是cm。

梁1（上層建筑）縱向應(yīng)力表達(dá)式為

梁2（主船體）縱向應(yīng)力表達(dá)式為

式中：σ1、σ2分別為上層建筑和主船體的縱向應(yīng)力，單位是N/cm2；I1、I2分別為上層建筑和主船體對(duì)其本身中和軸的剖面慣性矩，單位是cm4；y1、y2分別為上層建筑和主船體剖面位置至本身中和軸的距離，單位是cm；F1、F2分別為上層建筑和主船體的橫剖面面積，單位是cm2。

假定雙梁連接線上的豎向力迫使上層建筑產(chǎn)生與主船體產(chǎn)生相同曲率的撓度變形，這一部分的撓度曲線切線斜率用符號(hào)ν″1、ν″2表示。由于水平剪力的作用，使剖面發(fā)生歪斜，這一部分的剪切變形用符號(hào)γ1、γ2表示，因此梁1和梁2的總變形如式（11）所示：

式中：φ1、φ2分別為上層建筑和主船體彎曲后的總變形；γ1、γ2分別為主船體和上層建筑由剪切變形引起的剪切應(yīng)變，γ1=-Q/A1G，γ2=Q/A2G。

截面的內(nèi)力表達(dá)式為

雙梁模型中和軸處的軸向力表達(dá)式為

式中，h2為主船體高度，單位是cm；εe1、εe2分別為水平剪切力Q引起的上層建筑和主船體在中和軸處的軸向應(yīng)變，關(guān)系如圖9所示。

雙梁模型彎矩平衡方程式為

式中，e=e1+e2。

假設(shè)主船體與上層建筑之間相互作用的豎向力P和連線處的垂向變形成正比，比例設(shè)為垂向剛性系數(shù)K，如式（21）所示：

郵輪上層建筑幾乎與主船體等長(zhǎng)，其長(zhǎng)度中點(diǎn)距端部較遠(yuǎn)，產(chǎn)生的豎向力較小，可忽略不計(jì)。因此可假設(shè)在長(zhǎng)度中點(diǎn)處上層建筑和主船體的撓度變形一致，由此可得在長(zhǎng)度中點(diǎn)處==ν″。

假設(shè)E=E1=E2，在主船體與上層建筑連線處縱向應(yīng)力應(yīng)存在以下關(guān)系：

式中，ε01、ε02為主船體和上層建筑連接線處的軸向應(yīng)變。

聯(lián)立上式可得

可求得水平剪切力Q為

至此，水平剪切力Q、剪切應(yīng)變?chǔ)?、撓度變形引起的曲率ν″都已得到，進(jìn)而可以求得主船體和上層建筑所受彎矩M1、M2，由于連接線處剪切滯后的原因，需要對(duì)上層建筑所受彎矩M1進(jìn)行修正。

主船體沿高度方向的縱向應(yīng)力分布表達(dá)式為

根據(jù)式（24）可得主船體與上層建筑相接處主甲板的縱向應(yīng)力σ02為

式中，y02為主甲板距主船體中和軸的距離，即y02=e2，ε02為主甲板處軸向應(yīng)變，如圖9所示，主甲板處軸向應(yīng)變?yōu)?。由主船體與上層建筑相接處主甲板的縱向應(yīng)力σ02反推上層建筑所受彎矩M1為

式中，y01=e1，表示主甲板距上層建筑中和軸的距離，單位是cm。上層建筑沿高度方向的縱向應(yīng)力分布表達(dá)式為

式中，y1'表示所求剖面位置距主甲板距離，單位是cm。

3 郵輪縱向應(yīng)力計(jì)算

本文以一艘典型內(nèi)河郵輪為研究對(duì)象，計(jì)算分析該郵輪在中縱彎曲載荷下，船舯剖面沿高度方向分布的剖面縱向應(yīng)力。該郵輪為雙層底、單殼結(jié)構(gòu)形式，每層甲板之間主要以支柱結(jié)構(gòu)和橫艙壁進(jìn)行支撐連接。在船舶平行中體首尾處設(shè)有上下連續(xù)的橫艙壁。全船采用鋼質(zhì)結(jié)構(gòu)，船體主要尺度參數(shù)如表1所示，船體內(nèi)各層甲板高度如表2所示，上層建筑及主船體參數(shù)如表3所示。

