例談同構(gòu)法在解題中的應(yīng)用

虞哲駿

(浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學(xué), 315200)

波利亞曾說(shuō)“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”.對(duì)于解題方法的研究,總能吸引許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者為之探究.我們把具有相同結(jié)構(gòu)的兩個(gè)代數(shù)式不妨稱為同構(gòu)式,它們可由同一個(gè)代數(shù)式通過(guò)變量代換得到.同構(gòu)法在近幾年的高考和?？贾蓄l繁出現(xiàn),所謂同構(gòu)轉(zhuǎn)化法,就是將式子的兩邊整理為結(jié)構(gòu)一致的代數(shù)式(函數(shù)、方程或不等式),從中抽象出母函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題.

同構(gòu)法在使用時(shí)考驗(yàn)“眼力”,要求面對(duì)復(fù)雜的結(jié)構(gòu),能通過(guò)仔細(xì)觀察、靈活變形達(dá)到解題的目的.本文結(jié)合實(shí)例,就以下四類問(wèn)題談?wù)勍瑯?gòu)法在解題中的應(yīng)用,希望對(duì)同學(xué)們有所啟發(fā).

一、同構(gòu)法在不等式中的應(yīng)用

例1(2020年全國(guó)高考題)若2a+log2a=4b+2log4b,則( )

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

分析通過(guò)方程的結(jié)構(gòu)判斷,將其變形為4b+2log4b=22b+log2b=22b+log2(2b)-1,符合同構(gòu)放縮的模型,可直接構(gòu)造函數(shù)求解.

解因?yàn)?b+2log4b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),所以2a+log2a<22b+log2(2b).

設(shè)函數(shù)f(x)=2x+log2x,易得f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.由f(a)

二、同構(gòu)法在數(shù)列中的應(yīng)用

解由條件可知

三、同構(gòu)法在解析幾何中的應(yīng)用

例3(2021年全國(guó)高考題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2，0),且⊙M與l相切.

(1)求C,⊙M的方程;

(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

解(1)C的方程為y2=x,⊙M的方程為(x-2)2+y2=1.(過(guò)程略)

(2)設(shè)點(diǎn)A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).

同理得直線A1A3的方程為x-(y1+y3)y+y1y3=0,直線A2A3的方程為x-(y2+y3)y+y2y3=0.

由直線A1A2,A1A3都與⊙M相切,得

①

②

練習(xí)(2021年全國(guó)高考題)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4.

(1)求p;

(2)若點(diǎn)P在圓M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點(diǎn),求?PAB面積的最大值.

四、同構(gòu)法在函數(shù)中的應(yīng)用

1.指數(shù)對(duì)數(shù)跨階型

分析通過(guò)對(duì)不等式的結(jié)構(gòu)判斷,將其變形為(eax+1)ln eax≥(x2+1)lnx2,符合指數(shù)對(duì)數(shù)同構(gòu)模型,由此構(gòu)造函數(shù)求解.

解題設(shè)不等式等價(jià)于(eax+1)ln eax≥(x2+1)lnx2對(duì)任意x>0恒成立.

練習(xí)若關(guān)于x的不等式ex-a≥lnx+a對(duì)任意正實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

(C)(-∞,1] (D)(-∞,2]

參考答案:C.

2.雙變量型

分析對(duì)不等式同構(gòu)變形為f(x1)-mx1

解由題可知題設(shè)不等式等價(jià)于f(x1)-mx1

參考答案:(2,4].

綜上所述,同構(gòu)轉(zhuǎn)化法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,其中蘊(yùn)含的解題意識(shí)與技巧,是我們研究數(shù)學(xué)的一種常見(jiàn)思路.解題過(guò)程中要求同學(xué)們從已知式的結(jié)構(gòu)出發(fā),細(xì)心觀察、大膽猜想,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用其單調(diào)性解決問(wèn)題.另外,同構(gòu)轉(zhuǎn)化法對(duì)同學(xué)們的直觀想象能力、抽象概括能力、推理論證能力等提出了一定的要求.在解題實(shí)踐過(guò)程中,要不斷經(jīng)歷感知、抽象、認(rèn)同、重構(gòu)等過(guò)程,而這正是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)核心素養(yǎng)中不可或缺的重要內(nèi)容.