表1 郵輪主要尺度參數(shù)Tab.1 Main scale parameters of cruise ship

表2 郵輪甲板高度Tab.2 Cruise ship deck height

表3 上層建筑及主船體參數(shù)Tab.3 Superstructure and main hull parameters

本文基于一艘典型內(nèi)河郵輪建立整船理想有限元模型[1]，通過(guò)剛性節(jié)點(diǎn)對(duì)模型兩端進(jìn)行約束，在船尾端節(jié)點(diǎn)處施加位移和扭轉(zhuǎn)約束，在船首端施加通過(guò)英國(guó)勞氏規(guī)范《Rules and Regulations for the Classification of Naval Ships》（2008）[14]計(jì)算得到的彎矩載荷，大小為1.7×108N·m，對(duì)整船在中縱彎曲載荷下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算分析。整船有限元模型如圖11 所示，全船板單元網(wǎng)格大小平均在250×250 mm，板單元及梁?jiǎn)卧灿?jì)約75萬(wàn)個(gè)。

為了減小端點(diǎn)效應(yīng)的影響，選取船舯剖面作為研究對(duì)象，以彎曲應(yīng)力為橫坐標(biāo)，郵輪高度為縱坐標(biāo)，繪制縱向應(yīng)力沿高度分布曲線，如圖12所示。

梁理論、修正雙梁理論與FEM計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 梁理論、修正雙梁理論與FEM計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculation results by beam theory,modified two-beam theory and FEM

表中，σS表示梁理論計(jì)算縱向應(yīng)力，σD表示雙梁理論計(jì)算縱向應(yīng)力，σ'D表示修正雙梁理論計(jì)算縱向應(yīng)力，σF表示有限元計(jì)算結(jié)果。分析如下：

（1）如圖13 所示，在主船體底部，梁理論、雙梁理論及修正雙梁理論計(jì)算得到的縱向應(yīng)力基本一致，但與有限元計(jì)算結(jié)果相差較大，這是由于在有限元計(jì)算中考慮了水壓力的作用，而理論計(jì)算中并未考慮水壓力，其次在實(shí)際計(jì)算中郵輪上層建筑并不能完全參與總縱彎曲，相較于梁理論中上層建筑100%參與總縱彎曲，主船體分擔(dān)的載荷較大，因此有限元計(jì)算得到的主船體底部縱向應(yīng)力會(huì)大于理論計(jì)算結(jié)果。

（2）甲板高度在內(nèi)底板與一層甲板之間，雙梁理論計(jì)算縱向應(yīng)力與有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合；由于上層建筑和主船體的剛度不同，在主甲板處，應(yīng)力值發(fā)生突變；甲板高度高于一層甲板后，雙梁理論計(jì)算結(jié)果隨高度方向呈線性變化，與有限元計(jì)算結(jié)果差值不斷變大。

（3）隨著甲板層數(shù)的增大，修正雙梁理論與有限元結(jié)果差值逐步減小，到第三層甲板時(shí)應(yīng)力重合；而梁理論計(jì)算應(yīng)力隨高度方向呈線性變化，無(wú)法模擬上層建筑的真實(shí)應(yīng)力變化。修正雙梁理論計(jì)算結(jié)果相較于梁理論，更接近真實(shí)的縱向應(yīng)力分布。

4 結(jié) 論

本文基于雙梁理論提出了計(jì)算郵輪縱向應(yīng)力沿高度分布的修正方法，在保證計(jì)算結(jié)果精確性的前提下，簡(jiǎn)化了雙梁理論的計(jì)算過(guò)程，對(duì)郵輪縱向應(yīng)力沿高度分布特性研究具有重要意義。

本文主要研究結(jié)論如下：

（1）當(dāng)梁的高度遠(yuǎn)小于跨度時(shí)，梁理論一般會(huì)忽略橫向剪切變形的影響，但由于大型郵輪擁有多層上層建筑，致使橫向剪切變形的影響變得不可忽略。本文基于梁理論，對(duì)彎曲及剪切變形產(chǎn)生的應(yīng)力進(jìn)行了理論推導(dǎo)。

（2）運(yùn)用雙梁理論分析郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，引入剪切滯后系數(shù)r對(duì)上層建筑所受彎矩進(jìn)行修正。

（3）以一艘典型內(nèi)河郵輪為研究對(duì)象，采用簡(jiǎn)單梁理論、傳統(tǒng)雙梁理論及修正后的雙梁理論計(jì)算方法對(duì)郵輪船舯剖面進(jìn)行強(qiáng)度評(píng)估，數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，修正后的雙梁理論計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果更為吻合。